2020-2021学年湖南省东安县某校高二（下）期末考试数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年湖南省东安县某校高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题

1. 设集合，，则( )
A. B.
C. D.

2. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.

3. 年月日“亚太地区自然指数”发布，中国机构整体表现强劲．在年亚太地区科研产出贡献份额排名前位中有家中国机构，它们分别是中国科学院（第一），中国科学技术大学（第二），北京大学（第四），中国科学院大学（第五），相应的贡献份额（取整数）分别为，，，，则这四个数的极差、中位数分别是（ ）
A.， B.， C.， D.，

4. “”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.

6. 据考证，蚊香最早出现在宋代．根据《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”“螺旋蚊香”的近似画法如图所示：在水平直线上（为起点），取长度为 的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推（圆心按循环）．若“螺旋蚊香”每小时燃烧，为保证一盘“螺旋蚊香”燃烧小时（从外向内燃烧），则“螺旋蚊香”与直线至少有( )
A.个交点 B.个交点 C.个交点 D.个交点

7. 如图，在等腰梯形中，，交于点，且，，则（ ）
A. B. C. D.

8. 剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．，两位同学各有张卡片，现以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏·输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题

关于，的方程（其中）表示的曲线可能是( )
A.焦点在轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在轴上的双曲线 D.长轴长为的椭圆

已知，，，，则( )
A. B. C. D.

已知函数，则下列选项中不正确的是( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于点中心对称
C.在上单调递减
D.把函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移个单位长度，可得到的图象

已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的动点，则以下结论正确的是( )
A.线段的长度是 B.的最小值为
C.存在点，使平面 D.存在点，使是直角
三、填空题

已知曲线在处的切线方程为，则________．

已知展开式中各项的二项式系数和是，则展开式中的常数项为________．

中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前年前年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器．如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．若细沙的流速为每分钟，则上部细沙全部流完的时间约为________分钟（结果精确到整数部分）；若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则该沙堆的高为________．

已知为曲线上一点，，，则的最小值为________.
四、解答题

的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求．
若，且向量与垂直，求的面积．

已知等差数列的前项和为，且，是与的等比中项．
求数列的通项公式．
从①，②这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答以下问题：数列满足________，其前项和为，求；

习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活．当前“日行万步”正成为健康生活的代名词．某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”．该学校工会随机抽取了本校名教职工，统计他们的日行步数，按步数分为（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图．
估计这名教职工日行步数（单位：千步）的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）．
学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中抽取人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望．
用样本估计总体，若工会打算对该校全体名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在）内的教职工奖励一件恤，价值元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值元．试判断元的预算是否足够．

如图，四边形是菱形，底面，，与在平面的同侧且．
证明：平面；
若与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值．

已知椭圆过点，，分别为椭圆的左、右顶点，且直线，的斜率的乘积为．
求椭圆的方程；
过左焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．

已知函数．
讨论极值点的个数．
若，是的两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省东安县某校高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
补集及其运算
【解析】

【解答】
解：，，
．
故选．
2.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的混合运算
【解析】

【解答】
解：．
，
复数在复平面内对应的点的坐标为．
故选．
3.
【答案】
D
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
无
【解答】
解：极差为，中位数为．
故选．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
正切函数的图象
【解析】

【解答】
解：当时，；
当，，，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选．
5.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：因为为奇函数，
所以其图象关于原点对称，
所以排除，，
当时，.
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
弧长公式
【解析】

【解答】
解：若需“螺疑纹香”燃烧小时，
则“螺旋纹香”的长度至少为，
为第一个交点，
，，
，，，
此时“螺旋蚁香”的长度为，
此时"螺旋效香”与直线有个交点．
故选．
7.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在等腰梯形中，
因为，，
所以．
因为，
所以，
所以
，
所以
．
故选．
8.
【答案】
C
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】

【解答】
解：若没有平局，则前局赢局输局，后局都羸（赢或赢），
概率；
若有两局平局，则前局赢局平局，最后一局赢（赢或赢），
概率，
恰好局时游戏终止的概率．
故选．
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
双曲线的定义
椭圆的定义
圆的标准方程
【解析】

【解答】
解：，
该方程不可能表示焦点在轴上的双曲线，故错误；
当时，该方程表示焦点在轴上的双曲线，故正确；
当时，该方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆，故正确；
，且，
该方程不可能表示长轴长为的椭圆．
故选．
【答案】
A,B,D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
对数的运算性质
【解析】

【解答】
解：,
，
，
，
，，，．
故选．
【答案】
A,B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的单调性
余弦函数的对称性
余弦函数的周期性
【解析】

【解答】
解：
，
的最小正周期为，故错误；
令，，得，，
图象的一个对称中心应为，故错误；
令，，
得，，
在上单调递减，在单调递增，故错误；
，
将其图象向左平移个单位长度得的图象，再向上平移一个单位长度可得的图象，故正确．
故选．
【答案】
B,D
【考点】
棱锥的结构特征
余弦定理
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，设正方形的中心为，连接，，，
则平面，.
设的中点为，连接，，则，
所以．
在中，，，，
所以由余弦定理可得，
所以，故不正确；
将正和正沿翻折到一个平面内，如图所示，
当，，三点共线时，取得最小值，
此时，点为的中点，，故正确；
若平面，则，
由图可知，此时点为上靠近点的四等分点，
而此时在图中与显然不垂直，故不正确；
当点在线段上无限靠近点时，的长度无限趋向于，
所以趋向于点为顶点的等腰三角形，
此时为一个锐角，
而当为的中点时，
因为，，
所以为钝角，
所以存在点，使为直角，故正确．
故选．
三、填空题
【答案】

