2020-2021学年河南省周口高二（下）入学数学试卷（文科）人教A版 （Word含答案解析）

2020-2021学年河南省周口市高二（下）入学数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合＝，＝，则＝（ ）
A. B. C. D.

2. 数列的前项依次为，则数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.

3. 已知命题，，命题，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B.￢ C.￢ D.￢￢

4. 两个变量与的回归模型中，分别选择了个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A.模型的相关指数＝
B.模型的相关指数＝
C.模型的相关指数＝
D.模型的相关指数＝

5. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为_______________.

6. 有如下四个结论：
①“若，则”的逆命题为真命题；
②“”是“”的充分不必要条件；
③如果，那么
④命题：“，”的否定是“，”．
其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.

7. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.

8. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，，则等于
A. B. C. D.

9. 若实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.

10. 已知函数的导函数为，且满足，则
A. B. C. D.

11. 在等差数列中，，则数列的前项和
A. B. C. D.

12. 若数列满足，，且，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

若，满足约束条件，则＝的最大值为________．

抛物线的焦点坐标是________．

双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则双曲线的离心率为________．

设函数＝，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是________，） ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

已知数列是等差数列，且，＝．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前项和．

在中，，，分别是角，，的对边，，且．
求角；
求边长的最小值．

已知过抛物线＝的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且＝．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．

已知函数＝，．
Ⅰ求的最大值与最小值；
Ⅱ若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

如图、为椭圆的左、右焦点，、是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，．若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”，直线与椭圆交于、两点，、两点的“椭点”分别为、．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点，的直线，使得以为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

