辽宁省辽东南协作体2021-2022学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题（图片版含答案）

高二数学(A)试题答案
1．单选题：CCDD BACB
2．多选题：BCD BC AB ABD
三．填空题：13.-2 14.②③ 15. 16.
四解答题：.17.解：（1）是PC的中点，
.
，，
，
结合，，，得.
（2） ，， ，.
，， ，.
由（1）知，
，
，即BM的长等于.
18．解:(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5．
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋
t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若 b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此在直线AB上存在点E，使得 b，此时点E的坐标为E．
19．[解]　(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．
因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD AB1．
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1 平面BC1D．
(2)建立如图所示的空间直角坐标系B xyz，
则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)，
因此＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．
所以cos〈，〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ ，故θ＝．
20.解：以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，
（Ⅰ）证明：依题意，，1，，，，，
，；
（Ⅱ）依题意，，0，是平面的一个法向量，
，2，，，0，，
设，，为平面的法向量，
则，即，不妨设，则，，，
，，
，，
二面角的正弦值；
（Ⅲ）依题意，，2，，
由（Ⅱ）知，，，为平面的一个法向量，
，，
直线与平面所成角的正弦值为．
.
21. 解：（1）证明： 因为平面平面ABC，
平面平面,平面ABC,，
所以平面PAC.
因为平面PAC，所以. 又
所以C 因为PA,所以平面
（2）如图，过点P作于点H,
因为平面平面ABC，所以平面ABC，所以，
不妨设，则，
以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则，，，，
因此，，，.
设为平面PAB的一个法向量,则即
令，可得，
设为平面PBC的一个法向量，则即
令，可得，
所以，
易知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
22.解：（Ⅰ）证明：，，
在中，由余弦定理可得，
，．
．
又，，
平面．
（Ⅱ）
线段上不存在点，使平面平面．
证明如下：
因为平面，所以．
因为，所以平面．
所以，，两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系．
在等腰梯形中，可得．
设，所以，．
所以，．
设平面的法向量为，，，则，
所以取，得，2，．
假设线段上存在点，设，所以．
设平面的法向量为，，，则
所以取，得．
要使平面平面，只需，
即，此方程无解．
所以线段上不存在点，使平面平面