12.2.全等三角形的判定当堂达标题
【当堂达标】
选择题：
1．如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
2.如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB
C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠DBC=∠ACB
3.如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
4．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题：
（2016·四川成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= ．
6.（2016·江苏南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论： ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，
其中正确结论的序号是_______.
三、解答题：
7. （2016·重庆市）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．
求证：AE=FB．
8. （2016湖北孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
【拓展应用】
9. （2016湖北宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【学习评价】
自评 师评
参考答案：
1.解析：添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．故选：A．
2.D．
3.解析：当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故选：B．
4.解析解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C
5.解析：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=24°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°，
故答案为：120°．
6.答案：①②③
解析：由△ABO≌△ADO得：AB＝AD，∠AOB＝∠AOD＝90°，∠BAC＝∠DAC，
又AC＝AC，所以，有△ABC≌△ADC，CB＝CD，所以，①②③正确。
7.【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．
证明：∵CE∥DF，
∴∠ACE=∠D，
在△ACE和△FDB中，
，
∴△ACE≌△FDB（SAS），
∴AE=FB．
8.【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．
证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（ASA）
∴AB=AC，
又∵AD=AE，
∴BE=CD．
9.【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得
△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD=AB=20（m）
PAGE第十二章 全等三角形
12.2.全等三角形的判定复习课
【教材分析】
教学目标 知识技能 进一步熟练掌握三角形全等的判定方法，并能利用全等三角形的判定证明有关线段相等、角相等的问题；
过程方法 经历运用三角形全等的条件解决问题的过程，发展合情推理能力和演绎推理能力．通过运用全等三角形的判定定理来解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，在运用所学的知识解决实际问题的过程中形成能力．
情感态度 在应用知识解决问题的过程中，感受成功的快乐，增强学习的自信心．
重点 利用全等三角形的判定证明有关线段相等、角相等的问题；．
难点 根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
知识回顾 1、判定两个三角形全等的方法有哪些？ 证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”： 2、判定两个直角三角形全等的方法有哪些？（1）根据HL 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。 （2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。 师提出问题，学生复习回答教师提出问题，学生自主复习，合作交流，回答，教师补充
综合运用 1、证明两个三角形全等常见思路有哪些？三角形全等的判定方法中都必须要具备三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。 选择判定方法认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明结论的内在联系，从而选择最合适的方法，一般可按下面的思路进行：例1、已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ ΔDEF若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿＿；(2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿； (3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿；(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿＿；(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL” 为依据还缺条件＿＿； 例2、已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证： 分析：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE可构造三角形全等，利用三角形的两边之和大于第三边解线段间的不等关系 教师提出问题并引导学生进行分析进行总结证明两个三角形全等的基本思路.教师出示问题，学生自主探究、回答、师生共同纠正.AB=DE∠ACB=∠DFE∠A=∠DAC=DF，AB=DEAC=DF证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE即ＡＥ＝2ＡＤ又∵ AD是△ABC 的中线∴ BD＝CD∴ 在△ADC 和 △EDB中 BD＝CD ∠ADC=∠EDB(对顶角相等） DE＝AD∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)∴ AC = EB（全等三角形的对应边相等）在△ABE中，AE < AB+EB＝AB+AC即 2AD < AB+AC
矫正补偿 1、如图，已知AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（ ）A、1对 B、2对C、3对 D、4对2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A、一锐角和斜边对应相等B、两条直角边对应相等C、斜边和一直角边对应相等D、两个锐角对应相等3、下列四组中一定是全等三角形的为 （ ）A．三内角分别对应相等的两三角形 B、斜边相等的两直角三角形C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形 D、三边对应相等的两个三角形 4、已知：如图 ∠ABC=∠DCB, AB=DC， 求证: (1)AC=BD; (2)S△AOB = S△DOC 如图,已知∠ABC=∠DCB,要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是 _____________。(只需添加一个你认为适合的条件） 6．（2015 陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE． 教师出示问题，学生先自主探究，后小组同伴交流，最后展示，师生共同评价、纠正，教师点拨、强调。C，2、D，3D4、证明：（1）在△ABC与△DCB中，∵ AB=DC （已知） ∠ABC=∠DCB（已知） BC=CB （公共边）∴ △ABC≌△DCB（SAS）∴ AC=BD（2）∵ △ABC≌△DCB， ∴S △ABC = S △DCB ∴S △ABC－ S△BOC = S △DCB－ S△BOC 即S△AOB = S△DOC∠A=∠D或∠ACB=∠DBC或AB=DC6、分析： 根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出AD=CE．证明：∵AE∥BD，∴∠EAC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴AD=CE．
完善整合 证明两三角形全等的方法：（1）先确定要证哪两个三角形全等；（2）在图中标出相等的边和角（公共边、公共角以及对顶角都是隐含条件）；（3）分析已知条件，欠缺条件，选择判断方法． 教师引导学生自我总结，注意方法和规律总结，注意知识点的强调归纳和总结.
