2020-2021学年吉林省长春高二（下）期末考试数学（文）试卷人教A版 （Word含答案解析）

2020-2021学年吉林省长春市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题

1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.

2. 复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.或

3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.

4. 已知函数且，则实数的值为( )
A.或 B.或 C. D.

5. 已知函数， ，，，则( )
A. B. C. D.

6. 已知向量，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.

7. 在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.

8. 已知，则＝（ ）
A. B. C. D.

9. 各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.

10. 已知函数的图像中相邻两条对称轴之间的距离为，当时，函数取到最大值，则（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的图像关于对称
C.函数的图像关于对称
D.函数在上单调递减

11. 点是圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.

12. 已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题

已知，满足线性约束条件，则的最小值为________．

已知直线：与曲线：，在曲线上随机取一点，则点到直线的距离不大于的概率为________.

已知向量，满足，，，则与的夹角为________.

已知是定义域为的奇函数，满足．若，则等于________.
三、解答题

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
求曲线和直线的普通方程；
设点，直线与曲线交于，两点，求的值．

已知是公差不为零的等差数列， ，且，，成等比数列．
求数列的通项；
设数列的前项和为，求数列的前项和为.

由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：
指出这组数据的众数和中位数；
若视力测试结果不低于则称为“好视力”，求校医从这人中按“好视力”，“非好视力”分层抽样抽取人，再从人中抽取人，求抽取人均为“非好视力”的概率．

如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，．
证明：平面；
求三棱锥的体积．

在中角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求的值．

已知函数，.
若，求在处切线的方程；
当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省长春市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
解不等式，可求出集合，进而与集合取交集即可．
【解答】
由题意，，
则
所以
故选．
2.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
【解析】
由于为纯虚数，可得，解出即可．
【解答】
解：∵ 复数是纯虚数，
∴ ，
解得．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数的解析式得，对数的真数大于，分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列出不等式组，求解集即可．
【解答】
解：∵ 函数，
∴ ；
解得或，
∴ 函数的定义域是．
故选．
4.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，
，解得；
当时，
，解得.
故选.
5.
【答案】
B
【考点】
指数函数单调性的应用
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
解析：由题意可知是定义在上的单调递增函数，又，，，∴ .
【解答】
解：由题意可知是定义在上的单调递增函数，
又，，，
∴ .
故选.
6.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
无
【解答】
解：因为，，
则，
而，，
于是得，即，
解得.
故选．
7.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
连接，交于点，连接，，先证明即为与面所成的角，即可得出结论．
【解答】
解：连接，交于点，连接，，
因为为中点，所以，
所以即为异面直线与所成的角．
因为四棱锥为正四棱锥，
所以平面，
所以为在面内的射影，
所以即为与面所成的角，即，
因为，所以，．
所以在直角三角形中，即异面直线与所成的角为．
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
直接利用同角三角函数关系式的应用和角的变换的应用求出结果．
【解答】
解：因为，
所以，
故，
，
所以，
则
，
，
，
.
故选.
9.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
等比数列的性质
【解析】
根据题意，由等差数列的性质可得，即，又由等比数列的性质可得，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，等差数列中，，
即，
又由，
则，
又等差数列中，各项不为零，
所以，
因为数列是等比数列，且，
所以，
所以.
故选.
10.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
【解析】
由相邻对称轴的距离可求得周期，可判断；由条件求得的解析式，计算， ，可判断，；由正弦函数的减区间，解不等式可判断.
【解答】
解：函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，
可得，
可得 ，，则错；
当时，函数取到最大值，
可得，
即， ，
由 ，可得，，
则，
由，为最小值，
则，均错；
由 ，可得 ，，
即有在上单调递减，则正确．
故选．
11.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线距离，由此能求出点到直线距离的最大值．
【解答】
解：∵ 圆的圆心为，半径，
圆心到直线距离，
点是圆＝上任意一点，
∴ 点到直线＝距离的最大值为：
．
故选.
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式恒成立问题
【解析】
构造函数，结合已知及导数与单调性关系可求的单调性，进而可求不等式的解集．
【解答】
解：令，
∵ ，
则，
故 在上单调递增，
由可得，
∵ ，
∴ ，
故．
故选．
二、填空题
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图，
由，得，
平移直线，
则当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，
此时.
故答案为：.
【答案】
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
点到直线的距离公式
【解析】
画出示意图，根据图形分析可知点在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型可求出.
【解答】
解：如图：
曲线：是以原点为圆心，为半径的一个半圆．
圆心到直线：的距离为：
，
而点到直线的距离为：
，
∴ 若点到直线的距离不大于，
则点在阴影部分所对的劣弧上，
由几何概型的概率计算公式知，
所求概率为.
故答案为： .
【答案】
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
根据完全平方公式，把式子展开，然后再根据向量的数量积运算法则进行计算，即可得到答案.
【解答】
解：设向量与的夹角为，
∵ 已知，，，
∴ ，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：．
【答案】
【考点】
抽象函数及其应用
函数的周期性
函数的求值
函数奇偶性的性质
【解析】
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】
解：因为是奇函数，且，
令，则，
所以，，
令，则，
则，
即函数是周期为的周期函数，又，
所以，
，
所以，
则
，
则
.
故答案为：.
三、解答题
【答案】
解：由
得，即为的普通方程，
由．
得，即，
即，
则直线的直角坐标方程为.
在直线上，
可得其参数方程为
（t为参数）．
把
代入得，，
所以，，，均为负．
．
【考点】
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
参数方程的优越性
【解析】
无
无
【解答】
解：由
得，即为的普通方程，
由．
得，即，
即，
则直线的直角坐标方程为.
在直线上，
可得其参数方程为
（t为参数）．
把
代入得，，
所以，，，均为负．
．
【答案】
解：设等差数列的公差为，，
∵ ，且，，成等比数列，
∴ ，
即，
化为： ，，
解得，
∴ 数列的通项.
数列的前项和为，
∴ ，
∴ 数列的前项和为：

