山东省济宁市曲阜第一中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（PDF版含答案）

曲阜一中高二数学 10 月份月考
数学试卷
一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分）
1.经过点(1,0)，且斜率为 2的直线的方程是（ ）
A. 2x y 2 0 B. 2x y 2 0 C. x 2y 1 0 D. x 2y 1 0
2.两平行直线 kx 6y 2 0与 4x 3y 4 0之间的距离为 （ ）
1 2 6
A． B． C. 1 D.
5 5 5

3.已知平面 的一个法向量 n 2, 2,1 ，点 A(–1,3,0)在平面 内，则点 P 2,1,4 到平
面 的距离为 ( )
A.10 B.3 C. 8 D.10
3 3
4.设 i, j,k 是空间中的一个单位正交基底，已知向量 p 8a 6b 4c，其中 a i j，
b j k ， c k i ，则向量 p在基底 i, j,k 下的坐标是( )
A. 12,14,10 B. 10,12,14 C. 14,12,10 D. 4,3,2
5.如图所示，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中， AA1 底面
ABC, AB BC AA , π1 ABC ，点 E，F分别是棱 AB,BB2 1
的中点，则直线 EF和 BC1的夹角是( )
A. π B. π C. π D. π
6 4 3 2

6 .若空间向量a与b不共线， a b 0 c a a a，且 b，则向量 a与 c的夹角为( )
a b

A.0 B. C. D.
6 3 2
7.已知 a b 2, 2,2 3 ,a b 0, 2,0 ，则 cos a,b ( )
A. 1 B. 1 C. 6 D. 6
3 6 3 6
8.如图，在四面体 OABC 中，OA 8， AB 6， AC 4，
BC 5， OAC 45 ， OAB 60 ，则 OA 与 BC 所成
角的余弦值为( )
3 2 2 2 2 1
A. B. C.
5 6 2
二、选择题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.）
9.（多选题）关于直线 l : 3x y 1 0，下列说法正确的有（ ）
A.过点( 3，－2) B. 斜率为 3 C.倾斜角为 60° D.在 y轴上的截距为 1
10.（多选题）若直线过点 A 1,2 ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l方程可
能为（ ）
A. x y 1 0 B. x y 3 0 C. 2x y 0 D. x y 1 0

11.（多选题）已知直线 l1 、 l2 的方向向量分别是 AB (2，4， x)，CD (2， y， 2)，

若 | AB | 6且 l1 l2，则 x y的值可以是 ( )
A． 3 B． 1 C．1 D．3
12.（多选题）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为菱形，且 DAB 60 ，侧
面 PAD为正三角形，且平面 PAD 平面 ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱 AD上存在点 M，使 AD 平面 PMB
B. 异面直线 AD与 PB所成的角为 90°
C. 二面角 P BC A的大小为 45°
D. BD 平面 PAC
三、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， AA1 AB 2, AD 1，点 F ,G分别是 AB,CC1的中
点，则点 D1到直线GF 的距离为 ▲ .
14.已知直线 l1：ax+2y﹣3＝0和直线 l2：（1﹣a）x+y+1＝0．若 l1⊥l2，则实数 a的值为
▲ ；若 l1∥l2，则实数 a的值为 ▲ ．
15.若直线方程ax +by +c = 0的一个法向量为 ( 3, 1)，则此直线的倾斜角为 ▲ .
16.已知直线 l经过点 P 1,0 且与以 A 2,1 ， B 3, 2 为端点的线段 AB有公共点，则
直线 l 的倾斜角的取值范围为 ▲ ．
四、解答题（本题共 6 道小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
17.已知直线mx y 3m 1 0恒过定点 A.
（1）若直线 l经过点 A且与直线 2x y 5 0垂直，求直线 l的方程；
（2）若直线 l经过点 A且坐标原点到直线 l的距离等于 3，求直线 l的方程.
18.已知△ABC 的三个顶点是 A（3，0），B（4，5），C（0，7）
（1）求 BC 边上的高所在的直线方程（请用直线的一般方程表示解题结果）
（2）求 BC 边上的中线所在的直线方程（请用直线的一般方程表示解题结果）
19.如图，OA,OB,OC 两两垂直，OA OC 3,OB 2,M 为 OB的中点，点 N在线段 AC
上， AN 2NC .
(1)求 MN的长；
(2) P BC BP若点 在线段 上，设 ，当 AP MN 时，求实数 的值.
PC
20.如图，直二面角D AB E中，四边形 ABCD是边长为 2的正方形， AE EB，F为
CE上的点，且BF 平面 ACE .
（1）求证： AE⊥平面 BCE；
（2）求二面角B AC E的正弦值；
（3）求点 D到平面 ACE的距离.
21.已知平面内两点 A（8，-6），B（2,2）.
（1）求 AB的中垂线方程；
（2）求过 P（2，-3）点且与直线 AB平行的直线 l的方程；
（3）一束光线从 B点射向（2）中的直线 l，若反射光线过点 A，求反射光线所在的直线
方程.
22.在平行四边形 EABC中， EA 4， EC 2 2， E 45 ，D是 EA的中点（如图
1），将 ECD沿 CD折起到图 2中 PCD的位置，得到四棱锥是 P﹣ABCD．
（1）求证：CD 平面 PDA；
（2）若 PD与平面 ABCD所成的角为 60°．且 PDA为锐角三角形，求平面 PAD和平面
PBC所成角的余弦值．
曲阜一中高二数学 10 月份月考
试卷答案
1-8：BCDAC DCA
9.BC 10.ABC 11.AC 12.ABC
12.【详解】如图，取 AD 的中点 M ，连接 PM ,BM ，∵侧面 PAD 为正三角形，
PM AD ，又底面 ABCD 是菱形， DAB 60

