2020-2021学年四川省成都西区高二（下）期末_（考试数学试卷学）人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年四川省成都市西区高二（下）期末 (考试数学试卷学)
一、选择题

1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.

2. 已知函数 则（ ）
A. B. C. D.

3. 某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为分．如图所示的茎叶图为某班名同学的测试成绩（单位：分）．则这组数据的极差和众数分别是（ ）
A.， B.， C.， D.，

4. 若实数，满足约束条件 则的最大值为( )
A. B. C. D.

5. 已知双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.

6. 记函数的导函数为．若，则( )
A. B. C. D.

7. 已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是( )
A. B. C. D.

8. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）
A. B. C. D.

10. 在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.

11. 已知函数．若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

12. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点．若，且的面积为，则点到准线的距离是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题

设复数（为虚数单位），则________.

一个路口的红绿灯，红灯的时间为秒，黄灯的时间为秒，绿灯的时间为秒．当你到达该路口时，看见不是红灯的概率是________.

已知关于，的一组数据：
根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为________.

已知是定义在上的奇函数，当时，
有下列结论：
①函数在上单调递增；
②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；
③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；
④记函数在上的最大值为，则数列 的前项和为.
其中所有正确结论的编号是________.
三、解答题

已知函数，其中．若函数的图象在点处的切线与直线平行．
求的值；
求函数的极值．

“年全国城市节约用水宣传周”已于月日至日举行．成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴—小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成组：， ，，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这名业主评分的中位数；
若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取人，然后再从抽出的这位业主中任意选取人作进一步访谈，求这人中至少有人的评分在的概率．

如图，在四棱锥中，，，为棱的中点，，.
求证：平面；
若平面平面，试求三棱锥的体积．

已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，，，且椭圆的离心率为．
求椭圆的方程；
设过点的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．

已知函数，其中.
讨论函数的单调性；
记函数的导函数为．当时，若满足，证明：．

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
在曲线上任取一点，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的倍得到曲线．设直线与曲线相交于，两点，点，求的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省成都市西区高二（下）期末 (考试数学试卷学)
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
补集及其运算
【解析】
先求出集合，再利用集合的补集运算求解即可.
【解答】
解：全集，
集合，
则 .
故选.
2.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
分段函数的应用
【解析】
利用分段函数和对数的运算求解即可.
【解答】
解：函数
所以，，
所以.
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：这组数据为：
所以这组数据的极差为，
众数为.
故选.
4.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】
解：实数，满足
作出二元一次不等式所表示平面区域，即可行域如图所在区域为可行域，
目标函数变形为，斜率为，随变化的一组平行直线，
当直线经过可行域中点时，最大，
解方程组
解得点坐标为，
所以，
即的最大值为．
故选．
5.
【答案】
A
【考点】
点到直线的距离公式
双曲线的渐近线
【解析】
求得双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 ，再由渐近线的求法，计算可得所求值．
【解答】
解：设双曲线的一个焦点为，
渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
所以该双曲线的渐近线方程为，
即 .
故选.
6.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
先求导，再代入即可.
【解答】
解：，
所以
则1 .
故选.
7.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解．
【解答】
解：∵ 圆，
∴ 圆心，半径，
∴ 圆心到直线的距离，
∴ 圆上的点到直线的距离最大值为．
故选．
8.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
先求出“”的充要条件，再进行判定即可.
【解答】
解：若，
则，
解得，
经检验可知，当时，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：初始值：，，
模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量：
.
故选.
10.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线为外接球的直径，又可求，由此可求球的表面积．
【解答】
解：由题意，平面，，，
∴ ，
∴ 将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线为外接球的直径，
，
∴ 外接球的半径为，
∴ 球的表面积.
故选．
11.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】

【解答】
解：由题意可知对任意，且恒成立，
即对任意，且恒成立，
即对任意，且恒成立，
令，则,
令解得，
∴ .
故选.
12.
【答案】
D
【考点】
抛物线的求解
【解析】
根据抛物线的性质求解即可.
【解答】
解：因为 ，
根据抛物线定义知 ，
所以 点横坐标为，
又点在 上，
所以点纵坐标为（假设点在轴上方），
所以
易证 ，
所以， 为中点 ，
所以，
又 ，
所以 ，
解得 或 ，
又 ，
所以，
所以 点到准线的距离 .
故选.
二、填空题
【答案】
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
【解析】
先化简复数，再利用复数的模的运算求解即可.
【解答】
解：复数，
则.
故答案为：.
【答案】
【考点】
对立事件的概率公式及运用
【解析】
利用对立事件概率计算公式求解．
【解答】
解：∵ 一个路口的红绿灯，红灯的时间为秒，黄灯的时间为秒，绿灯的时间为秒，
∴ 当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是：
．
故答案为：.
【答案】
【考点】
求解线性回归方程
众数、中位数、平均数
【解析】
根据线性回归方程经过样本中心值进行求解即可.
【解答】
解：由题意可知：，
，
又线性回归直线方程为，
∴ ，
化简可得.
故答案为：.
【答案】
①④
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数的对称性
根的存在性及根的个数判断
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①由题得，当时，在上单调递增，
又是定义在上的奇函数，
当时，在上单调递增，
所以在上单调递增，故①正确；
②作出函数的图象，如图，
由图知的图象与有三个不同的交点，故②错误；
③，
整理得，
设方程的四个跟为，，，.
当时，有唯一解，
所以有三个不相等的实数根，
由图象可知，当时，方程有三个不相等的实数根，
当时，，，
此时
当时，，，，
此时，故③错误；
④由函数的单调性可知，在上的最大值，
所以数列的通项公式为，
则数列的前项和为，故④正确.
故答案为：①④.
三、解答题
【答案】
解：由题意，可得．
∵ 函数的图象在点处的切线与直线平行，
∴ ，
∴ ．
经验证，符合题意．
由得．
∴ ．
当变化时，与的变化情况如表所示：
单调递增 极大值 单调递减↘ 极小值 单调递增
∴ 当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
无
无
【解答】
解：由题意，可得．
∵ 函数的图象在点处的切线与直线平行，
∴ ，
∴ ．
经验证，符合题意．
由得．
∴ ．
当变化时，与的变化情况如表所示：
单调递增 极大值 单调递减↘ 极小值 单调递增
∴ 当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
【答案】
解：∵ 第三组的频率为,
∴
又第一组的频率为，第二组的频率为．第三组的频率为
∵ 前三组的频率之和为，∴ 这名业主评分的中位数为
由频率分布直方图，知评分在）的人数与评分在的人数的比值为，
∴ 采用分层抽样法抽取人，评分在）的有人，评分在有人．
不妨设评分在）的人分别为；评分在的人分别为，
则从人中任选人的所有可能情况有：
共种．
其中选取的人中至少有人的评分在的情况有：
共种．
故这人中至少有人的评分在的概率为.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】


