阜宁高中2022届高三年级第二次阶段检测
数学学科试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
2．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 图象为如图函数表达式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即
为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛
达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
6．已知则不可能满足的关系是（ ）
A. B. C. D.
7．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值
范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知直线分别与直线和曲线相交于点，，则线段长度的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若点在幂函数的图象上，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．函数不是偶函数 B．函数的最小正周期为4
C．函数在上有3个零点 D．
11．下列关于一元二次不等式叙述正确的是（ ）
A．若一元二次不等式的解集为，则，且
B．若，则一元二次不等式的解集与一元二次不等式
的解集相等
C．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合
条件的a的值之和是21
D．若一元二次不等式的解集为R，且，则的最小值为3
12. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点
所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的
三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四
面体，则下列说法正确的是（ ）
A. 该截角四面体的表面积为
B. 该截角四面体的体积为
C. 该截角四面体的外接球表面积为
D. 该截角四面体中，二面角的余弦值为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分(第14题第一空2分,第二空3分)
13．已知函数是奇函数，且当时，，则的图象在点处的
切线的方程是_______
14．函数的单调递增区间是_________，值域是______．
15．已知命题p：.若命题p的否定是真命题，则实数的取值范围是
________．
16．对于函数，若存在，使，则点与点均
称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇
点”，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
19. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在
上是增函数.
（1）若函数的值域为，求实数b的值；
（2）已知，，求函数的单调区间和值域；
（3）对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，
使得成立，求实数c的值.
20. 如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，
已知，，.
（1）求证：平面；
（2）设棱的中点为，求平面与平面所成二面角的正弦值.
21. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右准线方程为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点，交双曲线的两条渐
近线于点（在轴左侧）．
①是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；
②记和的面积分别为，求的取值范围．
22．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若存在实数，使得恒成立的值有且只有一个，求的值．最小值为（ A ）
2022 届高三年级第二次阶段检测 1
A． 3 ln 2 B．3 ln 2 C． 2e 1 D．3
2
数学学科试卷(参考答案) 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选
9．若点 A m,n 在幂函数 y xa a R 的图象上，则下列结论可能成立的是（ ABC ）
项是符合题目要求的．
m 0 m<0 m<0 m 0
1.设全集为U ,非空真子集A,B,C满足 : A B A,B C B,则 （ D ） A． B． n<0 C．n 0 n D． 0
n<0
10．已知定义域为R的函数
f x 满足 f x 1 是奇函数，f x 1 2为偶函数，当 1 x 1时，f x x ，
A. A C B. A C C. B CU A D.CU A C 则（ AC ）
2．下列求导运算不正确的是（ D ） A．函数 f x 不是偶函数 B．函数 f x 的最小正周期为 4
C．函数 f x 在 2,2 2 上有 3个零点 D．
f 5 f 4
A． x 2x B． sin x cos x
11．下列关于一元二次不等式叙述正确的是（ ACD ）
x x 1 A．若一元二次不等式 ax
2 bx c 0的解集为 ，则 a 0，且 0
C． 3x 3x ln 3 D． e ln 3 e 3 aB 1 b 1 c．若 1 2a b c ，则一元二次不等式 a1x b1x c1 0
2
的解集与一元二次不等式 a2x b2x c2 0
2 2 2
cos 2 π 43. “ tan 2 ”是“
”的（ A ） 的解集相等