， ABD 是等边三角形，
AD BM ，又 PM BM M ， PM ,BM 平面 PMB，
AD 平面 PMB， AD PB，故 A，B正确；
对于 C，∵平面 PBC 平面 ABCD BC，BC //AD， BC 平面 PMB，
BC PB ,BC BM ， PBM 是二面角 P BC A的平面角，
设 AB 1，则 BM 3 3 ， PM ，
2 2
在 Rt△PBM 中， tan PBM
PM
1，即 PBM 45 ，故二面角 P BC A的
BM
大小为 45 ，故 C正确；
对于 D，假设 BD 平面 PAC，则 BD PA，又依题意平面 PAD 平面 ABCD，
AD BM ，则 BM 平面 PAD，故 BM PA，而 BD，BM相交，且在平面 ABCD
内，故 PA 平面 ABCD，与 PM 平面 ABCD矛盾，因此 BD与平面PAC不垂直，
故D错误.
故选：ABC.
13. 42
3
2
14.﹣1或 2；
3

15.
3

16.[0, ] [3 , )
4 4
17.【解】直线mx y 3m 1 0可化为m x 3 y 1 0，
x 3 0 x 3
由 可得 ，所以点 A的坐标为 3,1 .
y 1 0 y 1
（Ⅰ）设直线 l的方程为 x 2y n 0，
将点 A 3,1 代入方程可得 n 1，所以直线 l的方程为 x 2y 1 0 ,
（Ⅱ）①当直线 l斜率不存在时，因为直线过点 A，所以直线方程为 x 3，
符合原点到直线 l的距离等于 3.
②当直线 l斜率不存在时，设直线 l方程为 y kx 3k 1，即 kx y 3k 1 0
- 3k + 1 4
因为原点到直线的距离为 3，所以 = 3，解得 k
k 2 + 1 3
所以直线 l的方程为 4x 3y 15 0
综上所以直线 l的方程为 x 3或 4x 3y 15 0 .
18.解：（1）∵直线 BC 的斜率为 =﹣ ，
∴BC 边上的高所在直线的斜率为 2．
又∵直线过点 A（3，0），
∴所求直线的方程为 y﹣0=2（x﹣3），
即 2x﹣y﹣6=0，
（2）BC 边上的中点坐标为（2，6），
又∵直线过点 A（3，0），
∴所求直线的方程为 = 即 6x+y﹣18=0，

19. (1)以 O 为坐标原点，分别以OA,OB,OC 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建
立空间直角坐标系Oxyz，
则O 0,0,0 , A 3,0,0 ,B 0,2,0 ,C 0,0,3 ，

