2020-2021学年广西贵港市高二（下）期末考试数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年广西贵港市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题

1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C.） D.

2. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.

4. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.

5. 阿基米德是伟大的物理学家，哲学家，数学家和力学家，是名副其实的“全能天才”．他本人最得意的发现是名为“圆柱容球”的几何图形，就是在圆柱形容器里放了一个球，这个球顶天立地，四周喷边（球的直径与圆柱形容器的高和底面直径分别相等）．人们为了纪念他，根据他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了该几何图形．在一个“圆柱容球”的圆柱内任取一点，则所取的点恰好落在这个“圆柱容球”的球内的概率是( )
A. B. C. D.

6. 若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则( )
A. B. C. D.

7. 运行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）
A. B. C. D.

8. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.

9. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为( )
A. B. C. D.

10. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作．若，则( )
A. B. C. D.

11. 如图，在直三棱柱 中，为的中点，平面，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.

12. 已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题

已知向量，，，则________， ________．

若，则________．

在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则________．

在正三棱锥中，的边长为，侧棱长为，则该三棱锥外接球的表面积为________.
三、解答题

某企业研制出一款疫苗后，招募了名志愿者进行先期接种试验，其中岁以下人，岁及以上人．第一次接种后天，该企业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现名志愿者产生了抗体，其中岁以下的有人产生了抗体．
岁以下 岁及以上 合计
有抗体
没有抗体
合计
填写上面的列联表，并判断能否有的把握认为该款疫苗产生抗体与接种者年龄有关．
参考公式：，其中．

已知数列的前项和为，，，．
求数列和的通项公式；
记数列的前项和为，若对任意都成立，求实数的取值范围．

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影是的中点，点是的中点．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．

已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，.
求椭圆的标准方程；
设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

已知函数．
若，求曲线在处的切线方程；
若存在实数，使得有两个不同的零点，，证明：．

在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，得到曲线以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线的极坐标方程为，与曲线，分别交于，两点．
求曲线的直角坐标方程和极坐标方程；
求||的值．

已知函数.
求不等式的解集．
函数的最小值为实数，若三个实数，，，满足证明：.
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西贵港市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
无
【解答】
解：因为，
所以，
所以应满足．
故选．
2.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的混合运算
【解析】
无
【解答】
解：因为，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，，，
所以，
故．
故选.
4.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：双曲线的标准方程为，
因为，，
所以其渐近线方程为．
故选.
5.
【答案】
C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设圆柱的体积为，球的体积为，球的半径为，
则圆柱的高为，，，
所以所求概率为．
故选．
6.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的周期性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：的图象向左平移个单位长度后得到
的图象．
因为是偶函数，
所以，．
解得，，
因为，
所以．
故选．
7.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，，，；
，，，；
，，，；
，，，，输出.
故选.
8.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为奇函数在上单调递增，且，
所以当，且时，，
，则，故不正确．
函数的定义域内显然没有．故不正确．
故选.
9.
【答案】
A
【考点】
抛物线的求解
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】

