2020-2021学年河北省秦皇岛高二（下）期末考试数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年河北省秦皇岛市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题

1. 已知复数满足（为虚数单位），则
A. B. C. D.

2. 已知，，，则
A. B.
C. D.

3. 命题“，”的否定( )
A.， B.，
C.， D.，

4. 下列说法错误的是( )
A.“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.“，”的否定是“，”
C.“”是“”的必要不充分条件
D.“或”是“”的充要条件

5. 函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

6. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.

7. 曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为( )
A. B. C. D.

8. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题

下列命题中的真命题是
A.， B.，
C.， D.，

已知集合，集合中有两个元素，且满足，则集合可以是（ ）
A. B. C. D.

下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.

下列说法正确的是( )
A.当时， 的最小值为
B.函数的单调递增区间为
C.不等式的解集为
D.已知且，则为第一象限角
三、填空题

已知复数为纯虚数，则实数________．

已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为________．

已知，则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为________.

曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.
四、解答题

已知且，命题：函数在上为减函数；命题：关于的不等式有实数解．
求命题为真、命题为真的的取值范围；
如果为真且为假，求实数的取值范围．

已知圆的圆心为，直线与圆相切．
求圆的方程；
若直线过点，被圆所截得的弦长为，求直线的方程．

若直线交抛物线于、两点，且的中点为，求及弦的长．

已知函数在处的切线为.
求实数，的值；
求函数在上的最值．

已知函数．
若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
若函数在上的最小值为，求实数的值．

已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.
求双曲线的标准方程；
直线：与双曲线交于，两点，若，求的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省秦皇岛市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】
解：
，
则．
故选．
2.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
补集及其运算
【解析】
进行交集、补集的运算即可．
【解答】
解：；
∴ ．
故选．
3.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为全称命题，则命题的否定为，．
故选．
4.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可．
【解答】
解：，“若，则”的逆否命题是“若，则”，故正确；
，“，”的否定是，”，故正确；
，“”等价于“或”，
∴ ”是“”的充分不必要条件，故错误；
，“或”是“”的充要条件，故正确．
故选．
5.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
函数的单调性及单调区间
【解析】
由二次函数的图象的对称轴方程为，根据函数在区间上单调递增，可得 ，由此求得的范围．
【解答】
解：由于函数的对称轴方程为，
若函数在区间上单调递增，
故有 ，
求得．
故选．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；
【解答】
解：∵ 函数，
∴ ，令，得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴ 在处取极大值，也是最大值，
∴ 最大值为，
故选．
7.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
先求得函数的导数，根据切线的斜率，求出切点坐标，进而得到所求切线的方程．
【解答】
解：设切线的切点坐标为，
，
，
故，
所以切点坐标为，
所求的切线方程为，
即.
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线经过的点，推出，的方程，结合离心率推出结果即可．
【解答】
解：双曲线过点，离心率为，
可得： ，，
又，
解得，
所求的双曲线的标准方程为．
故选．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据指数函数的值域，得到项正确；根据一个自然数的平方大于或等于，得到项不正确；根据对数的定义与运算，得到项正确；根据正弦函数＝的值域，得项正确．由此可得本题的答案．
【解答】
解：∵ 指数函数的值域为，
∴ 任意，均可得到成立，故为真命题；
∵ 当时，，可得，当且仅当时取等号，
∴ 任意，使不成立，故为假命题；
∵ 当时，，
∴ 存在，使得成立，故为真命题；
∵ 正切函数的值域为，
∴ 存在锐角，使得成立，故为真命题.
综上所述，只有项是假命题.
故选.
【答案】
B,D
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合 ，由 ，可得出 ，再由集合中有两个元素，可得出集合的可能结果．
【解答】
解：∵ ，且 ，
则，
由于集合中有两个元素，则或.
故选．
【答案】
A,C
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的单调性及单调区间
【解析】
利用函数的奇偶性与单调性逐一分析判定即可.
【解答】
解：， ， 既是偶函数，在上又是增函数，该选项符合题意；
B． ，是奇函数，该选项不符合题意；
C． ， 既是偶函数，在上又是增函数，该选项符合题意；
D． 是偶函数，且，∴ 该函数在上不是增函数，该选项不符合题意.
故选.
【答案】
A,B,C,D
【考点】
正弦函数的单调性
命题的真假判断与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，∵ ，∴ ，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值为，故正确；
，∵ ，
∴ 单调递增区间为，，
，，
即单调递增区间为，，故正确；
，∵ ，∴ ，则，故正确；
，∵ 且，
∴ ，则为第一象限角，故正确．
故选．
三、填空题
【答案】
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后根据纯虚数的概念求出的值．
【解答】
解：∵ 为纯虚数，
∴ ，∴ ．
故答案为：．
