2020-2021学年山东省临沂高二年级（下）期末考试数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年山东省临沂市高二年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题

1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.

2. 下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是
A. B. C. D.

3. 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为？（结果保留整数，参考数据：
A. B. C. D.

4. 有甲、乙两个袋子，甲袋中有个白球、个黑球，乙袋中有个白球、个黑球．现从甲袋中任取个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取个球，则此球为白球的概率为( )
A. B. C. D.

5. 已知是定义在上的奇函数，且满足，则( )
A. B. C. D.

6. 一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为．设解出该题的人数为，则等于( )
A. B. C. D.

7. 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有个实数根，它们分别是，，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.

8. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险．为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为( )(附：若随机变量服从正态分布，则，
A. B. C. D.
二、多选题

袋子中有个黑球，个白球，现从袋子中有放回地随机取球次，取到白球记分，黑球记分，记次取球的总分数为，则（ ）
A. B.
C.的期望 D.的方差

对于表中，之间的一组数据：
甲、乙两位同学给出的拟合直线方程分别为①和②．若通过分析得出②的拟合效果好，则下列分析理由正确的是（ ）
参考公式：.
A.①的残差和大于②的残差和，所以②拟合效果更好
B.①的残差平方和大于②的残差平方和，所以②拟合效果更好
C.①的小于②的，所以②拟合效果更好
D.残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线②拟合效果更好

下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则

已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.若在单调递增，则实数
B.当时，是的极值点
C.当时， 的零点满足
D.当时， 恒成立
三、填空题

若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是________.

已知随机变量服从正态分布，若，则________.

展开式中的系数为________.

设函数
①若，则的最小值为________；
②若恰有个零点，则实数的取值范围是________．
四、解答题

某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有
个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时．要求每位员工从中选择个项目，每个项目的选择机会均等．
求小张在三类中各选个项目的概率；
设小张所选个项目花费的总时间为小时，求的分布列．

作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国年度棉花产量约万吨，总需求量约万吨，年度缺口约万吨．其中，新疆棉花产量万吨，占国内产量比重约，占国内消费比重约．新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的、两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从、两地的棉花中各随机抽取根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于的为“长纤维”，其余为“短纤维”）．
由以上统计数据，填写下面列联表；
判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
附：临界值表：

已知函数．
求在上的值域；
解不等式；
若关于的方程在上有解，求的取值范围．

当前“停车难”已成为城市通病，因停车问题引发的纠纷屡见不鲜．无论在北京、上海等超大型城市，还是其它城市，甚至人口只有几万、十几万的县城和乡镇，“停车难”都给群众生活和政府管理带来了深深的烦恼．由于“停车难”是事关百姓生活质量和切身利益的问题，也是建设和谐社会不容忽视的问题之一．某小区物业公司决定动手解决小区“停车难”问题，并统计了近六年小区私家车的数量，以编号对应年，编号对应年，编号对应年，以此类推，得到相应数据如下：
年份编号
数量（辆）
若该小区私家车的数量与年份编号的关系可用线性回归模型来拟合，试用相关指数分析其拟合效果（精确到）；
由于车辆增加，原有停车位已经不能满足现有车业主的需求，因此物业公司欲在小区内对原有停车位进行改造，重新规划停车位．若要求在年小区停车位数量仍可满足需要，求至少需要规划多少个停车位．
参考数据：，，，．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ，，
相关指数 ，残差．

某学校组织一次“强基提素”的知识竞赛，每个参赛选手依次回答道题，每答对一道获得相应的分值，再继续答下一道，且在答前题时，有且仅有一次“复活”机会．即选手首次答错后，裁判会给选手另外出一道复活题，若选手把复活题答对，则该选手复活成功，接着答下一道题，若选手把复活题答错，则结束答题，答第题时没有“复活”机会．每道题的分值如下：
现有甲、乙两名参赛选手，甲答对每一题（包括复活题）的概率均为，乙答对第、题的概率均为，答对第、、题的概率均为，答对复活题的概率为，且两人回答每道题是相互独立的．
求甲恰好回答道题的概率；
求甲、乙两人的得分之和为分的概率；
求乙的得分不小于分的概率．

