2020-2021学年山东省临沂高二（下）期末考试数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年山东省临沂市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题

1. 已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.

2. 已知的平面直观图是边长为的正三角形，则的面积为
A. B. C. D.

3. 平面向量 ，，，则向量，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.

4. 某校高一、高二、高三年级分别有学生名、名、名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（ ）
A. B. C. D.

5. 已知平面，平面，平面，直线以及直线，则下列命题说法错误的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，则

6. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，，则等于( )
A. B. C. D.

7. 在四面体中，底面，，，且，，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.

8. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
二、多选题

若复数，则（ ）
A. B.
C.的共轭复数 D.

有一组样本数据，…，由这组数据得到新样本数据 ，其中，为非零常数，则（ ）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同

已知中， ，，，若三角形有两解，则不可能的取值是（ ）
A. B. C. D.

将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是( )
A.异面直线与所成的角为
B.是等边三角形
C.面积的最小值为
D.四面体的外接球的表面积为
三、填空题

若从甲、乙、丙、丁人中选出名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为________.

如图，在平行四边形中，，，点为对角线与的交点，点在边上，且，则________．（用，表示）

“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为（单位：），游客在乘坐舱升到上半空鸟瞰伦敦建筑，伦敦眼与建筑之间的距离为（单位：），游客在乘坐舱看建筑的视角为.当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，视角，则建筑的高度为________.（单位：）

如图，设的内角、、的对边分别为、、， ，且．若点是外一点， ，，则当________时，四边形的面积的最大值为________．
四、解答题

已知复数.
若复数为纯虚数，求实数的值；
若复数在平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.

已知向量，．
若，求的值；
若，求实数的值；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．

如图，已知四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，，，点为中点，平面平面，直线与平面所成角的正切值为．
求证：平面；
求四棱锥的体积.

从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，，，分别是角，，的对边，若________．
求；
若且，求的面积．

某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为分．上个月该医院对名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．
求所打分数不低于分的患者人数；
该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取名患者进行深入调查，之后将从这人中随机抽取人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率．

