2020-2021学年陕西省西安高二（下）期末考试数学（文）试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题

1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.

2. 若为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.

3. 某英语初学者在拼写单词“ ”时，对前三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且“”只可能在前两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（ ）
A. B. C. D.

4. 函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.

5. 在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列，，则( )
A. B. C. D.

6. 记为数列的前项和，若，，且，则的值为( )
A. B. C. D.

7. 已知满足：，，在区间上，为减函数，则的最大值为
A. B. C. D.

8. 定义在上偶函数，满足，且当时，．若在区间上，函数恰有五个不同的零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.

9. 一组数据按从小到大排列为，，，，，，若这组数据的平均数与中位数相等，则下列说法正确的是（ ）
A. B.众数为 C.中位数为 D.方差为

10. 已知直线过原点，圆，则下列叙述错误的是（ ）
A.圆的圆心为点
B.设直线与圆交于两点，，则中点轨迹为一段圆弧
C.存在实数，使直线与圆相切
D.不存在实数，使圆上恰有三个点到直线的距离为

11. 已知定义域为的函数满足，且当时，则下列叙述正确的是（ ）
A.函数是奇函数 B.函数是偶函数
C.函数在单调递增 D.函数在单调递减

12. 已知在三棱锥中，为中点，平面，，，下列说法中错误的是
A.若为的外心，则
B.若为等边三角形，则
C.当时，与平面所成的角的范围为
D.当时，为平面内动点，满足平面，则在三角形内的轨迹长度为
二、填空题

等腰直角三角形中， ，则有________.

函数在处的切线方程经过点，则______.

已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球表面积为________．

抛物线：的焦点为，准线为，点在上，线段与抛物线交于点，若，点到轴的距离为，则的值是________.
三、解答题

随着经济水平的提高，智能家居已成为生活中的热点，应用于寻常百姓家中的比例逐年上升．智能家居与传统家居的最大区别在于用电器的开关控制，由过去的人工控制变成智能终端控制．某生活家居馆新推出一套智能家居产品，为了占领市场，举行为期六周的“感恩有你，钜惠给你”低价风暴活动，到第五周末该生活家居馆对前五周销售情况进行统计，得到统计表格如下（表示第周确定订购的数量），且通过散点图发现与具有线性相关关系．
请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
预测第六周订购智能家居产品的数量能否超过．
参考公式： ，．

已知等比数列的公比为，前项和为，且是与的等差中项．
求的通项公式；
设的前项和为，证明： .

的内角，，的对边分别为，，，．
求；
若，在以为直径的圆上取一点，且点在内部，，求．

如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为棱，上一点，且，平面．
求证：；
当时，求三棱锥的表面积．

