3.3.2 抛物线的简单几何性质（第二课时）同步练习--2021-2022学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册（word版含解析）

3.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）
一、单选题
1．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
3．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
4．已知抛物线C：x2=8y的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点．若的重心坐标为，则|AF|+|BF|+|DF|=（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
5．抛物线的焦点为F，在C上有一点P，，PF的中点M到C的准线l的距离为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．1
6．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点．若，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（ ）
A． B．
C． D．3
8．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、多选题
9．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，且，则等于（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．4
10．点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与抛物线的两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则( )
A．y1y2=
B．以AB为直径的圆与直线相切
C．OA+OB的最小值
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
12．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于不同，两点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．以线段为直径的圆与轴相切
三、填空题
13．抛物线上一点M到它准线的距离为2，且M到此抛物线顶点的距离等于M到它的焦点的距离，则此抛物线的焦点坐标是___________.
14．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，||FB|－|FA||＝________．
15．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
16．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是_______.
四、解答题
17．已知抛物线上的点(点位于第四象限)到焦点的距离为.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.
18．在直角坐标平面中，已知圆与直线相切，且过点.
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于两点，求面积的最小值.
19．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
参考答案
1．D
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由，得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，∴ |FA|＋|FB|＝7，故选：D.
2．A
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
3．B
【解析】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以当x=0时，z最小，最小值为3.故选：B.
4．B
【解析】设点，由抛物线知，.
由于的重心坐标为，所以，则，
由抛物线的定义可知．故选：.
5．A
【解析】本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.
如图，过P作于C，由抛物线的定义可知，，故PF的中点M到C的准线l的距离为.
故选：A.
6．B
【解析】点的坐标为，
①若直线的斜率不存在，此时，不合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，
消去后整理得，有，
可得，有，解得，
故直线的方程为．故选：B.
7．A
【解析】由题意，设抛物线y＝－x2上一点为：(m，－m2)，其中，
则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离：，
当时，取得最小值为，故选：A
8．B
【解析】因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离
所以过焦点作直线的垂线
则到直线的距离为的最小值，如图所示：
所以，故选：B
9．CD
【解析】∵抛物线C：，∴x2=8y，∴焦点F（0，2），准线方程为y=-2.
∵是C上一点，且，由抛物线的定义，得，
∴，∴，∴.故选：CD.
10．AB
【解析】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，故选AB．
11．ABD
【解析】由题意可知，抛物线的焦点，准线为：，且直线斜率一定存在，不妨设直线：，
由，从而，，
所以，故A正确；
因为，
所以由抛物线定义可知，，且中点，
从而到直线的距离为，从而以AB为直径的圆与直线相切，故B正确；
因为当时，易得，，故的值为，故C错误；
由题意,易知直线：，
经过点B与x轴垂直的直线为：，
从而经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点为，
因为，所以，
所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点为，
即在直线上，故D正确.
故选：ABD.
12．BC
【解析】选项：由抛物线的定义可知：.故选项错误；
选项：设直线的方程为：，
由，得，
，， ，
所以，
所以，所以选项正确；
选项：由选项的分析过程可知：，所以选项正确；
选项：由选项的分析过程可知：，
所以以为直径的圆的半径为，
又因为中点的横坐标为，
若以线段为直径的圆与轴相切，则，显然矛盾，所以选项错误.
故选：.
13．
【解析】设点到它的准线的距离为2，则，
∵M到此抛物线顶点的距离等于M到它的焦点的距离，
则，解得 ，，，
∴焦点坐标为
14．
【解析】易得抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线为x＝－1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，可得x2－6x＋1＝0，解得，，
由抛物线的定义可得||FB|－|FA||＝.
15．6
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
16．
【解析】
由对称性，不妨设点在轴的上方
，所以，即
代入椭圆方程解得，所以，即
所以,
17．【解析】（1）由抛物线的定义可知：，解得：，
，，解得，
点在第四象限，；
（2）设，
则，两式作差得，
直线的斜率，为的中点，
，，
直线的方程为，即（经检验，所求直线符合条件）.
18．【解析】（1）圆与相切，且过点，
圆心到点的距离与到直线的距离相等，
圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，圆心的轨迹：；
（2）由题意知：直线斜率存在，则可设方程为：，
由得：，则，
设，，，，
，
当时，.
19．【解析】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，
因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
20．【解析】（1）由题意得，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，，，且．
设中点为，则，，
当时，，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，
，，
，
当且仅当，即，即时，取“”，
所以的最大值为10，此时的方程为．