【解答】
解：由题知，抛物线方程为．
设直线的方程为，
代入抛物线方程，得．
设，，
则，．
因为，
所以，
所以或
故，
即的斜率为．
故选．
10.
【答案】
C
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以
．
故选．
11.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，不妨设．
因为平面，
所以，，．
因为为的中点，
所以，
即，，
所以是等腰直角三角形．
设为的中点，连接，，
则，
所以或其补角就是异面直线与所成的角．
因为，
所以，．
故选.
12.
【答案】
D
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，，显然成立．
当时，，
所以，
记，，
则，.
令，
则，
所以在上单调递增．
，若，则，
记，，
则，
所以存在，使得，
当时，，单调递减，
所以当时，，不符题意．
若，，即当时，单调递增，
所以，符合题意．
综上所述，的取值范围是.
故选.
二、填空题
【答案】
,
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以，
解得，
因为，
所以.
故答案为：；.
【答案】
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为,
所以．
故答案为：.
【答案】
【考点】
正弦定理
三角函数中的恒等变换应用
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，，，
所以
，则．
因为，
所以.
因为，
所以
故答案为：.
【答案】
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设外接球的半径为，
因为的边长为，
所以外接圆的半径为．
因为的边长为，侧棱长为，
所以三棱锥的高为．
因为，
所以，
故外接球的表面积为．
故答案为：．
三、解答题
【答案】
解：补全列联表如下，
岁以下 50岁及以上 合计
有抗体
没有抗体
合计
因为，
所以有的把握认为该款疫苗产生抗体与接种者年龄有关．
【考点】
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：补全列联表如下，
岁以下 50岁及以上 合计
有抗体
没有抗体
合计
因为，
所以有的把握认为该款疫苗产生抗体与接种者年龄有关．
【答案】
解：当时，；
当时，，
所以，
得．
因为，
所以对任意都有．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
故，
．
因为，
所以 ．
因为对任意都成立，
所以，
解得，
即实数的取值范围是．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：当时，；
当时，，
所以，
得．
因为，
所以对任意都有．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
故，
．
因为，
所以 ．
因为对任意都成立，
所以，
解得，
即实数的取值范围是．
【答案】
证明：如图，记的中点为，连接，．
因为是的中点，是的中点，
所以，分别是和的中位线，
所以，
因为是平行四边形，
所以，
所以．
因为，
平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
解：因为，，点是的中点，
所以，．
因为平面，
所以．
因为，
所以
以为原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设二面角为，
则，
所以，即二面角的正弦值为．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：如图，记的中点为，连接，．
因为是的中点，是的中点，
所以，分别是和的中位线，
所以，
因为是平行四边形，
所以，
所以．
因为，
平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
解：因为，，点是的中点，
所以，．
因为平面，
所以．
因为，
所以
以为原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设二面角为，
则，
所以，即二面角的正弦值为．
【答案】
解：设椭圆的标准方程为，
把点，代入椭圆方程，
可得 解得，，
故椭圆的标准方程为.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组
整理得，
所以.
设，，
则，，
所以，
因为，
所以线段的中点坐标为，
因为点在轴上，且，
所以为线段的垂直平分线与轴的交点．
当时，，，则 ．
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
所以，
所以 ．
当直线的斜率不存在时，，
所以或能满足
综上所述，存在实数满足题意．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设椭圆的标准方程为，
把点，代入椭圆方程，
可得 解得，，
故椭圆的标准方程为.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组
整理得，
所以.
设，，
则，，
所以，
因为，
所以线段的中点坐标为，
因为点在轴上，且，
所以为线段的垂直平分线与轴的交点．
当时，，，则 ．
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
所以，
所以 ．
当直线的斜率不存在时，，
所以或能满足
综上所述，存在实数满足题意．
【答案】
解：当时，，．
因为，，
所以所求切线方程为，
即.
证明：若有两个不同的零点，，
则，
所以．
令，则，
所以在上单调递增．
不妨设，因为，
所以，
所以．
因为，
所以，即．
要证，即证，
只需证，
即证．
令，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，即成立，
故．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，，．
因为，，
所以所求切线方程为，
即.
证明：若有两个不同的零点，，
则，
所以．
令，则，
所以在上单调递增．
不妨设，因为，
所以，
所以．
因为，
所以，即．
要证，即证，
只需证，
即证．
令，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，即成立，
故．
【答案】
解：将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，
得到曲线，即．
把代入得，即.
设，，
曲线的极坐标方程为，
则， ，
所以．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩到原来的，
得到曲线，即．
把代入得，即.
设，，
曲线的极坐标方程为，
则， ，
所以．
【答案】
解：由，
得或或
解得或或，
所以原不等式的解集为.
证明：因为，
所以．
因为，
所以，
因为
，
当且仅当，即，，时取等号，
所以 .
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由，
得或或
解得或或，
所以原不等式的解集为.
证明：因为，
所以．
因为，
所以，
因为
，
当且仅当，即，，时取等号，
所以 .
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