已知函数＝（为自然对数的底数）．
Ⅰ当＝时，求曲线在点（）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
Ⅱ若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省周口市高二（下）入学数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
由题意可知真，假，由复合命题的真假可得答案．
【解答】
由题意可知命题，，为真命题；
而命题，，为假命题，即￢为真命题，
由复合命题的真假可知￢为真命题，
4.
【答案】
D
【考点】
回归分析
相关系数
【解析】
根据两个变量与的回归模型中，相关指数的绝对值越接近，其拟合效果越好，由此判断即可．
【解答】
根据两个变量与的回归模型中，相关指数的绝对值越接近，其拟合效果越好，
选项中相关指数最接近，其模拟效果最好．
5.
【答案】
【考点】
双曲线的特性
【解析】
由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出，的关系，结合焦点为，求出，的值，即可得到双曲线的方程．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，
∵ 双曲线的渐近线与圆相切，
∴ ，
∴ ，
∵ 焦点为，
∴ ，
∴ ，，
∴ 双曲线的方程为．
故答案为：.
6.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由已知条件推导出，，，从而得到，由此能求出椭圆的离心率．
【解答】
解：∵ ，分别是椭圆的左，右焦点，
现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，，
过的直线是圆的切线，
∴ ，，，
∴ ，
∴ ，
∴ 椭圆的离心率．
故选：．
8.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由正弦定理化简已知可得：，又，可解得，利用余弦定理可得，结合范围，即可解得．
【解答】
解：∵ ，
∴ 由正弦定理可得：，
又∵ ，
∴ ，
∴ 利用余弦定理可得：
，
∴ 由于，
解得：．
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由，可判断，，然后利用基础不等式即可求解的最小值
【解答】
解：∵ ，
∴ ，，
∵ （当且仅当＝时取等号），
∴ ，
解可得，，即的最小值为，
故选.
10.
【答案】
B
【考点】
导数的加法与减法法则
导数的运算
【解析】
已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，即可求解；
【解答】
解：∵ 函数的导函数为，
且满足，
∴ ，
把代入可得，
解得，
故选.
11.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的通项公式求出，由此能求出数列的前项和．
【解答】
解：等差数列中，，
∴ ，
解得，
∴ 数列的前项和．
故选：．
12.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
【解析】
，且，变形为，利用“裂项求和”可得：．对分类讨论可得：．于是．即可得出．
【解答】
解：∵ ，且，
∴ ，
∴ ．
当为奇数时，，
∴ ．
当为偶数时，，解得．
∴ ．
∴ ．
∴ 数列的前项和
．
故选：．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
【答案】
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．
【解答】
由约束条件作出可行域如图，
化目标函数＝为＝，
由图可知，当直线＝过时，直线在轴上的截距最大，
此时有最大值为＝（4）
【答案】
【考点】
抛物线的求解
【解析】
先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．
【解答】
解：当时，整理抛物线方程得，
∴ 焦点坐标为 ．
当时，同样可得．
故答案为：．
【答案】
【考点】
圆锥曲线的共同特征
【解析】
利用双曲线方程中三个系数的关系求出双曲线的左焦点，求出抛物线的准线方程，将双曲线的焦点坐标代入抛物线的准线方程，列出等式求出的值，代入双曲线的各个系数，利用离心率公式求出双曲线的离心率．
【解答】
解：中
∴
∴
∴ 左焦点为
抛物线的准线方程为
∴
解得
对于双曲线有
∴ 双曲线的离心率
故答案为
【答案】
[
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
首先令＝，＝，判断的单调性．因为存在唯一的整数使得．即．所以结合图形知：
【解答】
令＝，＝，
∵ ＝＝，
∴ 当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增；
而＝，＝；
因为存在唯一的整数使得．
即．
所以结合图形知： 或
即：或 解得或；
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
（1）由于为等差数列，若设其公差为，则，，，，解得，
于是，整理得；
（2）由Ⅰ得，
所以．
【考点】
数列的求和
【解析】
Ⅰ利用已知条件，求出数列的公差，然后求解数列的通项公式；
Ⅱ化简，利用裂项消项法，求解数列的前项和．
【解答】
（1）由于为等差数列，若设其公差为，则，，，，解得，
于是，整理得；
（2）由Ⅰ得，
所以．
【答案】
解：在中，由已知，
即，
，，…分
中，，
故． …分．
（2），
由（1），因此分
由已知分
分
故的最小值为．…分
【考点】
余弦定理的应用
正弦定理
【解析】
利用正弦定理化简表达式，求角；个两角和与差的三角函数化简求解即可．
利用余弦定理求边长的最小值．推出的表达式，利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：在中，由已知，
即，
，，…分
中，，
故． …分．
（2），
由（1），因此分
由已知分
分
故的最小值为．…分
【答案】
依题意可知抛物线的焦点坐标为，故直线的方程为＝，
联立，可得＝．
∵ ，，＝＝，
解得，＝．
∴ 经过抛物线焦点的弦＝＝，解得＝．
∴ 抛物线方程为＝；
由（1）知，＝，＝，代入直线＝，
可求得，，即，，
∴ ＝，
∴ ，
∵ 点在抛物线上，故，
解得：＝或＝．
【考点】
抛物线的性质
【解析】
（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求出，的坐标结合，求出的坐标，代入抛物线方程求得值．
【解答】
依题意可知抛物线的焦点坐标为，故直线的方程为＝，
联立，可得＝．
∵ ，，＝＝，
解得，＝．
∴ 经过抛物线焦点的弦＝＝，解得＝．
∴ 抛物线方程为＝；
由（1）知，＝，＝，代入直线＝，
可求得，，即，，
∴ ＝，
∴ ，
∵ 点在抛物线上，故，
解得：＝或＝．
【答案】
（1）∵ 函数，∴ ，令＝，
∴ ，，；
∴ 在上是单调减函数，上是单调增函数，
∴ 在＝处取得极小值；
又，，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ＝时的最大值为，＝时函数取得最小值为．
（2）由Ⅰ知
当时，，，
只要对任意，即恒成立，
记＝，．，解得，
即实数的取值范围是．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：（1）由题意得，∴ ，，
，
∴ ，即，∴ ，，
∴ 椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为
联立，解得或，
不妨令，，
∴ 对应的“椭点”坐标，．而．
∴ 此时以为直径的圆不过坐标原点．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去，得：，
设，，则这两点的“椭点”坐标分别为，，
由根与系数的关系，得，，
若使得以为直径的圆经这坐标原点，则，
而，，
∴ ，
即，
∴ ，解得，
∴ 直线方程为或．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）由题意得，，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，以为直径的圆不过坐标原点；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，由根与系数的关系，能求出直线方程为或．
【解答】
解：（1）由题意得，∴ ，，
，
∴ ，即，∴ ，，
∴ 椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为
联立，解得或，
不妨令，，
∴ 对应的“椭点”坐标，．而．
∴ 此时以为直径的圆不过坐标原点．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去，得：，
设，，则这两点的“椭点”坐标分别为，，
由根与系数的关系，得，，
若使得以为直径的圆经这坐标原点，则，
而，，
∴ ，
即，
∴ ，解得，
∴ 直线方程为或．
【答案】
（1）∵ 当＝时，＝，＝＝，
＝，＝＝，
∴ 函数在点（）处的切线方程为＝，
即＝．
设切线与，轴的交点分别为，，
令＝得，＝，，
∴ ，，
∴ ，
∴ 函数在点（）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为；
（2）由得，．
令，
则＝，
令＝，则＝．
∵ ，在区间，
∴ ＝．
又，，∴ ，
∴ 在区间上为增函数，
因此只需即可满足题意，
即实数的取值范围为．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
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