13.3.1等腰三角形（第1课时）
【当堂达标】
选择题：
1．（2015 苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 60°
2．（2016 南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A． 35° B． 40° C． 45° D． 50°
3．（2016 内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A． 40° B． 45° C． 60° D． 70°
4．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A． 36° B． 54° C． 18° D． 64°
二、填空题：
5．（2015 乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是 ．
6．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= _________ ．
7．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=________.
9．（2015 河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．
三、解答题：
10．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．
【拓展应用】
11．（2015 北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
自评 师评
【学习评价】
参考答案：
1.分析： 由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
解答AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°﹣70°）=55°．
故选C．
2.分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解答∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，
故选：A．
3.分析： 根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
解答∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选：A．
4.析： 根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．
解答： 解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°﹣36°=54°．
故选：B．
5.分析： 三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
解答： 解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
6、44；7、40；8、3
9.分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解答由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
故答案为：9．
10、证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°．
∵O是底边BC上的中点，
∴OB=OC，
在△OBD与△OCE中，
∴△OBD≌△OCE（AAS）．
∴BD=CE．
∵AB=AC，
∴AB﹣BD=AC﹣CE．
即AD=AE．
11. 证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
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3(共18张PPT)
第十三章 轴对称
13.3.1 等腰三角形
（第1课时）
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
温故知新
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
AB=AC
自主探究
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
找一找
等腰三角形是轴对称图形吗？
思考
是
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现它的其他性质吗
大胆猜想
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
A
B
C
D
等腰三角形的两个底角相等
猜想与论证
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．
求证：∠B = ∠C．
A
Ｂ
C
D
证明：作底边的中线AD．
∵ AB =AC，
BD =CD，
AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
∴ ∠B =∠C．
性质1：等腰三角形的两个底角相等
你还有其他方法证明性质1吗？
可以作底边的高线或顶角的角平分线.
A
Ｂ
C
D
A
C
B
等腰三角形的性质1:
等腰三角形的两个底角相等 (简写“等边对等角”)
在△ABC中，
∵ AB=AC
∴ ∠B＝∠C
(等边对等角)
符号语言：
性质1：
（已知）
想一想:
由刚才证明的△ABD≌ △ACD，除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么
重合的线段 重合的角
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC
=90°
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠___=∠___，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____.
C
A
B
1
2
D
性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.
（三线合一）
1
2
BD
CD
1
2
AD
BC
AD
BC
BD
CD
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠___=∠___，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____.
符号语言：
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
（等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例题：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC 上，且BD=BC=AD. 求△ABC各内角的度数？
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
角为_____ __；
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角
为___________________；
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个
角为______ __。
75°, 30°
70°,40°或55°,55°
35°,35°
尝试运用
4、如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBD的度数为 。
30°
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
5、如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°）,AD是底边BC上的高，写出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数，并写出图中有哪些相等的线段？
解：∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45°
图中相等的线段有:AB=AC,AD=BD=CD.
A
B
C
D
6如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数
解：∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x
在△ABC中，
∠B+ ∠C+ ∠BAD+ ∠DAC
=2x+x+26°+x=180°
解得：x=38.5°，
∴ ∠B=77°， ∠C= 38.5°
补偿
提高
等腰三角形的性质：
3)等腰三角形的底边上的中线,底边上的高
和顶角平分线、互相重合（三线合一）
2)等腰三角形的两底角相等（等边对等角）
1)等腰三角形是轴对称图形
小结
本节课你学到了什么 13.3.1等腰三角形（第1课时）
【学习目标】
1.掌握等腰三角形的性质.
2.能运用性质进行相关计算与证明.
【重点难点】
重点：等腰三角形的性质及应用.
难点：等腰三角形性质的证明.
【学习过程】
自主学习：
【活动1】复习旧知：等腰三角形的有关概念？
1、 三角形叫做等腰三角形， 叫做等腰三角形的腰， 叫做等腰三角形的顶角， 叫做等腰三角形底角， 叫做等腰三角形的底。
合作探究：
【活动2】探索等腰三角形的性质
问题2：你能用一张纸剪出等腰三角形吗？
追问：（1）观察剪出的是一个什么样的三角形？
（2）仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形两个底角有什么数量关系？
（3）我们可不可以说等腰三角形的两个底角相等？
（4）用我们学过的知识给予证明.
（5）这句话的已知是什么，结论是什么？
猜想：等腰三角形两个底角 ．
【活动3】证明等腰三角形性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．
求证：∠B =∠C．
追问：1、如何证明两个角等？
2、如何构造两个全等的三角形呢？
3、刚刚折纸给你什么启示？你有哪些方法？
结论：性质1：等腰三角形两个底角相等．（简写成“等边对等角”）
符号语言：∵△ABC 中，
∴
【活动4】再看自己剪好的等腰三角形，重点看折痕，你有新的发现？
性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠___=∠___，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿=∠＿，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴____⊥____，____=____.