拓展提高 7．（2015 永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC． 分析： （1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；（2）根据“边角边”证明即可．解答： （1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．
PAGE12.2全等三角形的判定复习
【学习目标】
1、进一步熟练掌握三角形全等的判定方法，并能利用全等三角形的判定证明有关线段相等、角相等的问题；
2、经历运用三角形全等的条件解决问题的过程，发展合情推理能力和演绎推理能力．
【重点难点】
重点：利用全等三角形的判定证明有关线段相等、角相等的问题；
难点：根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等
【学习过程】
一、知识回顾：
判定两个三角形全等的方法有哪些？
判定两个直角三角形全等的方法有哪些？
合作探究：
证明两个三角形全等常见思路有哪些？
（1）当条件中有两条边对应相等时，如何选择判定方法？
当条件中有一条边对应相等，一个角对应相等时，如何选择判定方法？
当条件中有两个角对应相等时，如何选择判定方法？
三、例题探究：
例1、已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件
求证:ΔABC≌ ΔDEF
若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿ ＿；
(2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件＿ ＿；
(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿ ＿；
(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿ ＿；
(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL” 为依据还缺条件＿ ＿；
例2、已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证：
尝试应用
1、如图，已知AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（ ）
A、1对 B、2对C、3对 D、4对
2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A、一锐角和斜边对应相等 B、两条直角边对应相等
C、斜边和一直角边对应相等 D、两个锐角对应相等
3、下列四组中一定是全等三角形的为 （ ）
A．三内角分别对应相等的两三角形 B、斜边相等的两直角三角形
C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形 D、三边对应相等的两个三角形
4、已知：如图 ∠ABC=∠DCB, AB=DC， 求证: (1)AC=BD; (2)S△AOB = S△DOC
如图,已知∠ABC=∠DCB,要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是 _____________。(只需添加一个你认为适合的条件）
6．（2015 陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．
补偿提高
7．（2015 永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．
（1）求证：∠ABC=∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．
【学后反思】
参考答案：
例1
AB=DE
∠ACB=∠DFE
∠A=∠D
AC=DF，AB=DE
AC=DF
例2：
证明：
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
即ＡＥ＝2ＡＤ
又∵ AD是△ABC 的中线
∴ BD＝CD
∴ 在△ADC 和 △EDB中
BD＝CD
∠ADC=∠EDB(对顶角相等）
DE＝AD
∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)
∴ AC = EB（全等三角形的对应边相等）
在△ABE中，AE < AB+EB＝AB+AC
即 2AD < AB+AC
尝试应用：
C，2、D，3D
4、证明：（1）在△ABC与△DCB中，
∵ AB=DC （已知）
∠ABC=∠DCB（已知）
BC=CB （公共边）
∴ △ABC≌△DCB（SAS）
∴ AC=BD
（2）∵ △ABC≌△DCB，
∴S △ABC = S △DCB
∴S △ABC－ S△BOC
= S △DCB－ S△BOC
即S△AOB = S△DOC
∠A=∠D或∠ACB=∠DBC或AB=DC
6、分析： 根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出AD=CE．
证明：∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE．
补偿提高
分析： （1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；
（2）根据“边角边”证明即可．
解答： （1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°
∴∠B+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
PAGE(共18张PPT)
知识回顾:
1.什么是全等三角形？
2.全等三角形有哪些性质？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（1).全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2).全等三角形的周长相等、面积相等。
知识回顾：
三角形 全等的条件：
1.定义（重合）法；
2.SSS；
3.SAS；
4.ASA；
5.AAS.
直角三角形 全等特有的条件：
HL.
