2020-2021学年吉林省长春高二（下）期末考试数学（理）试卷 (1)人教A版（Word含解析）

2020-2021学年吉林省长春市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题

1. 已知复数乙满足，且为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.

2. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.

3. 已知函数为奇函数，且对任意的， 恒成立，当时， ，则( ).
A. B. C. D.

4. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为( )
A. B. C. D.

5. 已知＝，＝，＝，则，，的大小关系为
A. B. C. D.

6. 的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.

7. 函数 其中，的图象的一部分如图所示，，要想得到的图象，只需将的图象（ ）
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

8. 若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为
A.或 B. C. D.

9. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )
A. B. C. D.

10. 已知等差数列的前项和为，公差为， ，， 则的值为( )
A. B. C. D.

11. 设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则）
A. B. C. D.

12. 已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题

已知向量，，，若，则________．

汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有_________.

在三棱锥中，已知，则直线与平面所成角的余弦值为________ .

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数占的期望为________.
三、解答题

已知函数.
求在点处的切线方程；
求函数的单调区间．

已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
求数列的通项；
求数列的前项和．

年月日既是中华人民共和国第个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频 或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频 或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出人，经统计这人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有人．将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：
求的值并估计这人的平均年龄；
把年龄在第，，组的居民称为青少年组，年龄在第，组的居民称为中老年组，选出的人中通过短视频表达对祖国祝福的中老年人有人，问是否有的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？
附：

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，底面．
证明：；
若点为的中点，，求二面角的余弦值．

在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
如图，在边的右侧取点，使得，若，求当为何值时，四边形的面积最大，并求其最大值．

已知函数，．
若，求在上的最值；
当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省长春市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用实部为且虚部不为列式求解．
【解答】
解：由，
得
，
由题意得，
即．
故选．
2.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
解不等式，可求出集合，进而与集合取交集即可．
【解答】
由题意，，
则
所以
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
根据已知可得函数的周期为，即可得解.
【解答】
解：∵ 是上的奇函数，且，
，即，
故函数的周期为，
.
故选.
4.
【答案】
A
【考点】
归纳推理
【解析】
根据数字的变化规律即可求出．
【解答】
解：观察每个图形最上边的正方形中的数字规律为，，，，，，
左下角数字的变化规律为，，，， ，，
右下角的数字等于前图形的两个数字之和，所以．
故选．
5.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
可以得出，然后即可得出，，的大小关系．
【解答】
解：∵ ，，，
∴ ．
故选.
6.
【答案】
D
【考点】
二次函数的应用
勾股定理
【解析】
将已知多项式展开，将求展开式中的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数：利用二项展开式的通项公式求出通项令通项中的分别取和求出二项式的含和含的系数即可得解．
【解答】
解：，
的展开式的通项为,
令得展开式中的项的系数是,
令得展开式中的项的系数是,
的展开式中的项的系数是.
故选．
7.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
首先根据图象得到，求出周期，代入周期公式求出的值，再代入最高点求出的值，利用图象变换法则求出选项.
【解答】
解：由图可知，，
所以.
又图象过点，
所以.
因为，
所以，
所以.
又，
所以需要将的图象向右移个单位.
故选.
8.
【答案】
A
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】

