2020-2021学年河北省张家口高二（下）期末考试数学试卷 (1)人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年河北省张家口市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题

1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.

2. 已知命题："，”，则命题为（ ）
A.， B.，
C.， D.，

3. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.

4. 某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（ ）
A. B. C. D.

5. 已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 现有名学生坐成一排，其中乙和甲相邻而坐，并且乙和丙也相邻而坐，则不同的坐法共有（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种

7. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.

8. 已知函数为偶函数，且在上是增函数，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

设 ，则下列叙述中正确的是（ ）
A.的虚部为
B.
C.
D.在复平面内，复数对应的点位于第四象限

在 的展开式中，下列叙述中正确的是（ ）
A.二项式系数之和为 B.各项系数之和为
C.常数项为 D.的系数为

甲、乙两名学生在环保知识竞赛的次成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.甲的竞赛成绩的平均分比乙的竞赛成绩的平均分高
B.甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数
C.甲的竞赛成绩的众数为
D.甲的竞赛成绩的方差小于乙的竞赛成绩的方差

已知函数 ，均有 ，当 时，，函数 在上至少有个零点，则下列说法正确的是（ ）
A.是周期为的偶函数 B.当 时，
C. 的解集为） D.的取值范围是
三、填空题

在某市举行的庆祝建党周年学党史知识竞赛中，参赛人员成绩 ，已知，则从全市参赛人员中任选一名，他的成绩大于分的概率为________．

已知 ，则 的最小值为________．

盒中有个大小、形状完全相同的小球，其中有个红球、个绿球、个黄球．现从盒中随机取个球，每次取个，不放回．则取出的个球中恰有个红球、个绿球、个黄球的概率为________．

设函数 ，若，使得不等式 成立，则实数的取值范围是________．
四、解答题

某中学准备组织学科文化节活动，为调查学生是否愿意成为文化节志愿者，该中学在高二年级学生中随机选取了人，进行了问卷调查，得到了如下列联表：
愿意成为志愿者 不愿意成为志愿者 总计
男
女
总计
补全列联表；
是否有的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关？请说明理由．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：

已知函数 ．
若曲线 的切线方程为 ，求的值；
若函数 在区间上的最大值为，求的值．

槲寄生是一种寄生在大树上部树枝的寄生植物，可以从寄主植物上吸取水分和无机物，进行光合作用制造养分．它喜欢寄生在树龄较小的大树上．下表给出了在一定条件下完成的实验中采集的数据：
由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明（精确到）（，说明变量间的线性相关性很强；，说明变量间的线性相关性一般）；
求出关于的线性回归方程（精确到 ），并估算一棵树龄为年的大树上，槲寄生的株数（精确到）．
参考公式：相关系数 ；线性回归方程 中斜率
和截距的最小二乘估计公式：，；
参考数据：，，，
．

已知函数为定义在上的奇函数，且当时，．
求 在上的解析式；
若 ，都有 ，求实数的取值范围．

随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准．零件加工精度受到机械加工工艺的影响，只有提高机械加工工艺水平，才能够尽可能地减少机械加工零件的失误．某制造工厂检测部门抽查了个机械零件，将其直径长度（单位：毫米）作为样本，经统计得频率分布直方图如图所示．已知零件的直径长度在区间内的为合格品，其他为不合格品．
求样本中零件的直径长度在区间（内的零件个数；
若从样本的不合格品中随机抽取个零件，求恰有一个零件的直径长度在区间（，]内的概率；
若将样本的频率视为概率，从生产线中随机抽取个零件，记合格品的个数为，求的分布列、数学期望及方差．