三、例题探究：
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
尝试应用
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ ；
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______。
如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBD的度数为 。
5、如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°）,AD是底边BC上的高，写出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数，并写出图中有哪些相等的线段？
补偿提高
6、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数
【学后反思】
参考答案：
性质定理证明:
证明：作底边的中线AD．
∴BD=BC
在△ABD 和△ACD中
AB =AC，
∵ BD =CD，
AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
∴ ∠B =∠C（全等三角形对应角相等）．
例题：
分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，
则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，
∠ABC=∠C=72°
尝试应用：
1、75°, 30°
2、70°,40°或55°,55°
3、35°,35°
4、30°
5、解：∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45°
图中相等的线段有:
AB=AC,AD=BD=CD.
补偿提高：
6、解：∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x
在△ABC中，
∠B+ ∠C+ ∠BAD+ ∠DAC
=2x+x+26°+x=180°
解得：x=38.5°，
∴ ∠B=77°， ∠C= 38.5°
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1第十三章 轴对称
13.3.1.等腰三角形（第1课时）
【教材分析】
教学目标 知识技能 1.掌握等腰三角形的性质.2.能运用性质进行相关计算与证明.
过程方法 1.借助对称轴图形的性质，培养学生通过已学知识，发现新知识的能力；2.提高学生几何符号语言能力.
情感态度 通过轴对称探究等腰三角形的性质，体验数学充满着创造和乐趣，增强学好数学知识的自信心.
重点 等腰三角形的性质及应用.
难点 等腰三角形性质的证明.
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
情境引入 【活动1】复习引入，进一步认识等腰三角形问题1等腰三角形的有关概念你还记得那些内容？等腰三角形符号语言：△ABC中，AB=AC． 教师提出问题1，学生思考并回答问题．教师板书：△ABC中，AB=AC．并追问：如果只说等腰三角形ABC，会怎样？明确等腰三角形要指出哪条边是腰．
自主探究合作交流自主探究合作交流 【活动2】探索等腰三角形的性质问题2：你能用一张纸剪出等腰三角形吗？ 追问：（1）观察剪出的是一个什么样的三角形？ （2）仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形两个底角有什么数量关系？ （3）我们可不可以说等腰三角形的两个底角相等？ （4）用我们学过的知识给予证明. （5）这句话的已知是什么，结论是什么？ 猜想：等腰三角形两个底角相等．【活动3】证明等腰三角形性质已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B =∠C．追问：1、如何证明两个角等？ 2、如何构造两个全等的三角形呢？ 3、刚刚折纸给你什么启示？证明：作底边的中线AD． ∴BD=BC在△ABD 和△ACD中AB =AC，∵ BD =CD， AD =AD，∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．∴ ∠B =∠C（全等三角形对应角相等）．追问：还有没有其他证明方法性质1：等腰三角形两个底角相等．（简写成“等边对等角”）符号语言：∵△ABC 中，AB =AC∴∠B =∠C【活动4】再看自己剪好的等腰三角形，重点看折痕，你有新的发现？性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠___=∠___，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿=∠＿，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴____⊥____，____=____. [例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求：△ABC各角的度数． 分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角． 把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷． 解：因为AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x． 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°． 在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72° 学生展示自己的剪裁结果．学生独立思考后尝试着概括等腰三角形的性质1.教师问：要证两个角相等你有什么办法？教师关注学生：（1）是否想到用全等（2）如何添加辅助线给学生足够的时间思考，并独立完成证明，学生板书，白板投影其他证明方法．猜想成立，即得出等腰三角形性质1.教师引导学生得到性质2，并强调性质2的应用很重要，我们要在下节课中重点研究性质2．教师重点启发这个性质可以用类似的方法证明，等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角平分底边，这也就证明了性质2. ppt展示符号语言.教师出示例1，引导学生分析，由已知线段相等可以得到哪些角相等？学生先自主探究，然后合作交流，最后展示；师生共同评价
尝试应用 ⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ ；⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______。如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBD的度数为 。5、如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°）,AD是底边BC上的高，写出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数，并写出图中有哪些相等的线段？ 教师出示问题，学生自主、合作、展示，师生共同评价1、75°, 30°2、70°,40°或55°,55°3、35°,35°4、30°5、解：∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45°图中相等的线段有:AB=AC,AD=BD=CD.
成果展示 本节课你学到了什么？等腰三角形的三条性质；你还有什么疑惑？ 教师引导学生总结本节所学知识，所掌握的方法，注意点拨、诱导、强调
补偿提高 6、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数 6、解：∵AB=AD=DC∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x在△ABC中， ∠B+ ∠C+ ∠BAD+ ∠DAC=2x+x+26°+x=180°解得：x=38.5°，∴ ∠B=77°， ∠C= 38.5°
作业设计 作业：教材77页第3题同步56页9、11题 学生认定作业，课下独立完成
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