2020-2021学年湖北省宜昌高二（下）期末考试数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年湖北省宜昌市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题

1. 设，向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.

2. 已知随机变量的分布列如表所示，则( )
A. B. C. D.

3. 已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内含

4. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，从中不放回地取球次，每次任取一球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为( )
A. B. C. D.

5. 已知函数在处取得极值，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.

6. 年是“十四五”开局之年，“三农”工作重心转向全面推进乡村振兴．某县现招录了名大学生，其中名男生，名女生，计划全部派遣到、、三个乡镇参加乡村振兴工作，每个乡镇至少派遣名大学生，乡镇只派名男生．则不同的派遣方法总数为（ ）
A. B. C. D.

7. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为( )
A. B. C. D.

8. 已知函数，若对任意的 ，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

下列命题中，正确的命题有（ ）
A.利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心
B.设随机变量，则
C.天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为
D.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好

已知 的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.展开式中二项式系数之和为
C.展开式中系数最大的项为第项
D.展开式中的系数为

如图所示，在棱长为的正方体中 中，，分别为棱， 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A.平面
B.平面
C.异面直线和所成的角的正切值为
D.若为直线 上的动点，则三棱锥的体积为定值

已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，直线交抛物线于，两点，点，则下列说法正确的是（ ）
A.存在直线，使得，两点关于对称
B.的最小值为
C.当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D.若分别以，为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则，两点的纵坐标之和的最小值为
三、填空题

已知随机变量且，则________.

已知等差数列的公差为，且 成等比数列，是数列的前项和，则________.

已知函数在上连续且可导， 为偶函数且，其导函数满足，则函数的零点个数为________.

已知正四面体的棱长为 ，是该正四面体内切球球面上的动点，则的最小值为________.
四、解答题

已知圆经过点 ，且与直线相切于点 .
求圆的方程；
设直线与圆相交于，两点，求弦长．

已知数列的前项和为，且是等差数列，，．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．

如图，在三棱柱中，已知侧面，，，．
求证：平面；
若是的中点，求二面角 的余弦值．

为庆祝中国共产党成立周年，某高中决定在全校约名高中生中开展“学党史、知奋进”党史知识竞赛活动，设置一、二、三等奖若干名．为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了名学生作为样本，统计这名学生的获奖情况后得到如下列联表：
没有获奖 获奖 合计
选修历史
没有选修历史
合计
请完成上面列联表；并判断是否有的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数）
①在上述样本中从选修历史的学生中抽取名学生，设抽到没有获奖的人数为，求（概率用组合数表示即可）；
②若将样本频率视为概率，从全校获奖的学生中随机抽取人，求这些人中选修了历史学科的人数的数学期望．
下面的临界值表供参考
（参考公式，其中）

已知双曲线的方程为：，椭圆的焦点为和 ，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
求椭圆的方程．
不经过椭圆的焦点的直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切，且与椭圆交于，两点，试判断的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