2 5 C．已知 a Z ，关于 x的一元二次不等式 x2 6x a 0的解集中有且仅有 3个整数，则所有符合
条件的 a的值之和是 21
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 D．若一元二次不等式 ax2
a b c
bx c 0的解集为 R，且b a，则 的最小值为 3
b a
4. 图象为如图的函数表达式可能为（ C ） 12. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点
cos x
A. f (x) x2 sin | x | B. f (x) 所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的
x2 1
三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为 a的截角四
C. f (x) x2 cos x D. f (x) x 2 cos x 面体，则下列说法正确的是（ ABC ）
0 x
5. e 1我们把分子、分母同时趋近于 0的分式结构称为 型，比如：当 x 0时， 的极限即
0 x A. 该截角四面体的表面积为7 3a2
0
为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在 1696年提出洛
0 23 2 3
达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： B. 该截角四面体的体积为 a12
ex x 1 e 1 x x2 1lim lim lim e 1，则 lim 3 （ D ） 11 2
x 0 x x 0 x x 0 1 x 1 x ln x C. 该截角四面体的外接球表面积为 a
1 2A．0 B． 2 C．1 D．2 1
6．已知3a 5b 15，则 a,b D. 该截角四面体中，二面角 A BC D的余弦值为不可能满足的关系是（ C ） 3
a b 4 ab 4 2 2A. B. C. a2 b2 8 D. a 1 b 1 2 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分(第 14题第一空 2分,第二空 3分)
x 1 , x 0 x 2
a R f x y f f x a 13．已知函数 f (x)是奇函数，且当 x 0时， f (x) ，则 f (x)7 2,f 2．设 ，函数 的图象在点 处的，若函数
x2 ax, x 0
恰有 3个零点，则实数 的取值 x2 1
A 切线的方程是_ x 5y 2_ _0____范围为（ ）．
A． 2,0 B． 0,1 C． 1,0 D 2． 0, 2 14．函数 f x log1 x 2x 3 的单调递增区间是____( __1,_1_)_，值域是 [ 2, ) ___．
2
8．已知直线 y a分别与直线 y 2x 2和曲线 y 2ex x相交于点A， B，则线段 AB长度的
1
15．已知命题 p： x 0,2ax ln x 0 .若命题 p的否定是真命题，则实数a的取值范围是 π 5 3
又因为 0<β< ，所以 0<α＋β<π.因为 sin(α＋β)＝ a 1 2 14
__ 2e _____． 11
16．对于函数 y f x ，若存在 x0，使 f x 所以 cos(α＋β)＝－ ，0 f x0 ，则点 x0 , f x0 与点 x0 , f x0 均 14
16 ax, x 0
称为函数 f x 的“准奇点”．已知函数 f x 3 ，若函数 f x 存在 5个“准奇6x x , x 0 所以 sin β＝sin[(α＋β)－α]
点”，则实数 a的取值范围为_ 6_, _ __ _. ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 11
17. 已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn ,S1 2， an 1 an 1 2 an an 2 ． 5 3 1 － 4 3 3 π π＝ × － 14 × ＝ .又因为 0<β< ，所以β＝ .
14 7 7 2 2 3
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若bn n 2
an ，求数列 bn 的前 n项和T 2 n cos
4
(2) 0 6 6 3 ，又 6 5
解:（1）因为在正项数列 an 中， an 1 an 1 2 an an 2 ， 2
2 2 3 2 7
可得 an 1 an 2 an 1 an 0，即 an 1 an 2 an 1 an 0， sin cos 2 2cos 6 5 3 6 1 ， 25
又因为an 1 an 0，所以 an 1 an 2，所以数列 an 是公差为 2的等
sin 2 2sin cos 24
差数列．又 a1 S1 2，所以 an 2 2 n 1 2n
3 6 6 25 ．
2n n sin 2 sin 2 b n 2 n 4 sin 2
cos cos 2 sin （2）由（1）知， n ， 12 3 4
3 4 3 4
2 3 n
所以Tn 1 4 2 4 3 4 n 4 ， 24 2 7 2 17 2
4T 2 3 4 n n 1 25 2 25 2 50所以 n 1 4 2 4 3 4 n 1 4 n 4 ，
4 1 4n a 1 4 19. 已知函数 y x 有如下性质：如果常数 a 0，那么该函数在 0, a 上是减函数，在
所以 3Tn 4 4
2 43 4n n 4n 1 n 4n 1 n 4n 1 ， x
1 4 3 3
a , 上是增函数.
3n 1 4n 1 4 y 3x bT (x 0) 6, 所以 n
（1）若函数 的值域为 ，求实数 b的值；
． x
9 9 4x2 12x 3
（2）已知 f (x) ， x [0,1]，求函数 f x 的单调区间和值域；
2x 1
18. (1) 1已知cos ,sin( ) 5 3 ,0 ,0 ,求角 的值.