【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】

【解答】
解：当时，，
切点坐标为，
代入切线方程得，
，
，
解得．
故答案为： ．
【答案】
【考点】
二项式系数的性质
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
无
【解答】
解：因为展开式中各项的二项式系数和为，
所以．
因为展开式的通项公式为，
令，
得，
所以常数项为．
故答案为：．
【答案】
,
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知上部细沙对应的圆锥的底面直径与高均为，
则其体积
．
因为细沙的流速为每分钟，
所以上部细沙全部流完的时间约为分钟．
若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，
设该沙堆的高为，则，
解得.
故答案为：；.
【答案】
【考点】
抛物线的定义
【解析】

【解答】
解：易知曲线是抛物线的右半部分，且为抛物线的焦点，
抛物线的准线方程为，
等于到直线的距离，
过作准线的垂线，垂足为，
则的最小值为．
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：，
，
整理得，
,
化简得，
，
故，
，
．
与垂直，
，
得，即.
，，
由余弦定理可得，
解得，，
故的面积 ．
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
三角形的面积公式
余弦定理
【解析】


【解答】
解：，
，
整理得，
,
化简得，
，
故，
，
．
与垂直，
，
得，即.
，，
由余弦定理可得，
解得，，
故的面积 ．
【答案】
解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
即，
解得’
∴ ．
选①，则，
∴ ，
，
∴
，
∴ .
选②，则
∴
.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
即，
解得’
∴ ．
选①，则，
∴ ，
，
∴
，
∴ .
选②，则
∴
.
【答案】
解：样本平均数为
由直方图可知，名教职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有人，
所以的取值可能是，，，，
，
所以的分布列为
所以．
用样本估计总体，可知全校教职工中任取人为“超健康生活方式者”的概率为，
“超健康生活方式者”共有人，其中步数在内的教职工有人，
步数在内的教职工有人，
因为，所以元的预算足够．
【考点】
众数、中位数、平均数
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：样本平均数为
由直方图可知，名教职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有人，
所以的取值可能是，，，，
，
所以的分布列为
所以．
用样本估计总体，可知全校教职工中任取人为“超健康生活方式者”的概率为，
“超健康生活方式者”共有人，其中步数在内的教职工有人，
步数在内的教职工有人，
因为，所以元的预算足够．
【答案】
证明：如图，连接，设与交于点，
取的中点，连接，．
因为，分别为，的中点，
所以，且，
因为，且，
所以，且，
故四边形为平行四边形，
所以，即
因为平面，平面，
所以平面．
解：设，则，
因为与平面所成角为，
所以，则，
所以，故为等边三角形．
设的中点为，连接，则
以为原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
即
令，得，
同理可得平面的一个法向量，
因为，
所以二面角的正弦值为.
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：如图，连接，设与交于点，
取的中点，连接，．
因为，分别为，的中点，
所以，且，
因为，且，
所以，且，
故四边形为平行四边形，
所以，即
因为平面，平面，
所以平面．
解：设，则，
因为与平面所成角为，
所以，则，
所以，故为等边三角形．
设的中点为，连接，则
以为原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
即
令，得，
同理可得平面的一个法向量，
因为，
所以二面角的正弦值为.
【答案】
解：依题意有，，
解得，，
故椭圆的方程为.
由题意知直线的斜率不为，
设方程为，，，
联立方程
得，
则，，
由弦长公式得，
整理得，
又，，
所以，
故，
令，，上式，
设，则在上是增函数，
所以在处取得最小值，
故的最小值是．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意有，，
解得，，
故椭圆的方程为.
由题意知直线的斜率不为，
设方程为，，，
联立方程
得，
则，，
由弦长公式得，
整理得，
又，，
所以，
故，
令，，上式，
设，则在上是增函数，
所以在处取得最小值，
故的最小值是．
【答案】
解：
，
令，
当时，，
且，
所以有一个正根，
所以有一个极值点；
当
即时，恒成立，
所以没有极值点；
当时，，
且，
所以有两个不相等的正根，
所以有两个极值点．
综上所述，当时，有一个极值点；
当时，没有极值点；
当时，有两个极值点．
由知，当有两个极值点时，，
且，是方程的两根，
所以，则．
因为
．
所以，
等价于．
因为，
所以．
令，
因为恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
解：
，
令，
当时，，
且，
所以有一个正根，
所以有一个极值点；
当
即时，恒成立，
所以没有极值点；
当时，，
且，
所以有两个不相等的正根，
所以有两个极值点．
综上所述，当时，有一个极值点；
当时，没有极值点；
当时，有两个极值点．
由知，当有两个极值点时，，
且，是方程的两根，
所以，则．
因为
．
所以，
等价于．
因为，
所以．
令，
因为恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即．
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