已知函数．
讨论的单调性．
当时，若存在两个不相等的正数，满足，求证．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省宜昌市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
利用两向量垂直，两向量数量积为零，列方程求解即可.
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
解得.
故选.
2.
【答案】
A
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
根据分布列的性质可得可求出，再求出期望．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
求出两个圆的圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断两个圆的位置关系．
【解答】
解：因为圆的圆心，半径为；
圆的圆心坐标，半径为，
两个圆的圆心距为：，
因为
所以两个圆的位置关系是相交．
故选．
4.
【答案】
C
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
运用条件概率求解即可．
【解答】
解：设第一次取得红球}，第二次取得红球}，
则，，
所以．
故选．
5.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
先利用函数在处取得极值，得到，求出，再利用导数的几何意义求切线方程即可.
【解答】
解：函数，
则，
∵ 函数在处取得极值，
∴ ，
解得，
∴ 函数，，
∴ ，，
∴ 曲线在点处的切线方程为，
即.
故选.
6.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，分析可得名女教师在镇、镇各一名，易得其分配方法的数目，再对分在地、地两种情况讨论，计算各种情况下选派方法的数目，最后由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：从三名男生中选人派往乡镇有种方法，
剩下人分成两组，有种方法，
这两组派往、乡镇，有种方法，
则不同的派遣方法总数为．
故选．
7.
【答案】
A
【考点】
向量的模
向量在几何中的应用
【解析】
用，，表示出，计算，开方得出的长度．
【解答】
解：∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，
∴
，
∵ ，，，
∴ ，，
，
，
，
∴ ，即．
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
不等式恒成立问题
【解析】
【解答】
解：对任意的 ，且，
都有，
即，
∴ ，
∴ 在上单调递增，
∴ 在上恒成立，
∴ 在上恒成立，
设，
∴ ，
∴ 在上单调递减，在上单调递增，
∴ ，
∴ .
故选.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
求解线性回归方程
离散型随机变量的期望与方差
相互独立事件的概率乘法公式
变量间的相关关系
【解析】
利用线性回归方程，离散型随机变量的方差，相互独立事件同时发生的概率计算和回归分析进行逐一分析即可.
【解答】
解：，利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心，该选项正确；
，设随机变量，则，该选项正确；
，天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为，该选项错误；
，在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好，该选项正确.
故选.
【答案】
A,C
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
对于选项，令二项式中的为得到展开式的各项系数和得到，求解；
对于选项，因为二项式系数和为，由于，从而展开式中二项式系数之和为；
对于选项，通项公式，从而得到展开式中系数最大的项为第项；
对于选项，根据通项公式得出展开式中的系数．
【解答】
解：，令二项式中的为得到展开式的各项系数和为，
所以，则，故正确；
，展开式中二项式系数之和为，故错误；
，展开式的通项为，
当时，系数最大，
故展开式中系数最大的项为第项，故正确；
，，，，故错误.
故选．
【答案】
B,C
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
异面直线及其所成的角
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，连接，，，易知平面，
假设平面，则平面平面或两平面重合，显然不成立，故错误；
，连接，，，
∵ ，分别为棱， 的中点，
∴ ，平面，平面，
∴ 平面，故正确；
，∵ ，
∴ 即为异面直线和所成的角，
易知，，
，
∴ ，，
则，故正确；
，若三棱锥的体积为定值，则到平面的距离为定值，
即平面，
由，与平面相交可知不成立，故错误.
故选.
【答案】
B,C,D
【考点】
抛物线的性质
抛物线的求解
圆锥曲线的综合问题
直线与抛物线的位置关系
【解析】
根据抛物线的定义以及性质逐项求解即可
【解答】
解：，假设存在直线，使得，关于对称，
又由直线过，可得．故的斜率为，
设方程为，
由得，
由与抛物线有两交点可得，
∴ ，
设，，
则，
设中点为，
则，，
又∵ 点必在直线上，
∴ ，解得，
这与矛盾，故选项错误，
，设是抛物线的准线，则: ，
过作 于 ，
则 ，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
∴ 的最小值为，故选项正确，
，如图过焦点，为抛物线的准线，
设的中点为，
过作 于，交轴于，
过作 轴于，
由抛物线的性质可得
故，
∴ 以为直径的圆与轴相切，故选项正确；
，设 ，, 由 得 ，
设两条切线交点为，
则切线方程为 ，
即，
同理方程为 ，
联立，方程得 ，,
∴ 点坐标为 ，
∵ 点在准线 ： 上，
，即 ，