已知函数.
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市高二年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据交集的定义进行计算即可.
【解答】
解：∵ ，
∴ .
故选.
2.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
函数奇偶性的判断
【解析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和值域，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
，，是奇函数，但值域为 ，不符合题意；
， ，是奇函数，但其值域为或 ，不符合题意；
， ，是奇函数，其值域为，符合题意；
，，是奇函数，其值域为 ，不符合题意．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
函数模型的选择与应用
对数的运算性质
【解析】
由题意，将已知数代入模型公式中进行求解即可.
【解答】
解：已知，，，，
代入温度冷却模型公式中得，
又，
所以原式.
则大约经过分钟水温降为.
故选.
4.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
先求出从甲中取个球的概率，再分类求出若甲袋取出的为个白球，若甲袋取出的为白黑，此时求出乙袋取出白球的概率，根据概率公式即可求出．
【解答】
解：从甲中取个球，有种情况，(白或白黑)，故有种，
个白球的概率为，白黑的概率为，
若甲袋取出的为个白球，则现在乙袋中有个白球、个黑球，故从乙袋中任取个球，取得白球的概率为，
若甲袋取出的为白黑，则现在乙袋中有个白球、个黑球，故从乙袋中任取个球，取得白球的概率为，
故现从甲袋中任取个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取个球，则此球为白球的概率为
．
故选．
5.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
根据是上的奇函数，且即可得出的周期为，从而可求出，并且可得出，这样即可得出答案．
【解答】
解：∵ 是上的奇函数，且，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周期为，
∴ ，
且
，
∴ ．
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
先根据题意写出分布列，再利用公式计算期望和方差即可．
【解答】
解：依题意的可能取值为，，，
甲乙均答错时，，
甲乙二人一人答对一人答错时，，
甲乙均答对时，．
所以的分布列为
所以，
．
故选．
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
根的存在性及根的个数判断
【解析】
无
【解答】
解：由得，
在上是增函数，在上是减函数，
，
，
此时的另外一个根，
，
方程有个实数根，它们分别是，，，
，
，
且
，
则
，
，
，
的最小值是．
故选．
8.
【答案】
C
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
由已知可得正态分布曲线的对称轴，然后结合与原则求解测量体温误差在区间内的概率．
【解答】
解：由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布，
得，，
∴ 测量体温误差在区间内的概率为：
．
故选．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
二项分布的应用
【解析】
1
【解答】
解：由于每次取球互不影响，故所有结果有类：
①次全是白球，，记其概率为；
②次只有次是黑球，，记其概率为；
③次只有次是黑球，，记其概率为；
④次只有次是黑球，，记其概率为；
⑤次全是黑球，，记其概率为 .
故，故正确，错误；
因为，所以的期望，故正确；
因为，所以的方差，故正确．
故选．
【答案】
B,C,D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据所给的两条直线的方程和五个坐标点，求出用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和，用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和，比较分析，，的正误，再求得①的与②的分析的正误．
【解答】
解：用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和为：
．
用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和为：
．
∵ ，
∴ ①的残差和大于②的残差和，①的残差平方和大于②的残差平方和，则②的拟合效果更好，故错误，正确；
残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线②拟合效果更好，故正确；
①的＝，②的＝，①的小于②的，②拟合效果更好，故正确．
故选.
【答案】
B,C,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项．
【解答】
解：对于选项，取， ，则 ，但 ，即“不是“”的必要条件；
对于选项，若，则，即”是“”的必要条件；
对于选项，若，则，即“”是“”的必要条件；
对于选项，若 ，则 ，即”是”的必要条件．
故选．
【答案】
A,C
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
函数的零点
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
对于，依题 在上恒成立，令 求函数的最小值即可 代入，判断函数的单调性，进而得出极值情况；对于将代入，利用零点存在性定理判断即可；对于，将代入，由f( 1)<0即可判断．
【解答】
解：对于，若在单调递增，则在 上恒成立，
即在 上恒成立,
令，则，易知函数在单调递增，
故，∴ ，即，故正确；
对于，当时，，，,
则在上单调递减，在上单调递增，
故,
∴ 在上单调递增，无极值点，选项错误；
对于，当时，，
，则此时仅有一个零点，
又，
，
由零点存在性定理可知，，选项正确；
对于，当时， ，时， ，选项错误．
故选．
