第三十三课时 函数模型及其应用(1)
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学习要求
1．了解解实际应用题的一般步骤；
2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；
3．渗透建模思想，初步具有建模的能力.
自学评价
1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括
建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键．
3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ．
【精典范例】
例1．写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系．
【解】
点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．
例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本 (万元)、单位成本（万元）、销售收入（万元）以及利润（万元）关于总产量（台）的函数关系式.
分析：销售利润销售收入成本,其中成本 (固定成本可变成本).
【解】总成本与总产量的关系为
.
单位成本与总产量的关系为
.
销售收入与总产量的关系为
.
利润与总产量的关系为
．
例3．大气温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为）．
求：（1）与的函数关系式；
（2）以及处的气温．
【解】（1）由题意，
当时，，
∴当时，，
从而当时，．
综上，所求函数关系为
；
（2）由（1）知，处的气温为
，
处的气温为．
点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题．
追踪训练一
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为件时的成本函数是（元），若每售出一件这种商品的收入是元，那么生产并销售这种商品的数量是件时，该企业所得的利润可达到
.
2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（为线段，为某二次函数图象的一部分，为原点）.
（1）写出服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.
解：（1）由已知得
（2）当时，，得；
当时，，
得 ， ∴ ∴， ∴，
因此服药一次治疗疾病有效的时间约为小时.
【选修延伸】
一、函数与图象
高考热点1: （2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
A.气温最高时，用电量最多
B.气温最低时，用电量最少
C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加
答案：C
分析：该题考查对图表的识别和理解能力.
【解】经比较可发现，月份用电量最多，而月份气温明显不是最高.因此项错误.同理可判断出项错误.由、、三个月的气温和用电量可得出项正确.
思维点拔：
数学应用题的一般求解程序
（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；
（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；
（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．
追踪训练二
1. 有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙O的直径，上底的端点在圆周上，写出这个梯形周长和腰长间的函数关系式，并求出它的定义域．
分析：关键是用半径与腰长表示上底，由对称性：，故只要求出．
解：设腰长，作垂足为， 连结，则，∴∽，
∴，，
∴
∴周长
，
∵是圆内接梯形
∴，
即，解得，
即函数的定义域为
本节学习疑点：如何根据题意建立恰当的函数模型来解决实际问题.
第33课 函数模型及其应用（1）
分层训练
1．某工厂生产一种产品每件成本为元，出厂价为元，厂家从每件产品获纯利，则（ ）
2．某商场进了两套服装，提价后以元卖出，降价后以元卖出，则这两套服装销售后 （ ）
不赚不亏 赚了元
亏了元 赚了元
3．某商品降价后，欲恢复原价，则应提价（ ）
4．某种茶杯，每个元，把买茶杯的钱数（元）表示为茶杯个数（个）的函数 ，其定义域为 ．
5．某种商品的进货价为元，零售价为每件元，若商店按零售价的降价出售，仍可获利（相对于进货价），则 元．
6．建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁的造价为元/，池底的造
价为元/，把总造价（元）表示为底的一边长的函数．
7．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又沿原路返回千米，再前进千米，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是 （ ）
8．某物体一天中的温度是时间的函数：，时间单位是小时，温度单位是，时表示，其后取值为正，则上午时的温度为 （ ）
9．物体从静止状态下落，下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比.已知开始下落的最初两秒间，物体下落了米，则下落的距离（米）与所经过的时间（秒）间的关系为 .
10．某商人购货，进价已按原价扣去，他希望对货物定一新价，以便按新价让利销售后仍可获得进价的的纯利，则此商人经营这种货物的件数与获利总额之间的函数关系式是 .
11.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定位元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元.根据市场调查，销售商一次订购订购量不会超过件.
（1）设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（2）当销售商一次订购了件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）
拓展延伸
12．今有一组实验数据如下：
1．99 3．0 4．0 5．1 6．12
1．5 4．04 7．5 12 18．01
现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
（） （）
（） （）
13．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示.
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数与时间 的函数解析式，并作出相应的图象.
www.
建立数学模型
得出数学结果
解决实际问题
实际问题第33课 函数模型及其应用（1）
分层训练
1．某工厂生产一种产品每件成本为元，出厂价为元，厂家从每件产品获纯利，则（ ）
2．某商场进了两套服装，提价后以元卖出，降价后以元卖出，则这两套服装销售后 （ ）
不赚不亏 赚了元
亏了元 赚了元
3．某商品降价后，欲恢复原价，则应提价（ ）
4．某种茶杯，每个元，把买茶杯的钱数（元）表示为茶杯个数（个）的函数 ，其定义域为 ．
5．某种商品的进货价为元，零售价为每件元，若商店按零售价的降价出售，仍可获利（相对于进货价），则 元．
6．建筑一个容积为，深为的长方体蓄水池，池壁的造价为元/，池底的造
价为元/，把总造价（元）表示为底的一边长的函数．
7．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又沿原路返回千米，再前进千米，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是 （ ）
8．某物体一天中的温度是时间的函数：，时间单位是小时，温度单位是，时表示，其后取值为正，则上午时的温度为 （ ）
9．物体从静止状态下落，下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比.已知开始下落的最初两秒间，物体下落了米，则下落的距离（米）与所经过的时间（秒）间的关系为 .