包括直角三角形
不包括其它形状的三角形
解题中常用的4种方法
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）已知两边
找第三边
找夹角
(2).已知一边一角
已知一边和它的邻角
找是否有直角
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS)
已知角是直角，找一边(HL)
(3).已知两角
找两角的夹边(ASA)
找夹边外的任意边(AAS)
方法指引
方法指引：
（ AAS ）
sss
SAS
HL
1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法
2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时
①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。
②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角
例题一:
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件
求证:ΔABC≌ ΔDEF
∠ACB= ∠DFE
AB=DE
AB=DE、AC=DF
A
B
C
D
E
F
=
=
D
E
F
A
B
C
∠ A = ∠ D
(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿＿＿＿＿；
(2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件_____________；
(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件____________；
(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；
(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL” 为依据，
还缺条件＿＿＿＿＿
AC=DF
已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证：
E
例题二
A
B
C
D
分析：
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
利用三角形的两边之和大于第三边解线段间的不等关系
E
证明：
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
即ＡＥ＝2ＡＤ
又∵ AD是△ABC 的中线
∴ BD＝CD
∴ 在△ADC 和 △EDB中
BD＝CD
∠ADC=∠EDB(对顶角相等）
DE＝AD
∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)
∴ AC = EB（全等三角形的对应边相等）
在△ABE中，AE < AB+EB＝AB+AC
即 2AD < AB+AC
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证：
E
例题 2
A
B
C
D
分析：
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
利用三角形的两边之和大于第三边解线段间的不等关系
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证：
E
证明：
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
即ＡＥ＝2ＡＤ
又∵ AD是△ABC 的中线
∴ BD＝CD
∴ 在△ADC 和 △EDB中
BD＝CD
∠ADC=∠EDB(对顶角相等）
DE＝AD
∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)
∴ AC = EB（全等三角形的对应边相等）
在△ABE中，AE < AB+EB＝AB+AC
即 2AD < AB+AC
A
B
C
D
证明：
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
即ＡＥ＝2ＡＤ
又∵ AD是△ABC 的中线
∴ BD＝CD
∴ 在△ADC 和 △EDB中
BD＝CD
∠ADC=∠EDB(对顶角相等）
DE＝AD
∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)
∴ AC = EB（全等三角形的对应边相等）
在△ABE中，AE < AB+EB＝AB+AC
即 2AD < AB+AC
A
B
C
D
证明：
延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
即ＡＥ＝2ＡＤ
又∵ AD是△ABC 的中线
∴ BD＝CD
∴ 在△ADC 和 △EDB中
BD＝CD
∠ADC=∠EDB(对顶角相等）
DE＝AD
∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)
∴ AC = EB（全等三角形的对应边相等）
在△ABE中，AE < AB+EB＝AB+AC
即 2AD < AB+AC
A
B
C
D
1、如图，已知AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（ ）
（A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对
2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
（A）一锐角和斜边对应相等（B）两条直角边对应相等
（C）斜边和一直角边对应相等（D）两个锐角对应相等
C
D
矫正补偿
3、下列四组中一定是全等三角形的为 （ ）
A．三内角分别对应相等的两三角形
B、斜边相等的两直角三角形
C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形
D、三边对应相等的两个三角形
D
4、已知：如图 ∠ABC=∠DCB, AB=DC， 求证: (1)AC=BD; (2)S△AOB = S△DOC
A
B
D
C
O
（2）∵ △ABC≌△DCB，
∴S △ABC = S △DCB
∴S △ABC－ S△BOC
= S △DCB－ S△BOC
即S△AOB = S△DOC
证明：（1）在△ABC与△DCB中，
∵ AB=DC （已知）
∠ABC=∠DCB（已知）
BC=CB （公共边）
∴ △ABC≌△DCB（SAS）
∴ AC=BD
一直接应用：
挖掘“隐含条件”判全等
A
B
D
C
O
5、如图,已知∠ABC=∠DCB,要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是 _____________。(只需添加一个你认为适合的条件)
AB=DC
∠A=∠D
∠1=∠2
1
2
隐含条件：BC=CB
SAS
AAS
ASA
6．（2015 陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．
分析： 根据平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，再利用ASA证出△ABD≌△CAE，从而得出AD=CE．
7．（2015 永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．
（1）求证：∠ABC=∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．
分析： （1）根据四边形的内角和等于360°求出B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；
（2）根据“边角边”证明即可．
证明两三角形全等的方法：
（1）先确定要证哪两个三角形全等；
（2）在图中标出相等的边和角（公共边、公共角以及对顶角都是隐含条件）；
（3）分析已知条件，欠缺条件，选择判断方法．
完善整合
祝 你 们 学 习 进 步 ！
同学们 再见