椭圆，右顶点为，上顶点为，下顶点为，的面积为.
求椭圆方程；
是椭圆上在第三象限内的动点，直线交轴于，直线交轴于，求面积的最大值．

已知函数
证明：存在唯一的极值点，且；
是的极值点，证明：. 参考数据：.
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合，，计算即可．
【解答】
解：，，
则.
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
【解答】
解：满足题意的字母组合有四种，分别是，拼写正确的组合只有一种，
．
故选．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：由可知的图像关于原点对称，排除；
函数值域中，显然，故排除；
，，故在上为减函数，排除．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
数列的应用
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的前和公式求出数列的公差，再利用等差数列的通项公式以及对数的运算性质即可求解．
【解答】
解：由题意知：一个月共织了尺布，且每天的织布数成等差数列，设公差为，
∴ ，解得：
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
由递推公式可得的偶数项相等，奇数项为等差数列，再利用等差数列的求和得解.
【解答】
解：由，
得，
故，
，
所以，
.
故选.
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：由题意 ，
其中，，
故，
取最大值时：，在区间上，为减函数，
故存在，使得：
得：，
由，即时，，
故最大值为．
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
函数的零点与方程根的关系
函数的周期性
【解析】
原问题可转化为函数＝和＝有五个不相同的交点；由偶函数满足＝，可知的周期为；然后作出函数和＝的图象，结合图象可得，当＝经过点时，恰能满足题意，此时有＝，从而解出的值，进而得的取值范围．
【解答】
解：在区间上，函数恰有五个不同的零点，等价于有五个不相等的实数根，即函数和有五个不相同的交点．
∵ 偶函数满足，
∴ ，
∴ 函数的周期为．
作出函数和的图象，如图所示：
当经过时，两个图象在上有个交点，
此时，解得，
∴ 要使在区间上，函数恰有五个不同的零点，则．
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
无
【解答】
解：一组数据按从小到大排列为，，，，，.
这组数据的平均数与中位数相等，
，
解得，故错误；
众数为，故错误；
中位数为，故正确；
平均数为．
方差为，故错误．
故选．
10.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
轨迹方程
【解析】
无
【解答】
解：对于，化成标准方程，故正确；
对于，因为，
所以点的集合为以为直径的圆在圆内的弧，故正确；
对于，因为直线过定点在圆内，
所以直线不能与圆相切，故错误；
对于，圆的半径为，
所以要满足圆上恰有三个点到直线的距离为，
需圆心到直线的距离为，
此时直线斜率不存在，故正确.
故选．
11.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
无
【解答】
解：令，可得；
又令，可得；
令，；
令，可得，
函数是偶函数，故正确．
故选．
12.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
棱锥的结构特征
直线与平面所成的角
直线与平面垂直的判定
【解析】
由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断正确；由线面垂直的判断和性质可判断错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得到平面的距离的范围，可判断；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得正确．
【解答】
解：为的外心，可得,
平面，可得，即有，正确；
因为为等边三角形，若，又，可得平面，即，
由可得，矛盾，错误；
当时，设与平面所成角为，
可得，.
设到平面的距离为，
由，可得，
即，当且仅当取等号，
可得的最大值为，，即的范围为，正确；
取的中点，的中点，连接，，，
由中位线定理可得，，可得平面平面，
可得在线段上，而，正确．
故选.
二、填空题
【答案】
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
可画出图形，根据题意，且，从而可得出,进而求得结果.
【解答】
解：如图，
可知，且，
∴ ，
∴
．
故答案为：．
【答案】
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
由题意，先对函数进行求导，得到函数在处的切线方程，再将点求解即可.
【解答】
解：已知函数，函数定义域为，
则，
易得，
而，
所以函数在处的切线方程为，
因为该切线方程经过点，
将该点代入切线方程中可得，
所以.
故答案为：.
【答案】
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
无
【解答】
解：取中点.
因为是以为斜边的等腰直角三角形，
则点是的外心.
又，
则易知平面，三棱锥外接球球心在直线上.
又为正三角形，
则的中心即为外接球球心，
外接球半径，
外接球表面积．
故答案为：．
【答案】
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
【解析】
先求出的正切值，再根据抛物线性质求出.
【解答】
解：如图，准线与轴交于点，过点作于点.
因为，
则，
所以，
所以，
所以，
所以.
因为点到轴的距离为，
所以，
解得 .
故答案为：.
三、解答题
【答案】
解：依题意：，，
所以
，
所以，
故所求回归直线方程为．
将，代入中，
得，
故预测第六周订购智能家居产品的数量不会超过．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：依题意：，，
所以
，
所以，
故所求回归直线方程为．
将，代入中，
得，
故预测第六周订购智能家居产品的数量不会超过．
【答案】
解：∵ 是与的等差中项，
∴ ，
∴ ， ∴ 或（舍去）.
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
证明：由得
，
∴ .
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的性质
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 是与的等差中项，
∴ ，
∴ ， ∴ 或（舍去）.
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
证明：由得
，
∴ .
【答案】
解：
.
∵ ，
得：．
如图.
设，
则，.
在中，
，
∴ ，
∴ ，
等式两边同除，得：，
∴ ，
当时，点在外，
故．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：
.
∵ ，
得：．
如图.
设，
则，.
在中，
，
∴ ，
∴ ，
等式两边同除，得：，
∴ ，
当时，点在外，
故．
【答案】
证明：连接.
∵ 平面，
∴ ，.
又∵ ，，
∴ 平面，
∴ .
又∵ ，，
∴ 平面，
∴ ．
解：由平面，平面，平面平面得.
因为，
所以，
由可得，，
则.
又，所以.
在中，，
所以，，
则该三棱锥的表面积
．
【考点】
两条直线垂直的判定
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
无
无
【解答】
证明：连接.
∵ 平面，
∴ ，.
又∵ ，，
∴ 平面，
∴ .
又∵ ，，
∴ 平面，
∴ ．
解：由平面，平面，平面平面得.
因为，
所以，
由可得，，
则.
又，所以.
在中，，
所以，，
则该三棱锥的表面积
．
【答案】
解：，
，
∴ ，
与解得：，
∴ 椭圆方程为：.
设 ，
则，
，

.
，
，
.
，
∴ ，
∴ ，
当时，取最大值为.
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，
，
∴ ，
与解得：，
∴ 椭圆方程为：.
设 ，
则，
，

.
，
，
.
，
∴ ，
∴ ，
当时，取最大值为.
【答案】
证明：，，
令，
，
，
在上为增函数.
，
，
故存在唯一的零点，且，此亦为的零点，
又时，，单调递减；
时，，单调递增；
故存在唯一的极值点，且．
由知：是的最小值，
故.
又，
，
，
在上是减函数，
由，
得，
即．
．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：，，
令，
，
，
在上为增函数.
，
，
故存在唯一的零点，且，此亦为的零点，
又时，，单调递减；
时，，单调递增；
故存在唯一的极值点，且．
由知：是的最小值，
故.
又，
，
，
在上是减函数，
由，
得，
即．
．
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