10．某商人购货，进价已按原价扣去，他希望对货物定一新价，以便按新价让利销售后仍可获得进价的的纯利，则此商人经营这种货物的件数与获利总额之间的函数关系式是 .
11.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定位元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元.根据市场调查，销售商一次订购订购量不会超过件.
（1）设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（2）当销售商一次订购了件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）
拓展延伸
12．今有一组实验数据如下：
1．99 3．0 4．0 5．1 6．12
1．5 4．04 7．5 12 18．01
现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
（） （）
（） （）
13．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示.
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数与时间 的函数解析式，并作出相应的图象.高中苏教数学①2.6函数模型及其应用测试题
一、选择题
1．某工厂的产值月平均增长率为，则年平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
答案：Ｄ
2．某人2000年7月1日存入一年期款元（年利率为，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
答案：Ａ
3．如图1所示，阴影部分的面积是的函数，则该函数的图象可能是（ ）
答案：Ｃ
4．甲、乙两个经营小商品的商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同），分别采取了以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格不可能是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
答案：Ａ
5．某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年该工厂工人收入元（其中工资性收入元，其他收入元）．预计该地区自2004年开始的5年内，工人的工资性收入将以每年的年增长率．其他收入每年增加元．据此分析，2008年该厂工人人均收入将介于（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
答案：Ｂ
二、填空题
6．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图2，腰与水平线夹角为，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值，同渠深 ，可使水渠量最大．
答案：
7．一种放射性元素，最初的质量为，按每年的速度衰减，则它的质量衰减到一半所需要的年数为 （精确到，，）．
答案：年
8．一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没有注水部分与总量的比随时间（小量）变化的关系式为 ．
答案：，，且
9．有一个比赛，规则是：将一个篮球斜抛到一个半径为米的圆形区域内就算赢．已知抛球点到圆心的距离为米，设球的高度（米）和球到抛球点（坐标原点）的水平距离（米）的函数关系式为，如果不计入的高度和空气阻力，则赢得比赛时的取值范围是 ．
答案：
10．某工厂8年来某产品的总产量与时间（年）的函数关系如图3所示，则
①前3年总产量增长速度越来越快；
②前3年总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量持续增长．
上述说法中正确的是 ．
答案：①③
三、解答题
11．某自来水厂的蓄水池中有吨水，每天零点开始向居民供水，同时以每小时吨的速度向池中注水．已知小时内向居民供水总量为吨，问
（1）每天几点时蓄水池中的存水量最少？
（2）若池中存水量不多于吨时，就会出现供水紧张现象，则每天会有几个小时出现这种现象？
解：（1）设点时（即从零点起小时后）池中的存水量为吨，则
，
当时，即时，取得最小值．
即每天点时蓄水池中的存水量最少．
（2）由，
解得，
即，
时，池中存水量将不多于吨，
由知，每天将有个小时出现供水紧张现象．
12．某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口总数（万人）与经过年数（年）的函数关系式．
（2）计算大约多少年后该城市人口将达到万人（精确到1年）．
解：（1）1年后该城市人口总数为
；
2年后该城市人口总数为
；
3年后该城市人口总数为
；
……
年后该城市人口总数为
．
（2）设年后该城市人口将达到万人，
即．
（年），
即年后该城市人口将达到万人．
13．某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产两种产品共件．已知生产一件产品，需要甲种原料共，乙种原料，可获利润元；生产一件种产品，需用甲种原料，乙种原料，可获利润元．
（1）按要求安排两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来．
（2）设生产两种产品获总利润（元），其中一种的生产件数为，试写出与之间的函数关系式，并利用函数性质说明（1）中哪种方案获利最大？最大利润是多少？
解：（1）设安排生产种产品件，则生产件产品为件，依题意，得
解得．
是整数，只能取，，．
生产方案有3种，分别为种件，种件；种件，种件；种件，种件．
（2）设生产种产品件，则
．
随的增大而减小．
当时，值最大，
．
安排生产种产品件，种产品件时，获利最大，最大利润是元．(共10张PPT)
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