2020-2021学年河北省石家庄高二（下）期末考试数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年河北省石家庄市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题

1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.

2. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.

3. 已知命题，则命题为（ ）
A. B.
C. D.

4. 的值为
A. B. C. D.

5. 定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.

6. 已知函数 是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

7. 已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

8. 设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题

下列四个选项中，是的充分必要条件的是
A.
B.
C.∶
D.

已知曲线，，则下面结论正确的是
A.把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线
B.把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线
C.把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D.把曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有．当时，，则下列说法正确的是( )
A.的一个周期为
B.若，则
C.点为的一个对称中心
D.

若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图象的对称中心可能是
A. B. C. D.
三、填空题

若集合中有且仅有一个元素，则的值为________．

已知条件，条件，若的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是________．

已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________.

已知函数，若在上单调减函数，则实数的最大值为________；若，在上至少存在一点，使得成立，则实数的最小值为________．
四、解答题

已知函数．
求函数的值域；
求函数单调递增区间．

已知数列的前项和为 .
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和 .

三个内角，，的对边分别为，，， ．
证明：；
若，，为边上一点且，求的面积．

如图，已知斜三棱柱，，，的中点为．且平面，．
求证：；
线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为．若存在求出的值；若不存在，请说出理由．

已知椭圆的离心率为，过左焦点且与轴垂直的弦长为．
求椭圆的方程；
已知，为椭圆上两点，为坐标原点，斜率为的直线经过点，若，关于对称，且，如果存在这样的直线，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

已知函数有两个零点．
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省石家庄市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
无
【解答】
解：由题设可得 ，
故．
故选．
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：.
是纯虚数，
．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
无
【解答】
解：是全称量词命题，
则命题为存在量词命题，
由全称量词命题的否定意义得：命题．
故选．
4.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
根据同角的基本关系式以及三角函数的倍角公式进行化简求解即可．
【解答】
解：
.
故选.
5.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
无
【解答】
解： 定义在上的偶函数在上单调递增，且，
在上单调递减，且，
或
故或．
故选．
6.
【答案】
C
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
无
【解答】
解：当时，在上为减函数，
在上为增函数，不符合题意；
当时，可得在上为单调递减函数，
解得．
故选．
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
无
【解答】
解：显然 ，
有两个零点，即方程在上有两个解，
两边取对数得到.
令，，
在上单调递增，在上单调递减.
又当时，；当时，.
有两个零点，
则，
解得，
正数的取值范围是．
故选．
8.
【答案】
B
【考点】
函数的对称性
函数的零点与方程根的关系
利用导数研究函数的最值
【解析】
利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．
【解答】
解：由，可得，其中是函数的反函数，
因此命题“存在使成立”，转化为“存在，使”，
即的图象与函数的图象有交点，且交点的横坐标.
∵ 的图象与的图象关于直线对称，
∴ 的图象与函数的图象的交点必定在直线上，
由此可得，的图象与直线有交点，且交点横坐标，
∴ ，
∴ .
设，
则在上恒成立，
∴ 在上单调递增，
∴ ，，
∴ 的取值范围是.
故选.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：．由，可得，反之也成立，是的充分必要条件；
．由，，可得，反之也成立，是的充分必要条件；
．由，可得，反之也成立，是的充分必要条件；
．由， ，可得， ，反之不成立，例如取， ，是的必要不充分条件．
故选．
【答案】
B,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：曲线到曲线的转换可通过两个途径放缩、平移可得：
途径一：向右平移，即，
再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
即
，可得选项正确；
途径二：把曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），即，
所得曲线向右平移个单位长度，即
，可得选项正确.
故选.
【答案】
A,B,C
【考点】
命题的真假判断与应用
函数奇偶性的性质
函数的周期性
函数的对称性
【解析】
本题考查函数的奇偶性，单调性，对称性等函数性质．
【解答】
解：由为奇函数， ，所以函数关于直线对称，
所以，故周期，选项正确；
当时，，所以，
所以，则，选项正确；
点为的一个对称中心，所以，
故，选项正确，错误．
故选．
【答案】
A,B
【考点】
正弦函数的对称性
函数的值域及其求法
【解析】
对函数进行化简，结合奇偶性考虑最值，可求出，从而可得函数的对称中心，则答案可求．
【解答】
解：
，
而函数为奇函数，设其最大值为，则其最小值为，
可得，，
∴ ，
∴ ．
令，得，．
取，得，此时；
取，得，此时；
取，得，此时，
∴ 函数图象的对称中心可能是和.
故选.
三、填空题
【答案】
或
【考点】
集合中元素的个数
【解析】
无
【解答】
解：当时，方程为，有且只有一解，符合题意；
当时，方程有且仅有一个解等价于，
解得．
故答案为：或．
【答案】
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
无
【解答】
解：命题，解得.
命题，
.
又 ，
，
的一个必要不充分条件为，
，