7 14 2 2 （3）对于（2）中的函数 f x 和函数 g (x) x 2c，若对任意 x1 [0,1]，总存在 x2 [0,1]，
f x g x
(2)已知cos( ) 4 ,0 ,求sin(2 ) 使得 1 2 成立，求实数 c的值. 的值
6 5 2 12 b
解:（1）当b 0时，函数 y 3x 在 0，+ 上为单调增函数，此时函数的值域不是 6, ，故不成
π 1 4 3 x
解:(1)因为 0<α< ，cos α＝ ，所以 sin α＝ .
2 7 7 立，则b 0 .
2
y x a∵函数 有如下性质：如果常数 a 0，那么该函数在 0, a 上是减函数，在 a , 上是增x 解：（1）因为 AD 3，BD 3 3， ADB 30
b b b
函数.∴ y 3x (x 0)在 3
x
0, 上是减函数，在 , 上是增函数. 所以 AB 9 27 2 3 3 3 3，所以 BAD 120
3 3 2
∴函数 y 3x
b
(x 0) b的值域为 2 3b, ∵函数 y 3x (x 0)的值域为 6, x x 在△ABD中 AN 9 12 2 3 2 3 3 3，
2
∴2 3b 6，即b 3 .
2 所以 AN
2 AD2 DN 2，所以 DAN 90 ，所以 AC AD，
（2）∵ f (x) 4x 12x 3 4 2x 1 8
2x 1 2x 1 因为 PA 平面 ABCD所以 PA AC， PA AD A，
∴令 t 2x 1， x [0,1] y t
4 8 所以 AC 平面 PAD，则 ， t 1,3 .
t 3 3 3
y x a
（2）如图建立空间直角坐标系，所以 P 0,0,3 ， A 0,0,0 ， B , , 0 ， D 0,3,0 ，
∵函数 有如下性质：如果常数 a 0，那么该函数在 0, a 上是减函数，在 x a , 上是增 2 2
函数. 3 3 M 0, , ， C 3,0,0 所 以 PA 0,0, 3 AB
3 3 3
，
2 2
, ,0 ，
1 t 2 1
1 2 2
∴当 ，即0 x 时，函数 f (x) 单调递减，则单调减区间为
2
0,
2
；
1 1 3 3
当2 t 3，即 x 1时，，函数 f (x)
单调递增，则单调增区间为 ,1 . AM 0, , ， AC 3,0,0 设平面 PAB 与平面 MAC 法向量分别为2 2 2 2
∵ f 0 1 3 f ， 4， f 1
11
2 3 n1 x1, y1, z1 ， n2 x2 , y2 , z2 二面角为
∴函数 f (x)为的值域为 4, 3 .
3z 0 x1 1
n PA 0 1
（3）∵ g(x) x 2c为减函数， x2 [0,1]∴ g x2 1 2c, 2c 1所 以 3 3 3 y1 3 ， n1 1, 3,0
n1 AB 0 x1 y1 02 2 z1 0
∵对任意 x1 [0,1]，总存在 x2 [0,1]
，使得 f x1 g x2 成立
3 3
∴函数 f x 的值域为函数 g x 值域的子集 n2 AM 0 y z 0
2 2
2 2 n2 0,1, 1
n2 AC 0
1 2c 4
3x2 03
∴ ，解得 c
2c 3 2
cos 3 6所以 ， sin 10 .
2 2 4 4
20. 如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD， AC， BD 相交于点 N ，DN 2NB， x2 221. y已知双曲线 1(a 0,b 0) 3的一条渐近线方程为 ，右准线方程为 ．
已知 PA AC AD 3， BD 3 3， ADB 30 . y 2xa2 b2 x 3
（1）求证： AC 平面 PAD ； （1）求双曲线C的标准方程；
（2）设棱 PD的中点为M ，求平面 PAB 与平面MAC所成二面角的正弦值. （2）过点 P(0, 1)的直线 l分别交双曲线C的左、右两支于点 A,B，交双曲线C的两条渐
3
近线于点D,E（D在 y轴左侧）． x 0, m当 时， f x 0 x
m , ，当 时， f xl l
0 .