【答案】
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦距求解椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆的一个焦点为，
可得，解得，
所以椭圆的离心率为：．
故答案为：．
【答案】
【考点】
复数的模
轨迹方程
复数的运算
【解析】
直接利用复数的几何意义以及椭圆的定义即可求解结论．
【解答】
解：复数在复平面内所对应点，
又 ∵ ，
∴ ，
即点到点 和 的距离之和为，
且两定点的距离为，
故点的运动轨迹是以点为焦点的椭圆，
且，，
故，
∴ 复数在复平面内所对应点的轨迹方程为： ．
故答案为： ．
【答案】
【考点】
导数的几何意义
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求导得 ，故 ，再结合和直线的点斜式方程得切线方程，进而求在坐标轴上的点的坐标，计算三角形的面积．
【解答】
解：因为 ，
所以，又，
故曲线在处的切线方程为，
切线交两坐标轴于点 ，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：命题：函数在上为减函数，
所以真：；
命题：关于的不等式有实数解，
所以真：，
解得 或.
因为为真，且为假，所以命题和一真一假．
当真假时，
解得 ；
当假真时，
解得，
所以的取值范围为 .
【考点】
命题的真假判断与应用
复合命题及其真假判断
【解析】
利用对数函数的性质和一元二次不等式解法求解即可；
因为为真，且为假，所以命题和一真一假．分两种情况求解即可.
【解答】
解：命题：函数在上为减函数，
所以真：；
命题：关于的不等式有实数解，
所以真：，
解得 或.
因为为真，且为假，所以命题和一真一假．
当真假时，
解得 ；
当假真时，
解得，
所以的取值范围为 .
【答案】
解：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心到直线的距离为，
∴ 圆的方程为：．
当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆截得的弦长为，符合题意，所以，
当斜率存在时，设的方程为，
整理得，
则，
又直线被圆所截得的弦长为，
所以，则，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，的方程为或．
【考点】
圆的标准方程
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的性质
【解析】
（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；
（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程再考虑斜率存在的情况，设】的方程为
，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线
方程．
【解答】
解：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心到直线的距离为，
∴ 圆的方程为：．
当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆截得的弦长为，符合题意，所以，
当斜率存在时，设的方程为，
整理得，
则，
又直线被圆所截得的弦长为，
所以，则，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，的方程为或．
【答案】
解：直线代入抛物线，
整理可得，
设，，
∵ 的中点的横坐标为，
∴ 得或，
当时，有两个相等的实数根，不合题意，
当时，直线，时，，
．
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
直线代入抛物线，利用的中点的横坐标为，结合韦达定理，求出的值，即可求及弦的长．
【解答】
解：直线代入抛物线，
整理可得，
设，，
∵ 的中点的横坐标为，
∴ 得或，
当时，有两个相等的实数根，不合题意，
当时，直线，时，，
．
【答案】
解：，
则
即
解得
由可知：，
则，
在区间 上，令，解得；
令 ，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为，
又，，
因为，
所以函数在区间上的最小值为.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
求出函数的导数，利用切线的斜率以及函数值，列出方程组，然后求解即可；
求出导函数，求出极值点以及端点值，然后求解函数的最值．
【解答】
解：，
则
即
解得
由可知：，
则，
在区间 上，令，解得；
令 ，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为，
又，，
因为，
所以函数在区间上的最小值为.
【答案】
解：由，
所以.
若函数在上是增函数，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
也就是在上恒成立，
所以，
所以实数的取值范围是.
由知，.
若，则在上恒成立，
则在上为增函数.
在上的最小值为，，不合题意；
若，由，得．
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
所以当，即时，在上为增函数，
最小值为，，不合题意；
当，即时，在上为减函数，
最小值为，，符合题意；
当，即时，
在上的最小值为，，不合题意．
综上，实数的值为．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（2）求出原函数的导函数，由导函数在大于等于恒成立得到在恒成立，分离变量后即可得到的取值范围；
（3）由原函数的导函数等于求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间上的单调性，由单调性求得原函数在上的最小值，由最小值等于解得的值．
【解答】
解：由，
所以.
若函数在上是增函数，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
也就是在上恒成立，
所以，
所以实数的取值范围是.
由知，.
若，则在上恒成立，
则在上为增函数.
在上的最小值为，，不合题意；
若，由，得．
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
所以当，即时，在上为增函数，
最小值为，，不合题意；
当，即时，在上为减函数，
最小值为，，符合题意；
当，即时，
在上的最小值为，，不合题意．
综上，实数的值为．
【答案】
解：双曲线的离心率为，
且其顶点到其渐近线的距离为，
∴ ，，
解得，，
∴ 双曲线的标准方程为.

可得 ，
设，，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
解得 .
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
由题意得到，，求解即可；
利用根与系数关系结合弦长公式求解即可.
【解答】
解：双曲线的离心率为，
且其顶点到其渐近线的距离为，
∴ ，，
解得，，
∴ 双曲线的标准方程为.

可得 ，
设，，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
解得 .
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