12.2全等三角形的判定（第一课时） 学案
【学习目标】
1．学会用定理证明两个三角形全等；能灵活运用全等三角形的证明方法解决线段或角相等的问题.
2．学会通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索，归纳，证明两个三角形全等的条件，并在具体应用中感悟.
【重点难点】
重点：掌握“SSS”定理，并灵活应用
难点：准确地应用“SSS”定理判定两个三角形全等，正确书写证明过程.
【学习过程】
自主学习：
复习：已知△ABC ≌△ A′B′ C′,找出其中相等的边与角：
思考：满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′吗？
探究一：当满足一个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗？
探究二：当满足两个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗？
探究三：当满足三个条件时， △ABC 与△A′B′C′全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？
合作探究：
任意画出一个，再画一个，使，，，把画好的剪下，放到上，你会发现与有什么关系？由此，你得到了什么规律？
三、例题探究：
例1：如图所示的三角形钢架中，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．
求证:△ABD ≌△ACD ．
四、尝试应用
1.如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（ ）
A．120° B．125°C．127° D．104°
2．如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．△ABC≌△BAD；B．∠CAB=∠DBA C．OB=OC D．∠C=∠D
3．在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可根据sss公理得到△ABC≌△A1B1C1．
4．如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明________≌_________得到结论．
5．如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.
补偿提高
6. 如图，已知AB=AE，BC=ED，AC=AD.
(1) ∠B＝∠E吗？为什么？
（2）若点F为CD的中点，那么AF与CD有怎样的位置关系？请说明理由.
【学后反思】
参考答案：
例题：
尝试应用：
1．C 2．C 3．AC=A1C1 4．CE；△ABF≌△CDE
5. 解:连结OE
在△EAC和△EBC中
∴△EAC≌△EBC（SSS）
∴∠A＝∠C
补偿提高
6. 解：（1）∠B＝∠E
理由如下：在△ABC和△AED中
AB=AE，BC=ED，AC=AD.
∴△ABC≌△AED（SSS）
∴∠B＝∠E.
（2）AF垂直于CD.
理由如下：
∵点F是CD的中点，
∴CF=FD.
在△ACF和△ADF中
AC=CD，AF=AF，CF=DF
∴△ACF≌△ADF（SSS）
∴∠AFC＝∠AFD.
又∵∠AFC+∠AFD=180
∴∠AFC＝∠AFD=90
∴AF垂直于CD.
PAGE(共21张PPT)
A
B
C
D
E
F
1、 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
A
B
C
D
E
F
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？
思考：
2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△ DEF吗
1.只给一条边时；
3㎝
3㎝
1.只给一个条件
45
2.只给一个角时；
45
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
①两边；
③两角。
②一边一角；
2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
A
B
C
D
E
F
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
6cm
6cm
4cm
4cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
4cm
4cm
30
30
结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
45
30
45
30
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
两个条件
①两角；
②两边；
③一边一角。
结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。
一个条件
①一角；
②一边；
①三角；
②三边；
③两边一角；
④两角一边。
3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
探索三角形全等的条件
已知两个三角形的三个内角分别为30°，60° ，90° 它们一定全等吗？
这说明有三个角对应相等的两个三角形
不一定全等
⑴三个角
探 究 2
先任意画出一个△ABC，再画一个△A/B/C/，
使A/B/=AB， B/C/=B C， C/A/=CA 。
把画好的△A/B/C/剪下，
放到△ABC上，它们全等吗？
作 法:
1.把你所画的三角形剪下来，放到ΔABC上，
它们全等吗？为什么？
2.若它们全等，则它们满足了什么条件？
探 究 2
思考
A
C
B
三边对应相等的两个三角形全等
（简写成“边边边”或“SSS”）
A
B
C
A′
B′
C′
AB＝A＇B＇（已知）
AC＝A‘C’ （已知）
BC＝B＇C＇（已知）
∴ △ ABC≌ △ A＇B＇C＇（SSS）
在△ABC和△ A＇B＇C＇中
A
C
B
D
分析：要证明两个三角形全等，需要那些条件？
∴BD=CD
证明：∵D是BC的中点
在△ABD与△ACD中
BD=CD
AD=AD
AB=AC
∴△ABD≌△ACD（SSS）
例1 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证： △ABD≌△ACD
①证全等时要用的间接条件转化为直接条件；
②三角形全等书写三步骤：
写出:在哪两个三角形中
摆出:三个条件用大括号括起来
写出:全等结论
证明的书写步骤：
我们利用前面的结论，还可以得到作 一个角等于已知角的方法。
已知∠AOB
求作：∠A′O′B′=∠AOB
作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
2、画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3、以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4、过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB
尺规作图
C′
O′
A′
B′
D′
O
A
B
C
D
1.如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（ ）
A．120° B．125°C．127° D．104°
2．如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．△ABC≌△BAD；B．∠CAB=∠DBA
C．OB=OC D．∠C=∠D
3．在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可根据sss公理得到△ABC≌△A1B1C1．
4．如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明________≌_________得到结论．
5．如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.
6. 如图，已知AB=AE，BC=ED，AC=AD.
(1) ∠B＝∠E吗？为什么？
（2）若点F为CD的中点，那么AF与CD有怎样的位置关系？请说明理由.