由 M 为OB的中点， AN 2NC，得M 0,1,0 ,N 1,0,2 ， MN 1, 1,2 ，

MN 6，即MN 的长为 6 .
(2)设 P(0, y, z), BP ，且点 P 在线段 BC上，
PC

BP PC , 2 3 1, P 0, ,

，
1 1

AP 3, 2 , 3

1 1
，


AP MN , AP MN 0 ，
3 2 6 0, 5 .
1 1 3
20.（1）因为 BF 平面 ACE，所以 BF AE .
因为二面角 D AB E为直二面角，且CB AB，
所以CB 平面 ABE .所以CB AE .
因为 BC与BF 相交，且都属于平面BCE .
所以 AE⊥平面 BCE .
（2）以线段 AB的中点为原点O，OE所在直线为 x轴， AB所在直线为 y轴，过O点
平行于 AD的直线为 z轴，建立空间直角坐标系O xyz，如图.
因为 AE⊥面 BCE， BE 面BCE，所以 AE BE，在 Rt AEB中， AB 2，O为
AB的中点，

所以OE 1 .所以 A 0, 1,0 ， E 1,0,0 ，C 0,1,2 ， AE 1,1,0 ， AC 0,2,2 .

设平面 AEC的一个法向量为 n x, y, z .

AE n 0, x y 0, y x,
则 即 化简得2y 2z 0, AC n 0, y z,

令 x 1，得 n 1, 1,1 是平面 AEC的一个法向量.

又平面 BAC的一个法向量为m 1,0,0 ，

cos m,n m n 1 3 .
m n 3 3
所以二面角 B AC E 6的正弦值为 .
3

（3）因为 AD//z轴， AD 2，所以 AD 0,0,2 ，

AD n 2 2
所以点D到平面 ACE的距离 d 33 3 .n
8 2
5 6 2 2
21.（Ⅰ） 2 ， 2 ，∴ AB的中点坐标为 (5, 2)
k 6 2 4 3AB 8 2 3 ，∴ AB的中垂线斜率为 4
∴ AB的中垂线方程为3x 4y 23 0
y 3 4 (x 2)
（Ⅱ）由点斜式 3 ∴直线 l的方程 4x 3y 1 0
（Ⅲ）设 B(2, 2) 关于直线 l的对称点 B (m, n)
n 2 3 m 14 8 m 2 4 5 6
5 11
4 m 2 3 n 2
8 kB A
1 0 n
B (
14 8
, ) 8 14 27
∴ 2 2 .解 5 ∴ 5 5 ， 5
y 11 6 (x 8)
由点斜式可得 27 ，整理得11x 27 y 74 0
22.【解】（1）将 ECD沿 CD折起过程中，CD 平面 PDA成立．证明如下：
D是 EA的中点， EA 4， DE DA 2，
在△EDC中，由余弦定理得，
CD2 EC 2 ED2 2EC 2 cos 45 8 4 2 2 2 2 4，
2
CD 2 ED，
CD2 DE 2 8 EC 2 ，
△EDC 为等腰直角三角形且CD EA，
CD DA，CD PD， PD AD D，
CD 平面 PDA．
（2）由（1）知CD 平面 PDA，CD 平面 ABCD，
平面 PDA 平面 ABCD，
PDA为锐角三角形，
P在平面 ABCD内的射影必在棱 AD上，记为 O，连接 PO， PO 平面 ABCD，
则 PDA是 PD与平面 ABCD所成的角，
PDA 60 ，
DP DA 2，
PDA为等边三角形，O为 AD的中点，
故以 O为坐标原点，过点 O且与 CD平行的直线为 x轴，
DA所在直线为 y轴，OP所在直线为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 x轴与 BC交于点 M，
DA PA 2， OP 3
易知OD OA CM 1
BM 3，
则 P 0,0, 3 ，D 0, 1,0 ，C 2, 1,0 ， B 2,3,0 ，

DC 2,0,0 ，BC 0, 4,0 ， PC 2, 1, 3 ，
CD 平面 PDA，

可取平面 PDA的一个法向量 n1 1,0,0 ，

设平面 PBC的法向量 n2 x2 , y2 , z2 ，
n

BC 0 4y2 0,
则
n
，即 ，
PC 0 2x2 y2 3z2 0
3
令 z2 1，则 n2 , 0,1 为平面 PBC的一个法向量，
2
设平面 PAD和平面 PBC所成的角为 ，
3
n1 n2 21
cos cos n1,n2 2 ．
n n 71 2 1 7
2
21平面 PAD和平面 PBC所成角的余弦值为 ．
7