【解答】
解：∵ 第三组的频率为,
∴
又第一组的频率为，第二组的频率为．第三组的频率为
∵ 前三组的频率之和为，∴ 这名业主评分的中位数为
由频率分布直方图，知评分在）的人数与评分在的人数的比值为，
∴ 采用分层抽样法抽取人，评分在）的有人，评分在有人．
不妨设评分在）的人分别为；评分在的人分别为，
则从人中任选人的所有可能情况有：
共种．
其中选取的人中至少有人的评分在的情况有：
共种．
故这人中至少有人的评分在的概率为.
【答案】
证明：如图，取中点，连接，．
在中，为的中点，为的中点，
∴ 为的中位线．
∴ ，，
又，，
∴ 且，
∴ 四边形为平行四边形，
∴ ，
又平面，平面，
∴ 平面．
解：∵ ，，
∴ ，
在中，，
∴ ，
在直角梯形中，易得，
在中，，，
∴ ，
∴ ，
∵ 平面平面，平面平面，，平面，
∴ 平面．
在中，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】


【解答】
证明：如图，取中点，连接，．
在中，为的中点，为的中点，
∴ 为的中位线．
∴ ，，
又，，
∴ 且，
∴ 四边形为平行四边形，
∴ ，
又平面，平面，
∴ 平面．
解：∵ ，，
∴ ，
在中，，
∴ ，
在直角梯形中，易得，
在中，，，
∴ ，
∴ ，
∵ 平面平面，平面平面，，平面，
∴ 平面．
在中，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【答案】
解：∵ 在椭圆上，，
∴ ，
在中，由余弦定理得，，
即，
化简，得，①
又椭圆的离心率，
∴ ，②
由①②，解得，
∴ ，
∴ 椭圆的方程为.
由题意，直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为，
联立消去，得，
由，得，
设，，则，，
∴
设点到直线的距离为，又，则，
∴ ，
令，则，
∴ ，
当且仅当时等号成立，此时，
∴ 面积的最大值为．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
椭圆的离心率
余弦定理
点到直线的距离公式
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】


【解答】
解：∵ 在椭圆上，，
∴ ，
在中，由余弦定理得，，
即，
化简，得，①
又椭圆的离心率，
∴ ，②
由①②，解得，
∴ ，
∴ 椭圆的方程为.
由题意，直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为，
联立消去，得，
由，得，
设，，则，，
∴
设点到直线的距离为，又，则，
∴ ，
令，则，
∴ ，
当且仅当时等号成立，此时，
∴ 面积的最大值为．
【答案】
解：函数的定义域为，，
①当时，则当时，恒成立．
∴ 在上单调递减，无单调递增区间；
②当时，则由得，
∴ 当时，；当时，，
∴ 在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，无单调递增区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：，，，
满足，
∴ ，即，
∴ ，
欲证，即证，
亦即，
即证，
∵ ，设，即证，
设，
∵ 在上恒成立，
∴ 在上单调递减，
∴ ，
∴ ，即成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
解：函数的定义域为，，
①当时，则当时，恒成立．
∴ 在上单调递减，无单调递增区间；
②当时，则由得，
∴ 当时，；当时，，
∴ 在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，无单调递增区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：，，，
满足，
∴ ，即，
∴ ，
欲证，即证，
亦即，
即证，
∵ ，设，即证，
设，
∵ 在上恒成立，
∴ 在上单调递减，
∴ ，
∴ ，即成立．
【答案】
解：由曲线的参数方程，消去参数，得曲线的普通方程为．
∵ ，∴ 直线的直角坐标方程为．
设曲线上任一点经坐标变换后对应的点为．
据题意，得即
∵ ，∴ ．
即曲线的普通方程为．
∵ 直线过定点，
∴ 直线的参数方程为 （为参数）．
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理可得
…（）
设为方程的两个实数根．
则．
∴ ．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
伸缩变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由曲线的参数方程，消去参数，得曲线的普通方程为．
∵ ，∴ 直线的直角坐标方程为．
设曲线上任一点经坐标变换后对应的点为．
据题意，得即
∵ ，∴ ．
即曲线的普通方程为．
∵ 直线过定点，
∴ 直线的参数方程为 （为参数）．
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理可得
…（）
设为方程的两个实数根．
则．
∴ ．
第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页
第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页