.
【考点】
等比数列的性质
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
由题意求出等差数列公差，代入等差数列通项即可得到答案；
先求出，利用裂项相消法求和.
【解答】
解：设等差数列的公差为，，
∵ ，且，，成等比数列，
∴ ，
即，
化为： ，，
解得，
∴ 数列的通项.
数列的前项和为，
∴ ，
∴ 数列的前项和为：

.
【答案】
解：根据茎叶图知，这组数据的众数是和，中位数是.
分层抽样中，抽样比为，“好视力”人数为人，“非好视力”人数为人，
再从这四人中抽取两人的组合中，
设“好视力“为，“非好视力”为，，，
则轴取所有可能情况为：，，，，，．
所以抽取人均为“非好视力”的概率为．
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
无
【解答】
解：根据茎叶图知，这组数据的众数是和，中位数是.
分层抽样中，抽样比为，“好视力”人数为人，“非好视力”人数为人，
再从这四人中抽取两人的组合中，
设“好视力“为，“非好视力”为，，，
则轴取所有可能情况为：，，，，，．
所以抽取人均为“非好视力”的概率为．
【答案】
证明：∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ 四棱锥的底面为正方形，，
平面平面，平面平面，
∴ 平面，
又平面，
∴ ，
又，
∴ 平面．
解：∵ 四棱锥的底面为正方形，
平面平面，且，，
∴ ，
到平面的距离，
∴ 三棱锥的体积为：
.
【考点】
直线与平面垂直的判定
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
推导出，，从而平面，进而 ，由此能证明平面；
三棱锥的体积为，由此能求出结果．
【解答】
证明：∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ 四棱锥的底面为正方形，，
平面平面，平面平面，
∴ 平面，
又平面，
∴ ，
又，
∴ 平面．
解：∵ 四棱锥的底面为正方形，
平面平面，且，，
∴ ，
到平面的距离，
∴ 三棱锥的体积为：
.
【答案】
解：由正弦定理及得，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由余弦定理得，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：由正弦定理及得，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由余弦定理得，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【答案】
解：因为，
则，，
又，
所以切线方程为．
因为，
所以，即．
令，则，
令，
则，
当时，，当时，，
即，
所以当时，，
当时，，，
所以的取值范围是．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：因为，
则，，
又，
所以切线方程为．
因为，
所以，即．
令，则，
令，
则，
当时，，当时，，
即，
所以当时，，
当时，，，
所以的取值范围是．
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