第十二章 全等三角形复习
【教材分析】
教学目标 知识技能 1.复习全等三角形的概念、性质和判定方法，能够利用三角形全等进行证明；2.复分线的性质、判定方法，并利用角平分线的性质、判定进行证明问题3.回顾复习全章知识，梳理知识点，形成全章知识框架；
过程方法 通过有理有据的推理证明、精炼准确地表达推理过程，注重分析思路，学会思考问题，注重书写格式，学会清楚地表达思考的过程.
情感态度 通过师生共同的探究活动，进一步培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质以及发展基本的创新意识和培养逻辑思维能力和.
重点 掌握全等三角形的性质与判定方法.
难点 对全等三角形性质及判定方法的运用.
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
知 识回顾 问题1：请同学们整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？ 问题2：结合本章知识结构图，思考以下问题：回顾本章的知识点； （2）通过本章的学习，说一说证明线段相等和角相等的方法有哪些？ 师生共同归纳，形成本章知识结构图.在问题2（1）中引导学生回忆全等三角形概念、性质、判定；角平分线的性质和判定的作用在（2）中引导学生从知识间的内在联系及知识的推理依据来分析，全等三角形的判定，角平分线的性质和判定等，都是证明证明线段相等和角相等的方法． 教师点拨：全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时①要观察待证线段或角，在哪两个可能全等的三角形中②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件
合作交流 例题探究：例1（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可 （2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．例2.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. 学生独立完成，师个别指导，全班讲评. 例1、【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM， 由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C， 在△ACM和△ABN中，， ∴△ACM≌△ABN（ASA）， ∴∠M=∠N． 例2、解：∵AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE=AC.∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm.
尝试应用 1、下列说法正确的是（ ）A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列等式不正确的是（ ）A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE3、如图，△ABD≌△ABC，若AD＝AC，则∠BAD的对应角为 ．如图，在△ABC和△FED， AD=FC，AB=FE，当添加条 件 时，就可得到 △ABC≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)5、如图，在△ABC中，∠C=90°， AD平分∠CAB，BC=8 cm，BD=5 cm，那么点D到直线AB的距离是 cm.6、如图，已知△ABC的周长是21，OB, OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 .7、已知：如图，BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：（1） △BEC≌△DAE；（2）DF⊥BC． 学生独立完成，展示交流师个别指导，全班讲评.C D∠BAC4.∠A=∠F36..31.57.证明： ∵BE⊥CD∴∠BEC=∠DEA=90°又BE＝DE，BC＝DA∴△BEC≌△DAE由（1）得△BEC≌△DAE,∴∠C=∠DAE,又∵∠DAE+∠D=90°∴∠C+∠D=90°, ∴∠DFA=90°,∴DF⊥BC
成果展示 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 师生共同总结、反思，教师重点强调
补偿提高 8已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB(提示：过点M作AD的垂线段） 学生独立完成，师个别指导，全班讲评.8.证明：过点M作MF⊥AD,垂足为F,则∠DFM=90°∵DM平分∠ADC∴∠FDM=∠CDM又∵∠DFM=∠C=90°,DM=DM∴△DFM≌△DCM∴FM=CM又∵点M是BC的中点. ∴BM=CM∴在RT△ABM和RT△AFM中，AM=AM,FM=BM∴RT△ABM≌RT△AFM∴∠FAM=∠BAM∴AM平分∠DAB
PAGE12章.全等三角形复习
【当堂达标】
一、选择题：
1．（2016 永州）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
2．（2016 怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP; C．∠CPO=∠DPO; D．OC=OD
3．（2016 莆田）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB; B．OC=OD; C．∠OPC=∠OPD; D．PC=PD
4．（2016 淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
填空题：
5. 如图，已知的周长是20，分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是___________。
6．如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为 。
7在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，
则AE= cm．
三、解答题：
8.（2016·云南省昆明市）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB
求证：AE=CE．
【拓展应用】
9..如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
自评 师评
【学习评价】
参考答案：
1.【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
2.【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
【解答】∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
故选B．
【解答】解：∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
∵OP=OP，
∴根据‘HL’需添加PC⊥OA，PD⊥OB，
根据‘SAS’需添加OC=OD，
根据‘AAS’需添加∠OPC=∠OPD，
故选D．
4.【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB DE=×15×4=30．
故选B．
5. 30 6.. 10 7. 3
8.【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．
证明：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE=CE．
解：PC=PD.
理由如下：
过点P分别作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F.
又∵OM平分∠AOB，
∴PE=PF.
又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=90°.
∴∠EPC+∠CPF=90°.
又∵∠CPD=90°，
∴∠CPF+∠FPD=90°.
∴∠EPC=∠FPD.
在△PCE与△PDF中，
∠PEC=∠PFD，PE=PF，∠EPC=∠FPD，
∴△PCE≌△PDF(ASA).
∴PC=PD.
第7题图
A
B
C
D
E
F
第6题图
A
D
O
C
B
第5题图
PAGE(共15张PPT)
例题探究：
例1．（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
（1）证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，
即∠BAN=∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．
方法 规律 总结
全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时
①要观察待证线段或角，在哪两个可能全等的三角形中
②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
例2、.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长.
解：∵AD平分∠BAC交BC于D,
DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE.