数学是优美的自然科学的皇后 ，数学之美在于其形象、对称、和谐、简洁、严谨、逻辑、秩序---，热爱数学吧，你将拥抱美好，走进智慧------12.2.全等三角形的判定（第一课时）当堂达标题
【当堂达标】
选择题：
1.如图，中，，，则由“”可以判定（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
2.如图，在和中，，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使，则还需增加的一个条件是（ ）
A.AC=BD B.AC=BC C.BE=CE D.AE=DE
3．如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．△ABD≌△ACD B．∠ADB=90°
C．∠BAD是∠B的一半 D．AD平分∠BAC
4. 如图 ，AB=CD，BC=AD，则下列结论不一定正确的是（ ）.
A.AB∥DC B. ∠B＝∠D C. ∠A＝∠C D. AB=BC
5．（2015 义乌市）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得
△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS
二、填空题：
6．如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ ≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
7、如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是_______
8．如图，若D为BC中点，那么用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是
三、解答题：
9.如图，AB＝AC，DB＝DC，EB＝EC.
(1)图中有几对全等三角形？请一一写出来．
(2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明．
【拓展应用】
10. 如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请证明下列结论： ⑴∠D=∠B； ⑵AE∥CF．
自评 师评
【学习评价】
参考答案：
1.B 2.A 3.C
4.D
5.解析： 在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．
故选：D．
6. （答案不惟一，也可以是）
7. sss 8.. AB=AC
9.(1)△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△DBE≌△DCE.
以△ABD≌△ACD为例．
证明：在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
10. 证明：（1）在△EAD和△FCB中
AD=CB，AE=CF，DE=BF
∴△EAD≌△FCB（SSS）
∴∠D＝∠B
（2）由（1）知：△EAD≌△FCB
∴∠DEA＝∠BFC
∵∠AEO=180－∠DEA,
∠CFO=180－∠BFC,
∴∠AEO＝∠CFO
∴ AE∥CF
第11题图
PAGE第十二章 全等三角形
12.2.全等三角形的判定（第一课时）
【教材分析】
教学目标 知识技能 熟练掌握sss公理；会应用判定定理SSS进行简单的推理判定两个三角形全等。
过程方法 通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索，归纳，证明两个三角形全等的条件，并在具体应用中感悟.
情感态度 通过探索三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好品质以及发现问题的能力.
重点 掌握“SSS”定理，并灵活应用.
难点 准确地应用“SSS”定理判定两个三角形全等，正确书写证明过程.
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
情境引入 复习：已知△ABC ≌△ A′B′ C′,找出其中相等的边与角：思考：满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′吗？探究1：当满足一个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗？ 探究2：当满足两个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗？探究3：当满足三个条件时， △ABC 与△A′B′C′全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？ 师板书，规范符号表示形式.教师提出问题1，明确探究方向，激发探究欲望．学生回顾思考，口答.让学生讨论“六个条件中的一部分有哪些情况？”对学生分类中出现的问题，予以纠正,对学生提出的解决问题的不同策略,给予肯定和鼓励.
自主探究合作交流自主探究合作交流 [操作与验证]任意画出一个，再画一个，使，，，把画好的剪下，放到上，你发现与有什么关系？由此，你得到了什么规律？画法: （1）画线段B′C′=BC ； （2）分别以B′、C′为圆心，BA、BC 为半径画弧，两弧交于点A′；（3）连接线段A′B′，A′Ｃ′.思考：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”.用符号语言表达:问题：我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．你能解释其中的道理吗？例1：如图所示的三角形钢架中，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证△ABD ≌△ACD ．应用：用尺规作一个角等于已知角．已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB 教师指导学生进行画图探究. 【强调】：“保留作图痕迹，标注字母”等．学生总结归纳规律．学生用“边边边”判定方法进行解释.师生共同分析解题思路，即要证明两三角形全等，就要看这两个三角形的三条边是否分别相等，题中有一个隐含条件AD是两个三角形的公共边．学生口述证明过程，教师板书．【强调】：规范证明过程，做到每一步都有理有据．（掌握“∵”“∴”的用法，明白综合法证明的格式，理解“公共边”.）师指导学生用尺规作图.
尝试应用 1.如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（ ）A．120° B．125°C．127° D．104° 2．如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是（ ） A．△ABC≌△BAD；B．∠CAB=∠DBA C．OB=OC D．∠C=∠D3．如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明________≌_________得到结论．4．在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可根据sss公理得到△ABC≌△A1B1C1．5．如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C. 先让学生独立分析思考，感觉有困难的学生可寻求帮助，教师巡视，有针对性的进行个别辅导．然后小组内交流，教师参与讨论．师生共同评析．1．C 2．C 3．CE；△ABF≌△CDE 4．AC=A1C1 5. 解:连结OE在△EAC和△EBC中∴△EAC≌△EBC（SSS）∴∠A＝∠C
成果展示 谈谈你本节课的收获和体会，还有什么疑惑。求助于你的同伴 师引导学生回答，并补充完善.
补偿提高 6. 如图，已知AB=AE，BC=ED，AC=AD. (1) ∠B＝∠E吗？为什么？（2）若点F为CD的中点，那么AF与CD有怎样的位置关系？请说明理由. 师生共同分析解题思路，学生完成证明过程：6. 解：（1）∠B＝∠E理由如下：在△ABC和△AED中AB=AE，BC=ED，AC=AD.∴△ABC≌△AED（SSS）∴∠B＝∠E.（2）AF垂直于CD. 理由如下： ∵点F是CD的中点， ∴CF=FD. 在△ACF和△ADF中AC=CD，AF=AF，CF=DF∴△ACF≌△ADF（SSS）∴∠AFC＝∠AFD.又∵∠AFC+∠AFD=180 ∴∠AFC＝∠AFD=90∴AF垂直于CD.
作业设计 课后作业:课本P43页习题12.2第1、9题. 认定并完成作业
PAGE