当 时， 有最小值， 故选项正确.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
首先根据题中所给的正态分布，得出正态曲线关于直线对称，再结合对称轴两侧各占，根据关系求得结果．
【解答】
解：因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴是，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
【答案】
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
由题意可得，，成等比数列，，通过解方程求得的值．然后求和．
【解答】
解：∵ 数列是公差为的等差数列，且，，成等比数列，
∴ ，，成等比数列，
∴ ，
解得，
∴ .
故答案为：.
【答案】
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点
函数奇偶性的性质
【解析】
由题意得到函数关于对称，且当时，函数单调递增，时函数单调递减，进而得到函数的零点个数.
【解答】
解：∵ 为偶函数，
∴ 关于对称，
∵ ，
∴ .
又，
∴ 当时，函数单调递增，时函数单调递减，
∴ 有两个零点，分别为和，
又当时，，
∴ 函数的零点有，，，共有三个零点.
故答案为：.
【答案】
【考点】
平面向量数量积的运算
点、线、面间的距离计算
柱体、锥体、台体的体积
球内接多面体
【解析】
找到最小距离值，再求解即可
【解答】
解：因为四面体是棱长为 的正四面体，
所以其件积为 ，
设正四面体内切球半径为，
取，得，
如图，取的中点为，
则
，
显然，当的长度最小时．所取得最小值，
设正四面体内切球球心为，可求得，
因为球心到点的距离，
所以球上的点到点的最小距离为，
所以 的的最小值为 .
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：过切点 且与 垂直的直线为 ，
即 ，则其经过圆心，
∵ 直线 方程为 ，
∴ 直线 的中垂线 过圆心，
联立
解得 ，，
∴ 圆心为 ，
∴ 半径，
∴ 所求圆的方程为 .
∵ 直线的方程为，
∴ 圆心 到直线 的距离 ，
设的中点为，连接 ，则必有 ，
在中， ，
∴ .
【考点】
圆的标准方程
圆的综合应用
直线和圆的方程的应用
点到直线的距离公式
【解析】
点斜式写方程，再联立方程组确定圆心坐标，通过两点间的距离公式求出半径，最后写出圆的标准方程；
利用直线与圆的性质求解.
【解答】
解：过切点 且与 垂直的直线为 ，
即 ，则其经过圆心，
∵ 直线 方程为 ，
∴ 直线 的中垂线 过圆心，
联立
解得 ，，
∴ 圆心为 ，
∴ 半径，
∴ 所求圆的方程为 .
∵ 直线的方程为，
∴ 圆心 到直线 的距离 ，
设的中点为，连接 ，则必有 ，
在中， ，
∴ .
【答案】
解：由题意得，，
设等差数列的公差为，
则，
∴ ，
∴ ．
当时，，也满足，
∴ ．
，
∴
，
∴ ．
【考点】
等差数列的通项公式
数列递推式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：由题意得，，
设等差数列的公差为，
则，
∴ ，
∴ ．
当时，，也满足，
∴ ．
，
∴
，
∴ ．
【答案】
证明： 平面，
，
又，
，
，又，
平面 ．
解：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
有，，
设为平面的法向量，
即
不妨取 ，则，
平面，
在方向上取平面的法向量，
，
故二面角的余弦值为 ．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
证明： 平面，
，
又，
，
，又，
平面 ．
解：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
有，，
设为平面的法向量，
即
不妨取 ，则，
平面，
在方向上取平面的法向量，
，
故二面角的余弦值为 ．
【答案】
解：补充完整的联立表如下：
没有获奖 获奖 合计
选修历史
没有选修历史
合计
∴ ，
故有的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关．
①显然，随机变量服从超几何分布，取值为表示抽到选修了历史但没有获奖的人数恰好为人．
故，
②从全校获奖的学生中随机抽取人，则此人选修了历史学科的概率为．
设从全校获奖的学生中随机抽取人，这些人中选修了历史学科的人数为，
则，
故．
【考点】
独立性检验
超几何分布
二项分布的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：补充完整的联立表如下：
没有获奖 获奖 合计
选修历史
没有选修历史
合计
∴ ，
故有的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关．
①显然，随机变量服从超几何分布，取值为表示抽到选修了历史但没有获奖的人数恰好为人．
故，
②从全校获奖的学生中随机抽取人，则此人选修了历史学科的概率为．
设从全校获奖的学生中随机抽取人，这些人中选修了历史学科的人数为，
则，
故．
【答案】
解：设椭圆的标准方程为，
由题意得，．
∵ 双曲线的离心率，
∴ 椭圆的离心率，
∴ ，
∴ ，
故椭圆的方程：．
由题意，，
即圆心到直线的距离为，
则，
∴ ，
设，，
由
得，
由，
得，，
则
，
又，，
．
，
∴ 周长为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
双曲线的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：设椭圆的标准方程为，
由题意得，．
∵ 双曲线的离心率，
∴ 椭圆的离心率，
∴ ，
∴ ，
故椭圆的方程：．
由题意，，
即圆心到直线的距离为，
则，
∴ ，
设，，
由
得，
由，
得，，
则
，
又，，
．
，
∴ 周长为定值．
【答案】
解：
，
令，
解得（舍）或 ．
①当时，，则在上单调递增；
②当时，令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减．
证明：，由不妨设，
设，
则
，
当时，恒成立，则在上单调递增．
，
，
，
由，
则可得 ，
，
，
而在上单调递减，

．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：
，
令，
解得（舍）或 ．
①当时，，则在上单调递增；
②当时，令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减．
证明：，由不妨设，
设，
则
，
当时，恒成立，则在上单调递增．
，
，
，
由，
则可得 ，
，
，
而在上单调递减，

．
第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页
第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页