解得．
故答案为：．
【答案】
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，，则，
又为奇函数，
则，，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
【答案】
,
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由，
得．
要使在内为单调减函数，只需，
即在内恒成立，
设，①
当时，
即
解得：，即的最大值为.
若，
设，则在上是减函数，
∴ ，
，
即．
当时，由，得，
，
令，，
则，
即在上单调递增，
∴ ，不合题意．
当时，
∵ 在单调递增，在上是减函数，
原命题等价于，，
由，
解得.
综上，的最小值是．
故答案为：；.
四、解答题
【答案】
解：
，
∵ ，
∴ ，，
即，即的值域为．
由，，
得，，
即函数的单调递增区间为，．
【考点】
正弦函数的定义域和值域
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的单调性
【解析】
（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．
（2）根据三角函数的单调性的性质进行求解即可．
【解答】
解：
，
∵ ，
∴ ，，
即，即的值域为．
由，，
得，，
即函数的单调递增区间为，．
【答案】
解：当时， ，
当时， ，
经验证，当时，满足，
故 .
由可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴
.
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
解：当时， ，
当时， ，
经验证，当时，满足，
故 .
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
【解答】
解：当时， ，
当时， ，
经验证，当时，满足，
故 .
由可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴
.
【答案】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在中，．
解：在中，．
在中，有，
∴ ，
∴ 或．
∵ 为边上一点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ 的面积为．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
利用正弦定理化边为角，化简得，即可证明利用余弦定理求出，求出，，利用面积公式求解即可．
利用正弦定理化边为角，化简得，即可证明利用余弦定理求出，求出，，利用面积公式求解即可．
【解答】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在中，．
解：在中，．
在中，有，
∴ ，
∴ 或．
∵ 为边上一点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ 的面积为．
【答案】
证明：作交于点，分别以所在直线为轴建系，
，，，
.
，
．
解：设 ， ，，
设面的一个法向量为，
有
令，.
.
若直线与平面所成角的正弦值为，
，
即 ，
解得，
当时，直线与平面所成角的正弦值为．
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
无
无
【解答】
证明：作交于点，分别以所在直线为轴建系，
，，，
.
，
．
解：设 ， ，，
设面的一个法向量为，
有
令，.
.
若直线与平面所成角的正弦值为，
，
即 ，
解得，
当时，直线与平面所成角的正弦值为．
【答案】
解：设，则，
令，则，从而，即.
又因为，即，
解得，
故椭圆的方程为．
设直线的方程为，当时，不符合题意．
当时，设直线，
由 联立，整理得，
，
即①．
设，
则，，
，
．
的中点在直线上，
则，整理得②，
②式代入①式整理得，
解得或．
因为，即，
整理得③．
将②式代入③得，且满足或，
所以，故直线的方程为或．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设，则，
令，则，从而，即.
又因为，即，
解得，
故椭圆的方程为．
设直线的方程为，当时，不符合题意．
当时，设直线，
由 联立，整理得，
，
即①．
设，
则，，
，
．
的中点在直线上，
则，整理得②，
②式代入①式整理得，
解得或．
因为，即，
整理得③．
将②式代入③得，且满足或，
所以，故直线的方程为或．
【答案】
解：的定义域为，．
①当时，，
所以在上单调递增，
故至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，得；令，得，
故上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则，故至多有一个零点，不符合题意．
若，则，，
由知，
∴ ，
∴ ，
.
又∵ ，，
故存在两个零点，分别在，内．
综上，实数的取值范围为．
证明：由题意得
令，
两式相除得，变形得.
欲证，即证，即证．
记，
，
故在上单调递减，
从而，即，
所以得证．
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：的定义域为，．
①当时，，
所以在上单调递增，
故至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，得；令，得，
故上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则，故至多有一个零点，不符合题意．
若，则，，
由知，
∴ ，
∴ ，
.
又∵ ，，
故存在两个零点，分别在，内．
综上，实数的取值范围为．
证明：由题意得
令，
两式相除得，变形得.
欲证，即证，即证．
记，
，
故在上单调递减，
从而，即，
所以得证．
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