①是否存在直线 ，使得OA OB？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由； k k
S m m
②记 ODE和 OAB 1 的面积分别为 S1,S2，求 的取值范围． f x 在 0, S 上单调递增，在 , 上单调递减.2 k k
x2 y2 b 2
解:（1）双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的渐近线方程为 y x
a
，准线方程为 x ， 综上所述，当 k 0， f x 在 (0, )上单调递增；
a b a c
b a2 3 m m
由题意可得 2， ，又 a2 b2a c
2，解得 a 1，b 2， c 3， 当 k 0时， f x 在 0, 上单调递增，在 , 上单调递减；c 3 k k
y2 mx mx
则双曲线的方程为 x2 1； （2） xf x e 恒成立，即e kx m 0恒成立
2
（2）①由题意可知直线 l的斜率存在，可设直线 l的方程为 y kx 1， 令 g x emx kx m mx，则 g x me k．
与双曲线方程 2x2 y2 2联立，可得 (2 k 2)x2 2kx 3 0 ，
由△ 4k 2 12(2 k 2 ) 0，解得 3 k 3， ①当 k 0时， g x 0， g x 单调递增，要使 g x 0在 0, 上恒成立，只需 g 0 1 m 0，
则 x x
2k 3
1 2 ， x x 2 k 2 1 2 2 k 2
0，解得 2 k 2， 0 m 1，此时m不唯一，不合题意；
如果存在直线 l，使得OA OB，则 x1x2 y1y2 0， g x 0 x ln k lnm②当0 k m时，令 ，解得 0， g x 在 0, 上单调递增．
即为 x1x2 (kx1 1)(kx
2
2 1) (1 k )x1x2 k(x1 x2 ) 1 m
(1 k 2 ) ( 3 ) k ( 2k 2 2 ) 1 0 ，解得 k ，所以不存在直线 l，使得OA OB； 要使 g x 0在 0, 上恒成立，只需 g 0 1 m 0， 0 m 1，此时m不唯一，不合题意；2 k 2 k
y kx 1 1 y kx 1 1 ln k lnm
②由 ，可得D的横坐标 ；由 ，可得 E的横坐标 ， ③当 k m时，令 g x 0，解得 x 0，
y 2x k 2 y 2x k 2
m
x 0, ln k lnm
2 1 1 2 2 当 时，g x 0 g x
ln k lnm
， 单调递减，当 x , 时，g x 0，g x 单调递增，
|DE | 1 k | | 1 k 2 ； m m
k 2 k 2 | k 2 2 |
ln k lnm lnk lnm k
2
| AB | 1 k 2 (x x )2 4x x 1 k 2 4k 12 24 8k
2 g x g e ln k ln mmin m，
1 2 1 2
2 m m
(2 k 2
1 k ，
)2 2 k 2 | 2 k 2 |
m
S | DE | 2 2 1 要使 g x 0在 0, 上恒成立，且 值唯一，只需 g
ln k lnm
0，
由 ODE和 OAB 1 m 的高相等，可得 S2 | AB |
，
24 8k 2 3 k 2 m2
S 整理得 lnm ln k 1 0，
由 2 k 2，可得 3 k 2 (1 1 3， 3]，所以 的取值范围是[ ，1)
k
S 3 2 22 令 h m lnm lnk m 1 ，则 h m k 2m ，令 h m 0 k，解得m ．
22．已知函数 f x m ln x kx 1 m 0 k mk 2
（1）讨论 f x 的单调性； k
mx 当m 0, 时， h k xf x e m > 0， h m
k
单调递增，当m , 时， h m < 0， h m 单调递减．
（2）若存在实数 ，使得 恒成立的m值有且只有一个，求 k m的值． 2 ( ) ( ) 2
f x 0, f x m k m kx解:（1）函数 的定义域为 ， .
x x
h m h k ln 1 1 1 1max ，要使m值唯一，只需 h m ，max ln 0
当 k 0时， f x 0， f x 在 (0, 2 2k 2 ) 2k 2上单调递增；
e
k 0 f x 0 m k m
e k m e e
当 时，令 ，解得 x ，
k 解得 2， 2 ， 2
4
