2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.1直线的点斜式方程教学设计

课题 2.2.1直线的点斜式方程
教材分析 本节课是人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》的内容，在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基础的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推导出来的。从给定一点和一个方向向量可以唯一确定一条直线和初中学过的一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地引导到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题。在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手。在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程。充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
课程目标 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.
学科素养 1.数学抽象：斜截式方程与一次函数的关系 2.逻辑推理：直线点斜式和斜截式方程的推导 3.数学运算：求直线点斜式和斜截式方程 4.直观想象：通过图像
教学重难点 1.教学重点：掌握直线方程的点斜式并会应用2.教学难点：了解直线方程的点斜式的推导过程．
课前准备 多媒体
教学环节时间安排 教师活动 学生活动 设计意图 批注
5min15min15min5min 复习，引入课题1.已知直线的倾斜角，求斜率的公式是什么？2.已知两点求斜率的公式是什么？3.怎样判定两直线平行？4.怎样判定两直线垂直？5思考：我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P（x0,y0）和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x,y)与点P0的坐标（x0,y0）和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？探究新知一、直线的点斜式方程 （一）让学生阅读课本第59页到第60页的内容，并回答下列问题：已知直线过一点P0和斜率为k，这样的直线是唯一一条吗？已知直线过一点P0(x0,y0)和斜率为k，设P(x,y)是直线上不同于点P0(x0,y0)的任意一点，有斜率公式可以得到k= 已知直线l过一点P0(x0,y0)和斜率为k，设P(x,y)是直线上不同于点P0(x0,y0)的任意一点，得到的方程y-y0=k(x-x0)能表示直线l上的所有点都满足这个方程吗？反过来，满足这个方程的所有的点都在直线l上吗？直线的点斜式方程是什么？直线的点斜式方程能表示所有的直线吗？（二）通过以上的问题得到结论如下：1.直线的点斜式方程 名称已知条件示　意　图方程使用范围点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线2.（1）点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.（2）点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.（3）当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.题型一、已知直线过一点和已知直线的斜率，求直线的方程例1．经过点且直线斜率的直线方程是（ ）A．B．C．D．【答案】B变式训练：过点，斜率是的直线方程是（ ）D．【答案】C题型二、已知直线过一点和已知直线的倾斜角，求直线的方程例2．一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的方程为( )A．B．C．D．【答案】C变式训练：过点且倾斜角为的直线方程为（ ）【答案】A题型三、已知直线过两点，求直线的方程例3．已知点A(1,1)，B(2,4)，则直线AB的方程为_____.【答案】3x-y-2=0变式训练：过点的直线的方程为 .【答案】题型四、已知直线过一点和直线的方向向量，求直线的方程若直线l经过点，且直线l的一个方向向量为，则直线l的方程为___________．【答案】变式训练：过点且直线的一个方向向量为，则这条直线方程为__________．【答案】总结：规律方法：点斜式方程的求法(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.二、直线的斜截式方程 1.思考：如果斜率是k的直线l过点P0(0,b),那么此直线方程是什么？2.学生阅读课本第61页上半部分的内容，回答问题：（1）直线在y轴上的截距的定义是什么？（2）直线在x轴上的截距的定义是什么？（3）截距是距离吗？2.通过上面的思考得到结论如下：名称已知条件示　意　图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距by=kx+b斜率存在的直线强调：（1）.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.（2）截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.（3）由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-4的斜率k=2,纵截距为-4.斜截式方程的求法： 已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接写出直线的方程;已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与y轴上的截距.直线的斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多的直线方程的形式之一.题型五、求直线在x或y轴上的截距例5.（1）直线在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 （2）直线在x轴上的横截距为 ，在y轴上的截距为 变式训练（1）直线在x轴上的横截距为 ，在y轴上的截距为 变式训练（2）直线在x轴上的横截距为 ，在y轴上的截距为 题型六已知直线的横纵截距求直线中字母的值例6.直线在x轴上的截距为3，则实数m的值为（ ） B． C． D．6【答案】B变式训练：已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是（ )A．1 B． C．或 D．或1【答案】D三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论：l1//l2的条件是什么？l1⊥l2的条件是什么？答案：（1）l1∥l2 k1=k2,且b1≠b2;（2）l1⊥l2 k1k2=-1.强调：两直线的斜率之积为-1,则两直线一定垂直;两条直线的斜率相等,两直线不一定平行,还可能重合.题型七、根据直线的斜截式方程和两直线平行与垂直，求参数的值例7．设，如果直线与直线平行，那么________．【答案】或变式训练：已知两条直线和互相垂直，则等于 （ ）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】D题型八、综合应用例8．已知的顶点，，.求边的高线所在直线的方程；【答案】直线的斜率为，直线边的高线的斜率为，直线边的高线的方程为：，即.变式训练：已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点.（1）求经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程；（2）求经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程.【答案】（1）由题得直线BC的斜率为，所以经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程为：；（2）由题得直线BC的斜率为，所以所求直线的斜率为.所以直线的方程为，即，所以经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程.小结：1、已知一点和倾斜角，如何求直线方程数形结合、分类讨论思想作业：课本第61-62页练习1.2.3.4 重复、记忆、理解公式 通过已有知识完成知识构建通过已有知识完成知识构建学生记笔记，反思学习过程，加深理解熟练方法运用师生共同完成一名学生板书其余同学练习本独立完成师生共同完成一名学生板书其余同学练习本独立完成师生共同完成一名学生板书其余同学练习本独立完成师生共同总结通过已有知识完成知识构建通过已有知识完成知识构建学生记笔记，反思学习过程，加深理解熟练方法运用师生共同完成师生共同完成一名学生板书其余同学练习本独立完成师生共同完成师生共同完成一名学生板书其余同学练习本独立完成师生共同完成一名学生板书其余同学练习本独立完成学生独立完成 复习旧知，为新课的引入做铺垫。让学生理解已知直线两个要素，建立直线方程的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。将知识点进行提炼、总结通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过大量反复练习，扎实定理内容并学会灵活运用.通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。再次回顾知识点，加深印象通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
板书设计 3.2.1直线的点斜式方程教学目标：点斜式复习公式（1）（2）（1）k存在时，直线方程k不存在时，直线方程例小结：1、已知一点和倾斜角，如何求直线方程2、数形结合、分类讨论思想
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