如图，在三棱锥中，平面平面， ，为的中点．
证明：；
若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
先化简复数，再利用复数的共轭复数和复数的概念求解即可.
【解答】
解：，
则的共轭复数的虚部为.
故选.
2.
【答案】
A
【考点】
平面图形的直观图
斜二测画法画直观图
【解析】
由原图和直观图面积之间的关系 ，求出直观图三角形的面积，再求原图的面积即可．
【解答】
解：直观图是边长为的正三角形，故面积为 ，
而原图和直观图面积之间的关系 ，
那么原的面积为.
故选.
3.
【答案】
A
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
先求得,在代入夹角公式求解即可.
【解答】
解：∵ ,
∴ .
故选.
4.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
由题意用样本容量乘以高二年级的学生人数占的比例，即为所求．
【解答】
解：由题意可得高二年级的学生人数占的比例为：
，
则应从高二年级抽取的学生人数为.
故选．
5.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
利用线面，面面，线线的位置关系逐一分析即可.
【解答】
解：，若，，则，故该选项正确；
，若，，，则，则，故该选项正确；
，若，，则 ，故该选项正确；
，若，，则或相交，故该选项错误.
故选.
6.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
已知第二个等式利用正弦定理化简表示出，代入第一个等式中表示出，利用余弦定理表示出，把表示出的与代入求出的值，即可确定出的度数．
【解答】
解：由题意得，，
由正弦定理得：，代入，
得：，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选.
7.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
容易确定，，两两垂直，再结合长方体外接球直径为其体对角线长，即可得解．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
又平面，
∴ ，，
则球的直径为其体对角线长，即球的直径为：
，
则球的半径为，
故球的表面积为：.
故选.
8.
【答案】
B
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
相互独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为，，，．
则，，．
对于选项，；
对于选项，；
对于选项，；
对于选项，，
若两事件，相互独立，则，
因此选项正确．
故选．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
因为，所 .
【解答】
解：因为，所以
.
故选 .
【答案】
C,D
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，
，因为，所以，所以错；
若.的中位数为，因为，所以,…的中位数为，所以错；
，…的标准差为,
，所以对；
设样本数据，中最大为，最小为，因为因为，所以样本数据，…中最大为，最小为，极差为，所以对．
故选．
【答案】
A,C,D
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理求解即可.
【解答】
解：若三角形有两解，则，，
由正弦定理得 ，
所以 ，
解得.
又因为，
则 ，
所以，
故不可能的取值是，，.
故选．
【答案】
A,B
【考点】
异面直线及其所成的角
球内接多面体
二面角的平面角及求法
【解析】
取的中点，连接，，利用等腰三角形三线合一，可得，，从而可得，可判断；通过计算
，可得为正三角形；由长为，所以只需求出边上高的最小值就是面积的最小值；由于，所以四面体的外接球的半径为，从而可求出其表面积．
【解答】
解：如图，
，取的中点，连接，，
则，，
又，
所以⊥平面，
所以，
所以异面直线与所成的角为，故正确；
，由于正方形的边长为，
所以，，
因为，
所以，
所以为等边三角形，故正确；
，如图，过作于，
过作于，连接，
因为平面平面，
所以平面，
则，，
所以平面，
所以，
设，则，，
所以
所以
，
所以当时，有最小值，
所以面积的最小值为，故错误；
，由于，
所以为四面体的外接球的球心，且球的半径为，
所以四面体的外接球的表面积为，故错误．
故选．
三、填空题
【答案】
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
求出基本事件总数，甲被选中包含的基本事件个数，由此能求出甲被选中的概率．
【解答】
解：从甲、乙、丙、丁人中任选名代表参加学校会议的所有基本事件为：
甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共个，
甲被选中的事件有个，
则甲被选中的概率为.
故答案为：．
【答案】
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
结合向量共线定理及线性运算即可求解．
【解答】
解：由题意可得，，
∴ ，
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
由题意建立平面直角坐标系，可得所在直线方程，令解得值即为建设的高度．
【解答】
解：建立如图所示平面直角坐标系．
由题意得，，
则，
当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，，
则直线的倾斜角为，
∴ ，
则所在直线方程为：
，
令，解得，
∴ 建筑的高度为(单位：)．
故答案为：．
【答案】
,
【考点】
余弦定理
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求，可求，利用三角形的内角和定理可求，设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即，
又，则，
则，则，
又∵ ，
∴ ，
在中，由余弦定理可得：
，
设，则，
又，，
∴ ，
∴
，
∴ 当时，四边形面积的最大值为.
故答案为： ；．
四、解答题
【答案】
解：∵ 复数为纯虚数，
则
解得
∴ .
∵ 复数在平面内对应的点在第二象限，
则
∴ .
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 复数为纯虚数，
则
解得
∴ .
∵ 复数在平面内对应的点在第二象限，
则
∴ .
【答案】
解：因为向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以．
因为，且，
所以，解得.
因为与的夹角是钝角，
所以，且与不共线，
即，且，
所以，且．
【考点】
向量的模
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
（1）利用向量平行的性质求出＝，由此能求出的值．
（2）利用向量垂直的性质能求出实数．
（3）由与的夹角是钝角，得到且与不共线．由此能求出实数的取值范围．
【解答】
解：因为向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以．
因为，且，
所以，解得.
因为与的夹角是钝角，
所以，且与不共线，
即，且，
所以，且．
【答案】
证明：因为，，
，点为的中点，
所以，．
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
解：连结，
因为，为的中点，
所以．
又平面平面，平面，
平面平面，
所以平面．
所以直线与平面所成角为，
，
又，，
所以，则，
所以四棱锥的体积为：
．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
无
【解答】
证明：因为，，
，点为的中点，
所以，．
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
解：连结，
因为，为的中点，
所以．
又平面平面，平面，
平面平面，
所以平面．
所以直线与平面所成角为，
，
又，，
所以，则，
所以四棱锥的体积为：
．
【答案】
解：若选①，
则，
即，
所以或，
因为，
所以，
所以，
所以不成立，
所以，
所以，
所以；
若选②，
由正弦定理可得，
所以，
因为，
所以；
若选③；
由正弦定理可得，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以，
因为，
所以.
由余弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以的面积为．
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解：若选①，
则，
即，
所以或，
因为，
所以，
所以，
所以不成立，
所以，
所以，
所以；
若选②，
由正弦定理可得，
所以，
因为，
所以；
若选③；
由正弦定理可得，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以，
因为，
所以.
由余弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以的面积为．
【答案】
解：由直方图知，
所打分值的频率为．
人数为（人）．
答：所打分数不低于分的患者的人数为人．
由直方图知，第二、三组的频率分别为和，
则第二、三组人数分别为人和人，
所以根据分层抽样的方法，抽出的人中，第二组和第三组的人数之比为，
则第二组有人，记为，；第三组有人，记为．
从中随机抽取人的所有情况如下：
，，，，，
，，，，
，，，，， 共种．
其中，两人来自不同组的情况有：，，，，，，， 共种．
两人来自不同组的概率为．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
频率分布直方图
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由直方图知，
所打分值的频率为．
人数为（人）．
答：所打分数不低于分的患者的人数为人．
由直方图知，第二、三组的频率分别为和，
则第二、三组人数分别为人和人，
所以根据分层抽样的方法，抽出的人中，第二组和第三组的人数之比为，
则第二组有人，记为，；第三组有人，记为．
从中随机抽取人的所有情况如下：
，，，，，
，，，，
，，，，， 共种．
其中，两人来自不同组的情况有：，，，，，，， 共种．
两人来自不同组的概率为．
【答案】
证明：在中，，为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
解：如图，取的三等分点，使得，
取的三等分点，使得，连接，，，
因为，，
所以，
又，
所以，
所以，
由知，平面，
所以平面，
所以，，
又，
所以，，，，
所以，
同理，，
所以，并且.
因为，
所以，
所以，
因为，，，平面， ，
所以平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
又因为，
所以为等腰直角三角形，
所以，
在中，，
由相似易得，
所以．
【考点】
两条直线垂直的判定
二面角的平面角及求法
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：在中，，为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
解：如图，取的三等分点，使得，
取的三等分点，使得，连接，，，
因为，，
所以，
又，
所以，
所以，
由知，平面，
所以平面，
所以，，
又，
所以，，，，
所以，
同理，，
所以，并且.
因为，
所以，
所以，
因为，，，平面， ，
所以平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
又因为，
所以为等腰直角三角形，
所以，
在中，，
由相似易得，
所以．
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