∴Rt△ACD≌Rt△AED.
∴AE=AC.
∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE
=BC+BE
=AC+BE=AE+BE=AB
=10 cm.
1、下列说法正确的是（ ）
A.形状相同的两个三角形全等
B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等
D.所有的等边三角形全等
尝试应用：
C
2、如图1，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列等式不正确的是（ ）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD
C.BE=DC D.AD=DE
3、如图2，△ABD ≌ △ABC，若AD＝AC，则∠BAD的对应角为
图1
B
C
D
A
图2
D
∠BAC
4、如图，已知在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE= 度.
5、如图，在△ABC和△FED， AD=FC，AB=FE，当添加条件时，就可得到 △ABC≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)
4题图
D
A
C
F
E
B
60
∠A=∠F
5题图
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，
AD平分∠CAB，BC=8 cm，BD=5 cm，那
么点D到直线AB的距离是 cm.
3
7、如图，已知△ABC的周长是21，OB, OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是
31.5
8、已知：如图，BE⊥CD，BE＝DE，
BC＝DA，
求证：（1）△BEC≌△DAE；（2）DF⊥BC．
证明：
B
C
D
E
F
A
（1）∵BE⊥CD
∴∠BEC=∠DEA=90°
又BE＝DE，BC＝DA
∴△BEC≌△DAE
(2)∵△BEC≌△DAE,
∴∠C=∠DAE,
又∵∠DAE+∠D=90°
∴∠C+∠D=90°, ∴∠DFA=90°,∴DF⊥BC
9.已知：如图11，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB(提示：过点M作AD的垂线段）
证明：
图11
F
过点M作MF⊥AD,垂足为F,则∠DFM=90°
∵DM平分∠ADC
∴∠FDM=∠CDM
又∵∠DFM=∠C=90°,DM=DM
∴△DFM≌△DCM
∴FM=CM
又∵点M是BC的中点. ∴BM=CM
∴在RT△ABM和RT△AFM中，AM=AM,FM=BM
∴RT△ABM≌RT△AFM
∴∠FAM=∠BAM
∴AM平分∠DAB
补偿提高：
总结提高:
学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1).要正确区分“对应边”与“对边”，“对应
角”与 “对角”的不同含义；
（2）.表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字
母要写在对应的位置上；
（3）.要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其
中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）.时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、
“公共边”、“对顶角”
数学是优美的自然科学的皇后 ，数学之美在于其形象、对称、和谐、简洁、严谨、逻辑、秩序---，热爱数学吧，你将拥抱美好，走进智慧------12章.全等三角形复习
【学习目标】
1.复习全等三角形的概念、性质和判定方法，能够利用三角形全等进行证明；
2.复分线的性质、判定方法，并利用角平分线的性质、判定进行证明问题
3.回顾复习全章知识，梳理知识点，形成全章知识框架；
4.通过有理有据的推理证明、精炼准确地表达推理过程，注重分析思路，学会思考问题，注重书写格式，学会清楚地表达思考的过程.
【重点难点】
重点：掌握全等三角形的性质与判定方法.
难点：对全等三角形性质及判定方法的运用.
【学习过程】
知识回顾：
问题1：请同学们整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？
问题2：通过本章的学习，说一说证明线段相等和角相等的方法有哪些？
二、例题探究：
例1（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
例2.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长.
尝试应用
1、下列说法正确的是（ ）
A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等
如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，
∠B=∠C，下列等式不正确的是（ ）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE
3、如图，△ABD≌△ABC，若AD＝AC，则∠BAD的对应角为 ．
4、如图，在△ABC和△FED， AD=FC，AB=FE，当添加条 件 时，就可得到 △ABC≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)
5.如图，在△ABC中，∠C=90°， AD平分∠CAB，BC=8 cm，BD=5 cm，那 么点D到直线AB的距离是 cm.
6.如图，已知△ABC的周长是21，OB, OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 .
7.已知：如图，BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：（1） △BEC≌△DAE；（2）DF⊥BC．
补偿提高
8.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
求证：AM平分∠DAB(提示：过点M作AD的垂线段）
【学后反思】
参考答案：
例1、
例1、【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，
即∠BAN=∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M=∠N．
例2、解：∵AD平分∠BAC交BC于D,
DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE=AC.
∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm.
尝试应用：
C
.D
∠BAC
4.∠A=∠F
3
6.31.5
7.证明：
∵BE⊥CD
∴∠BEC=∠DEA=90°
又BE＝DE，BC＝DA
∴△BEC≌△DAE
由（1）得
△BEC≌△DAE,
∴∠C=∠DAE,
又∵∠DAE+∠D=90°
∴∠C+∠D=90°,
∴∠DFA=90°,∴DF⊥BC
补偿提高：
8.证明：过点M作MF⊥AD,垂足为F,则∠DFM=90°
∵DM平分∠ADC
∴∠FDM=∠CDM
又∵∠DFM=∠C=90°,
DM=DM
∴△DFM≌△DCM
∴FM=CM
又∵点M是BC的中点. ∴BM=CM
∴在RT△ABM和RT△AFM中，AM=AM,FM=BM
∴RT△ABM≌RT△AFM
∴∠FAM=∠BAM
∴AM平分∠DAB
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