2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率 教案
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 369.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-23 21:19:15 | ||
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文档简介
2.1.1倾斜角与斜率
【课标要求】
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
【教学目标】
1.了解确定直线位置的几何要素，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.在平面直角坐标系中,结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，将几何问题代数化，体会数形结合、分类讨论的思想方法，培养学生观察探究以及数学抽象的能力.
3.通过学习，感受数学与生活的联系，提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.
【学情分析】
在初中学生就已经知道“两点确定一条直线”，在上一章刚学习过立体几何，对空间点线面有比较深入的了解，对解析几何也有了初步认识，学习过的正切函数也为本节的学习打好了基础，但是学生的基础较为薄弱，推理能力、抽象能力也需不断提高，结合学生的实际情况以课本采用的利用向量推导斜率的方法为主，引导学生进行探究学习.
【教学重点】
直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式
【教学难点】
过两点的直线斜率的计算公式，直线的斜率与倾斜角之间的关系
【教学过程】
一、情境引入
请同学们观察图片，说说图片中
的直线有什么区别？
（设计意图：通过生活中实际物体，提出问题，让学生从认识直线的倾斜程度，从而引入课题.）
探究新知
思考：（1）在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？
（2）在平面直角坐标系中，由一点能否确定一条直线？
（3）如图，这些直线都过点P，它们之间有什么区别？
（设计意图：在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素
是点和方向发展学生直观想象核心素养.）
问题1： 如何表示直线的方向？
规定：（1）水平直线的方向向右（2）其它直线向上的方向为这条直线的方向
直线的倾斜角的定义：我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
（设计意图：利用具体图形，更加直观地解释直线的方向，使学生更加容易理解直线的倾斜角.）
活动1：请同学们根据直线的倾斜角的定义，找出下列直线的倾斜角，做好标注.
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
练习1：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，请同学们找出正确的直线的倾斜角？
（设计意图：通过活动和练习，让学生加深对直线倾斜角概念的理解，提升概念运用能力.）
问题2：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系
类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系
一般地，直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系
对于问题（1），如图，
向量=（，1），且直线OP的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有
．
对于问题（2），如图，
．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α．由正切函数的定义，有
．
对于问题（3）一般地，如图，
向量．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tanα=．
注意：x1x2，当x1=x2时，直线l倾斜角为90o，上式无意义.
结论 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的坐标有如下关系：tanα=
直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.
(设计意图：通过3个思考问题引导学生探究直线的斜率公式，探究内容由特殊到一般，归纳一般结论，从而得出直线的斜率公式，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.)
三、例题讲解
例1 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
（2）
例2 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角.
（1） （2）
例3 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
（设计意图：通过典型例题的分析和解决，让学生加深对直线倾斜角和斜率概念的理解，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养.同时通过例3引出直线的斜率与倾斜角之间的关系.）
问题：直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么？通过直线的倾斜角与斜率的函数图像，我们可以获得哪些信息？
例4 已知直线的斜率的取值范围为[ 1,1]求直线的倾斜角的取值范围？
四、课堂小结
（1）直线的倾斜角的定义以及如何找直线的倾斜角.（2）直线的斜率.
（3）直线的倾斜角，斜率，直线上两点坐标之间的关系.
（设计意图：请学生回答，回顾、反思、总结知识点，提高学生自我整合知识、归纳总结的能力）
五、课后作业
课本57页习题2.1第1、2、3题.
（设计意图：固化知识，提升能力）
富源县2021年高中数学教学竞赛 教学设计
【课标要求】
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
【教学目标】
1.了解确定直线位置的几何要素，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.在平面直角坐标系中,结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，将几何问题代数化，体会数形结合、分类讨论的思想方法，培养学生观察探究以及数学抽象的能力.
3.通过学习，感受数学与生活的联系，提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.
【学情分析】
在初中学生就已经知道“两点确定一条直线”，在上一章刚学习过立体几何，对空间点线面有比较深入的了解，对解析几何也有了初步认识，学习过的正切函数也为本节的学习打好了基础，但是学生的基础较为薄弱，推理能力、抽象能力也需不断提高，结合学生的实际情况以课本采用的利用向量推导斜率的方法为主，引导学生进行探究学习.
【教学重点】
直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式
【教学难点】
过两点的直线斜率的计算公式，直线的斜率与倾斜角之间的关系
【教学过程】
一、情境引入
请同学们观察图片，说说图片中
的直线有什么区别？
（设计意图：通过生活中实际物体，提出问题，让学生从认识直线的倾斜程度，从而引入课题.）
探究新知
思考：（1）在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？
（2）在平面直角坐标系中，由一点能否确定一条直线？
（3）如图，这些直线都过点P，它们之间有什么区别？
（设计意图：在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素
是点和方向发展学生直观想象核心素养.）
问题1： 如何表示直线的方向？
规定：（1）水平直线的方向向右（2）其它直线向上的方向为这条直线的方向
直线的倾斜角的定义：我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
（设计意图：利用具体图形，更加直观地解释直线的方向，使学生更加容易理解直线的倾斜角.）
活动1：请同学们根据直线的倾斜角的定义，找出下列直线的倾斜角，做好标注.
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
练习1：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，请同学们找出正确的直线的倾斜角？
（设计意图：通过活动和练习，让学生加深对直线倾斜角概念的理解，提升概念运用能力.）
问题2：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系
类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系
一般地，直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系
对于问题（1），如图，
向量=（，1），且直线OP的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有
．
对于问题（2），如图，
．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α．由正切函数的定义，有
．
对于问题（3）一般地，如图，
向量．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tanα=．
注意：x1x2，当x1=x2时，直线l倾斜角为90o，上式无意义.
结论 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的坐标有如下关系：tanα=
直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.
(设计意图：通过3个思考问题引导学生探究直线的斜率公式，探究内容由特殊到一般，归纳一般结论，从而得出直线的斜率公式，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.)
三、例题讲解
例1 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
（2）
例2 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角.
（1） （2）
例3 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
（设计意图：通过典型例题的分析和解决，让学生加深对直线倾斜角和斜率概念的理解，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养.同时通过例3引出直线的斜率与倾斜角之间的关系.）
问题：直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么？通过直线的倾斜角与斜率的函数图像，我们可以获得哪些信息？
例4 已知直线的斜率的取值范围为[ 1,1]求直线的倾斜角的取值范围？
四、课堂小结
（1）直线的倾斜角的定义以及如何找直线的倾斜角.（2）直线的斜率.
（3）直线的倾斜角，斜率，直线上两点坐标之间的关系.
（设计意图：请学生回答，回顾、反思、总结知识点，提高学生自我整合知识、归纳总结的能力）
五、课后作业
课本57页习题2.1第1、2、3题.
（设计意图：固化知识，提升能力）
富源县2021年高中数学教学竞赛 教学设计