2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.3幂函数 导学案

3.3　幂函数
班级：___________ 姓名：_____________ 学号：____________ 评价：____________
教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.
3.以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.
一、基本概念（预习课本p89页）
问题1　上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
问题2　判断一个函数是幂函数的依据是什么？
问题3　幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞)上为减函数时，α满足的条件是什么？
知识点1.幂函数的概念：一般地，函数 做幂函数，
其中x是自变量，α是常数.
知识点2.五个幂函数的图象与性质
在同一平面直角坐标系内函数
(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；
(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象．
2．五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞)
值域 R R
奇偶性
单调性 增 在[0，＋∞)上 ， 在(－∞，0]上 在(0，＋∞)上 ， 在(－∞，0)上
知识点3.一般幂函数的图象特征
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点
（2）当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上单调递 ，
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
（3）当 时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
（4）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 的顺序排列．
二、基础自测
1．已知f(x)＝(m＋1) 是幂函数，则m等于________．
2．下列函数中的幂函数有________．
①y＝x0； ②y＝(x＋1)3； ③y＝2x； ④y＝x－1； ⑤y＝x4＋1.
3．当x∈(0,1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,8)，则f(3)＝________.
三、基本题型
题型一　幂函数的概念
例1　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________．
题型二　幂函数的图象及应用
例2　若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)跟踪训练2　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
题型三　比较幂值的大小
例3　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.5与0.5； (2)－1与－1；
(3)与 .
反思感悟　比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
跟踪训练3　比较下列各组数的大小：
(1)0.3与0.3； (2)－3.143与－π3.
三、能力拓展 幂函数性质的综合应用
典例　已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 < 的a的取值范围．
3.3　幂函数课后作业
班级：___________ 姓名：_____________ 学号：____________ 评价：____________
一、基础过关
1．如图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)
A．①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝x－1
B．①y＝x3；②y＝x；③y＝x2；④y＝x－1
C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝x；④y＝x－1
D．①y＝x3；②y＝x2；③y＝x；④y＝x－1
2．已知幂函数f(x)＝(2n2－n)xn＋1，若f(x)在其定义域上为增函数，则n等于(　　)
A．1或－　 B．1 C．－ D．－1或
3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
4．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
5．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　　)
x 1
f(x) 1
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
则f(x)的单调递增区间是________．
7．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
8．若f(x)是幂函数，且满足＝4，则f＝_______
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
10．比较下列各组数的大小(不要求写过程)
(1)3－和3.2－；
(2)和；
(3)4.1和3.8.
二、能力提升
11．幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xm，y＝xn的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则mn等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
12．(多选)已知实数a，b满足等式a＝b，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．013．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
14．已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．1
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