【解答】
解：.
∵ 函数在其定义域上不单调，
∴ 有两个不相等的实数根，
即，解得：或.
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，基本事件总数，甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数，由此能求出甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率．
【解答】
解：某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，
对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，
若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，
基本事件总数，
甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数，
则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率．
故选．
10.
【答案】
D
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
首先采用裂项的方式将已知条件化简得到，再根据得到关于的方程，求出首项即可求解.
【解答】
解：设，
则
,
则,
又，
则，化简得，，解得，负舍，
则.
故选.
11.
【答案】
D
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，，
，
∵ ，
∴ ，
正态曲线关于直线对称，
，
正方形的面积为，
阴影部分的面积约为，
由几何概型的概率公式可得：
从正方形中随机取个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是.
故选．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式恒成立问题
【解析】
构造函数，结合已知及导数与单调性关系可求的单调性，进而可求不等式的解集．
【解答】
解：令，
∵ ，
则，
故 在上单调递增，
由可得，
∵ ，
∴ ，
故．
故选．
二、填空题
【答案】
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．
【解答】
解：由向量，，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得．
故答案为：．
【答案】
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，进而分步讨论区域①②③与区域④⑤的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，
分步进行分析：
对于区域①②③，三个区域两两相邻，有种情况，
对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有种情况，
若④与②的颜色不同，则④有种情况，⑤有种情况，此时区域④⑤的情况有种，
则区域④⑤有种情况，
则一共有种涂色方案.
故答案为：.
【答案】
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
本题考查线面角的问题，考查空间想象能力和运算求解能力．
【解答】
解：取的中点，连接，．
因为，
所以．
又，
所以，
可证，
所以，
从而平面，
所以与平面所成角为，
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由题意比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止，所以随机变量的所有可能的取值为，，，，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，再由离散型随机变量的期望公式．
【解答】
解：依题意知，的所有可能值为，，，，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，
，
，
，
故．
故答案为：．
三、解答题
【答案】
解：，
故，，
故切线方程是，
即.
由的定义域是，
，
令 ，解得：，
令 ，解得： ，
故在递减，在递增．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】
解：，
故，，
故切线方程是，
即.
由的定义域是，
，
令 ，解得：，
令 ，解得： ，
故在递减，在递增．
【答案】
解：因为，，成等比数列，
所以，
又，，，
所以，
又，
所以，
所以．
令，
所以①，
②，
①②得：
,
所以．
【考点】
数列的求和
等比数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，，成等比数列，
所以，
又，，，
所以，
又，
所以，
所以．
令，
所以①，
②，
①②得：
,
所以．
【答案】
解：由得．
这人的平均年龄为
．
前组人数为，
由题意得列联表：
通过短视频表达祝福 通过微信或微博表达祝福 合计
青少年
中老年
合计
，
所以有的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：由得．
这人的平均年龄为
．
前组人数为，
由题意得列联表：
通过短视频表达祝福 通过微信或微博表达祝福 合计
青少年
中老年
合计
，
所以有的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
【答案】
证明：因为底面
，平面，
所以，
又因为，，，，平面，
所以平面，
又平面，
从而．
解：因为底面，
所以，
又，，
所以，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，．
，，．
设为平面的法向量，
则
即
可取，
又因为，，，，平面，
所以平面，
所以为平面的法向量，
则，
故二面角的余弦值为．
【考点】
两条直线垂直的判定
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
证明：因为底面，平面，
所以，
又因为，，，，平面，
所以平面，
又平面，
从而．
解：因为底面，
所以，
又，，
所以，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，．
，，．
设为平面的法向量，
则
即
可取，
又因为，，，，平面，
所以平面，
所以为平面的法向量，
则，
故二面角的余弦值为．
【答案】
解：∵ ．
由正弦定理得，．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又，
∴ ，
∴ ，
∴ .
由知， ，,
∴ 以为等边三角形．
设，则在中，
由余弦定理得，
所以
，
四边形的面积，
因为，
所以．
当，即时，
，
所以当时，四边形的面积取得最大值.
【考点】
正弦定理
三角函数中的恒等变换应用
余弦定理
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ ．
由正弦定理得，．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又，
∴ ，
∴ ，
∴ .
由知， ，,
∴ 以为等边三角形．
设，则在中，
由余弦定理得，
所以
，
四边形的面积，
因为，
所以．
当，即时，
，
所以当时，四边形的面积取得最大值.
【答案】
解：因，
则，
当时，，
所以在上的最大值为，
最小值为．
因为，
所以，
即．
令，，
令，
则，
当时，，
当时，，
即，
所以当时，，
当时，，，
所以的取值范围是．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：因，
则，
当时，，
所以在上的最大值为，
最小值为．
因为，
所以，
即．
令，，
令，
则，
当时，，
当时，，
即，
所以当时，，
当时，，，
所以的取值范围是．
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