三、填空题
【答案】
【考点】
全称命题与特称命题
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
由命题找出真命题，使得成立．利用分离参数和基本不等式可得答案．
【解答】
解：若命题“，使得成立”是假命题，
则有：‘，使得成立”．
即： ，成立，则，
又 当且仅当时，取等号，
所以.
故答案为：.
【答案】
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据正态分布曲线的对称性，得到，即可求解．
【解答】
解：由题意，随机变量服从正态分布 ，
可得对称轴 ，则，
因为，
根据正态分布曲线的对称性，可得.
故答案为：．
【答案】
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
根据题意利用二项展开式的通项公式即可求得结果.
【解答】
解：展开式的通项公式，
令，得，
因此展开式中的系数为.
故答案为：.
【答案】
,或
【考点】
分段函数的应用
函数的零点
【解析】
①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设，，分两种情况讨论，即可求出的范围．
【解答】
解：①当时，
当时，为增函数，，
当时，，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
故当时，，
综上，的最小值为.
②设，
若在时，与轴有一个交点，所以，
并且当时，，所以，
则函数有一个交点，
所以，且，
所以，
若函数在时，与轴没有交点，
则函数有两个交点，
当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），
当 时，即时，的两个交点满足，，都是满足题意的，
综上所述的取值范围是，或．
故答案为：；或．
四、解答题
【答案】
解：记事件为在三类中各选个项目
则，
所以小张在三类中各选个项目的概率为．
的可能取值为，，，，，，则
；；
；；
；；
所以分布列如下表所示：
【考点】
古典概型及其概率计算公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：记事件为在三类中各选个项目
则，
所以小张在三类中各选个项目的概率为．
的可能取值为，，，，，，则
；；
；；
；；
所以分布列如下表所示：
【答案】
解：根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，
可得，
能认为在犯错误概率不超过前提下纤维长度与土壤环境有关系．
【考点】
独立性检验
【解析】
（1）由频数分布表直接读取数据，填入列联表即可；
（2）由列联表计算，所得数值与判断即可
【解答】
解：根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，
可得，
能认为在犯错误概率不超过前提下纤维长度与土壤环境有关系．
【答案】
解：令，当时，，
则可将原函数转化为，
当时，；
当时，；
∴ 在上的值域为；
∵ ，
即，
∴ ，
解得：，
∴ ，
即不等式的解集为；
令，当时，，
∴ 在上有解等价于与在时有交点，
由知：在时的值域为，
∴ ，
解得：，
即的取值范围为．
【考点】
函数的值域及其求法
函数最值的应用
【解析】
无
无
无
【解答】
解：令，当时，，
则可将原函数转化为，
当时，；
当时，；
∴ 在上的值域为；
∵ ，
即，
∴ ，
解得：，
∴ ，
即不等式的解集为；
令，当时，，
∴ 在上有解等价于与在时有交点，
由知：在时的值域为，
∴ ，
解得：，
即的取值范围为．
【答案】
解：由题意得，
，
，
且 .
所以关于的线性回归方程为．
又时，；时，；时，；
时，；时，；时，；
故 ，，
由相关指数近似为，接近，说明拟合效果较好．
令，可得，
故若要求在年小区停车位数量仍可满足需要，求至少需要规划个停车位．
【考点】
求解线性回归方程
相关系数
【解析】
.
.
【解答】
解：由题意得，
，
，
且 .
所以关于的线性回归方程为．
又时，；时，；时，；
时，；时，；时，；
故 ，，
由相关指数近似为，接近，说明拟合效果较好．
令，可得，
故若要求在年小区停车位数量仍可满足需要，求至少需要规划个停车位．
【答案】
解：甲恰好回答道题分三种情况：①甲连续答对前道题；②前题答对，第题和复活题连续答错；③前题中答错次，复活题答对，第题答错．
故所求概率为.
两人得分之和为分仅当两人各得分．
一名选手得分有两种情况：①前题答对第题和复活题答错；②前题答对，第题答错，复活题答对，第题答错．
甲得分的概率为，
乙得分的概率为，
所以甲、乙两人得分之和为分的概率为.
设乙的得分为，则小于分的情况有四种：，，，．
，
，
，
，
因此.
【考点】
n次独立重复试验的结果
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：甲恰好回答道题分三种情况：①甲连续答对前道题；②前题答对，第题和复活题连续答错；③前题中答错次，复活题答对，第题答错．
故所求概率为.
两人得分之和为分仅当两人各得分．
一名选手得分有两种情况：①前题答对第题和复活题答错；②前题答对，第题答错，复活题答对，第题答错．
甲得分的概率为，
乙得分的概率为，
所以甲、乙两人得分之和为分的概率为.
设乙的得分为，则小于分的情况有四种：，，，．
，
，
，
，
因此.
【答案】
解：时，函数，，
则，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
的定义域为,
，
①当时，，
令，解得；
令，解得．
在上单调递减，在上单调递增．
②当时，
令，解得或；
令，解得．
在，上单调递增，在上单调递减．
③当时，
，
在上单调递增．
④当时，
令，解得或；
令，解得．
在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
无
【解答】
解：时，函数，，
则，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
的定义域为,
，
①当时，，
令，解得；
令，解得．
在上单调递减，在上单调递增．
②当时，
令，解得或；
令，解得．
在，上单调递增，在上单调递减．
③当时，
，
在上单调递增．
④当时，
令，解得或；
令，解得．
在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
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