已知函数 ．
讨论函数的单调性；
若函数存在极值点，且 恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省张家口市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ ，，
∴ .
故选．
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
无
【解答】
解：根据特称命题的否定为全称命题可知，
故选．
3.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ ，
∴ ．
故选．
4.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
无
【解答】
解：因为高二和高三年级人数占总人数的，
所以总人数为，
所以高一人数为．
故选．
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：等价于或，
故选．
6.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
无
【解答】
解：．
故选．
7.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：函数的定义域为，，
则函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除；
，排除；
，排除，
故选．
8.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：因为，，，，
又，，，，
所以，
故选．
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
【解析】，的虚部为，错误；
，正确；
，正确；
复数：对应的点为，该点位于第一象限，错误．
故选：，．
【解答】
解：，的虚部为，错误；
，正确；
，正确；
复数对应的点为，该点位于第一象限，错误．
故选．
【答案】
B,C,D
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：．，错误；
．令得各项系数之和为，正确；
．，令，得，正确；
．令，得正确．
故选.
【答案】
B,C,D
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
【解析】由茎叶图中数据可得，，
，所以，故错误；
甲的竞赛成绩的中位数为，乙的竞赛成绩的中位数为，所以甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数，故正确；
易知甲的竞赛成绩的众数为，故正确；
由茎叶图可知，甲的竞赛成绩更集中，故甲的竞赛成绩的方差小于乙竞赛成绩的方差，故正确．
故选：．
【解答】
解：由茎叶图中数据可得，，
，所以，故错误；
甲的竞赛成绩的中位数为，乙的竞赛成绩的中位数为，
所以甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数，故正确；
易知甲的竞赛成绩的众数为，故正确；
由茎叶图可知，甲的竞赛成绩更集中，故甲的竞赛成绩的方差小于乙竞赛成绩的方差，故正确．
故选．
【答案】
B,C
【考点】
函数的周期性
抽象函数及其应用
函数的对称性
函数的零点
【解析】
【解析】因为，所以是定义域为的偶函数，由，得，则是周期为的偶函数，故错误；
，故函数的图象关于对称，当时，，则时，，故正确；
函数的图象如图所示，当时，，当时，，则的解集为），故正确；
函数在上至少有个零点，为函数的零点，且为偶函数，则 在上至少有个零点，即函数与的图象在上至少有个交点，如图所示，可得，即，则，故错误．
故选：．
【解答】
解：因为，所以是定义域为的偶函数，
由，得，则是周期为的偶函数，故错误；
，故函数的图象关于对称，当时，，
则时，，故正确；
函数的图象如图所示，
当时，，当时，，则的解集为），故正确；
函数在上至少有个零点，为函数的零点，且为偶函数，则 在上至少有个零点，即函数与的图象在上至少有个交点，如图所示，可得，即，则，故错误．
故选．
三、填空题
【答案】
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
【解析】∵ ，
∴ ．
故答案为：．
【解答】
解：∵ ，
∴ ．
故答案为：．
【答案】
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解析】，当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
【解答】
解：，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
【答案】
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
无
【解答】
解：．
故答案为：．
【答案】
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
【解答】
解：将化为，
则．
设，
易知在上单调递减，，
则，在上单调递减，
则，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题
【答案】
解：补全列联表如下：
愿意成为志愿者 不愿意成为志愿者 总计
男
女
总计
．
因为，
所以没有%的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关．
【考点】
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：补全列联表如下：
愿意成为志愿者 不愿意成为志愿者 总计
男
女
总计
．
因为，
所以没有%的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关．
【答案】
解：（）由，得，
∴ 切点为，∴ ，∴ ．
，令，得或，
令，得，
∴ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，
∴ ，∴ ．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）由，得，
∴ 切点为，∴ ，∴ ．
，令，得或，
令，得，
∴ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，
∴ ，∴ ．
【答案】
解：相关系数．
∵ ，
∴ 与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
∵ ，，
∴ ，
，
故线性回归方程为．
当时，，
则估计一棵树龄为年的大树上，槲寄生的株数为．
【考点】
相关系数的求法
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：相关系数．
∵ ，
∴ 与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
∵ ，，
∴ ，
，
故线性回归方程为．
当时，，
则估计一棵树龄为年的大树上，槲寄生的株数为．
【答案】
解：（）当时，．
当时，，
∴ ．
∴
（）∵ 时，，对称轴为直线，开口向上，
∴ 函数在上为增函数．
又时，，
∴ 函数在上为增函数．
∵ ，∴ ，
∴ ，即．
又，当且仅当，即时，取“”，
∴ ．
故实数的取值范围为（．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）当时，．
当时，，
∴ ．
∴
（）∵ 时，，对称轴为直线，开口向上，
∴ 函数在上为增函数．
又时，，
∴ 函数在上为增函数．
∵ ，∴ ，
∴ ，即．
又，当且仅当，即时，取“”，
∴ ．
故实数的取值范围为（．
【答案】
解：（）由频率分布直方图，知，解得，
则样本中零件的直径长度在区间内的零件个数为 ．
（）样本中零件的直径长度在区间内的零件个数为，不合格品共个，则恰有一个零件的直径长度在区间内的概率为 ．
（）由频率分布直方图知，零件的直径长度在区间内的频率为，将其视为合格品的概率，从生产线中随机抽取个零件，易知 ．
的所有可能取值为，，，．
,
，
∴ 的分布列为
．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
排列、组合及简单计数问题
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）由频率分布直方图，知，解得，
则样本中零件的直径长度在区间内的零件个数为 ．
（）样本中零件的直径长度在区间内的零件个数为，不合格品共个，则恰有一个零件的直径长度在区间内的概率为 ．
（）由频率分布直方图知，零件的直径长度在区间内的频率为，将其视为合格品的概率，从生产线中随机抽取个零件，易知 ．
的所有可能取值为，，，．
,
，
∴ 的分布列为
．
【答案】
解：（）的定义域为，，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，得，当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（）若函数存在极值点，由（）知，且，则有
，即，
化简得
设，则．
设，则，易知在上单调递减，在上单调递增，故，故，则在上单调递增．
又因为，则，解得，
即的取值范围是）．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）的定义域为，，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，得，当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（）若函数存在极值点，由（）知，且，则有
，即，
化简得
设，则．
设，则，易知在上单调递减，在上单调递增，故，故，则在上单调递增．
又因为，则，解得，
即的取值范围是）．
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