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新人教A版 必修5 题型冲关训练
2.1 数列的概念与基本表示法
题型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
【例题1】观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．
（1）； （2）．
【解析】（1）； （2）．
【训练1】将正奇数作如下分组后得一新数列：
1，3＋5，7＋9＋11，13＋15＋17＋19，…求这数列的一个通项公式。
【解析】观察各组首项的规律：1，3，7，13，…
用逐差法不难得首项通项为：n-n+1
所以，an= (n-n+1)+( n-n+3)+…+[n-n+(2n-1)]=n
【训练2】已知数列{an}的各项为0,1,3,7,…，写出数列{an}的一个通项公式为
【解析】通过观察各数的特点，有：3=4-1=22-1，7=8=23-1，且1=21-1，0=20-1
∴an=2n-1-1
【训练3】写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是：
⑴；⑵；⑶；⑷
【解析】⑴后一项均等于前一项加上3，那么第n项就是第一项加上个3，所以；
⑵每一项都可视为2的多少次幂加上1的形式，即；
⑶数列中的每项的绝对值均等于4，只是每次的符号正负相间，这样的问题可以用 的多少次幂进行调整，所以；
⑷原数列可变形为
故其通项公式可写为或。
【训练4】写出下列数列的一个通项公式：
⑴－1，7，－13，19，…
⑵1－，－，－，－，…
【解析】⑴不考虑各项前面的正、负号，则前4个数为1，7，13，19，考虑各数与其序号之间的对应关系：
序号 1 2 3 4
数 1 7 13 19
注意到：1 = 6×1－5；7 = 6×2－5；13 = 6×3－5；19 = 6×4－5．
故在不考虑正负的条件下：一般项可以写成：6n－5，而正负号又可用(－1)调整．所以，a= (－1)·(6n－5)．
⑵只要把各项按如下形式改写便可发现每一项与其序号的对应规律：
数列中的数 序号
1－= 1
－= 2
－= 3
－= 4
故数列的一个通项公式为：a=．
【训练5】数列－1，，－，，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n
【答案】A；
【解析】分子为1、4、9、16、…、n2.分母为1、3、5、7、…、(2n－1)，又奇数项为负，偶数项为正，故选A.
【训练6】数列，，，，…的一个通项公式是________．
【答案】；
【解析】数列可写为：，，，，…，
分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，
故通项公式为an＝.
题型二：数列通项公式的应用
【例题2】已知数列的通项公式，求前30项中最大项和最小值。
【解析】∵，
∴当时，，随着的增大，越来越小且小于，
即
当时，，随着的增大，越来越小且大于，
即，
综上所述，有，
所以，前30项中最大项为，最小项为。
【训练1】在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2011；
(3)2011是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
【解析】(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－1.∴an＝4n－1.
(2)a2011＝4×2011－1＝8043.
(3)令2011＝4n－1，解得n＝503∈N*，
∴2011是数列{an}的第503项．
【训练2】已知有限数列，，，，…，(m≥7)．
(1)指出这个数列的一个通项公式；
(2)判断0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？
【解析】(1)由观察知数列的通项公式不是.
又∵数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，
∴通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1.
∴数列的一个通项公式为an＝(n＝1,2，…，m－1)．
(2)由(1)知数列的通项公式an＝，不妨设0.98是这个数列的第n项，即＝0.98，解得n＝6∈N*，
∴0.98是数列中的第6项．
【训练3】数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)问－60是否是{an}中的一项？
(2)当n分别取何值时，an＝0，an＞0，an＜0
【解析】(1)假设－60是{an}中的一项，则－60＝30＋n－n2.
解得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴－60是{an}的第10项．
(2)分别令30＋n－n2＝0；＞0；＜0，
解得n＝6；0＜n＜6；n＞6，
即n＝6时，an＝0；
0＜n＜6时，an＞0；
n＞6时，an＜0.
【训练4】已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【解析】(1)由n2－5n＋4<0，解得1
∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列有两项是负数．
(2)方法一：∵an＝n2－5n＋4＝2－，
可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为
22－5×2＋4＝－2.
方法二：设第n项最小，
由
得
解这个不等式组得2≤n≤3，
∴n＝2,3，
∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
【训练5】数列{}的前n项和为，若，则 QUOTE 等于（ ）
A 1 B C D
【答案】B；
【解析】=，
所以.
题型三：由数列的递推公式求通项公式
【例题3】根据下列条件，求数列的通项公式．
（1）数列中，；
（2）数列中，；
（3）数列中，．
【解析】（1）因为，所以．
又，所以成等差数列，公差为．
所以．
（2）因为，所以，，，，
．
将上面个式子叠加，得，
所以．
（3）由，变形为，，．
将上面的式子叠乘，得．．
【训练1】数列满足，求．
【解析】由题意，
又，两式相减，得．
．又时，也适合上式，．
【训练2】写出数列6，11，18，29，48，…的一个通项公式。
a2-a1=5、a3-a2=7、a4-a3=11、a5-a4=19，…
【解析】记所得的新数列为{bn},观察其规律没啥结果。
我们再作数列{bn}的相邻项的差：
b2-b1=2、b3-b2=4、b4-b3=8, …
马上看出规律:bn-bn-1=2,把上述各式相加得:bn＝2＋3
因此， an-an-1= bn-1=2＋3
由累加法得：an＝2+3n+1
【训练3】⑴已知数列的首项，写出它的前五项，
并归纳出数列的通项公式。
⑵数列中，，对所有，都有，则 。
【解析】⑴由
有由，可归纳得。
⑵方法1、问题中的已知条件，此式对所有的自然数都成
立，可令，得，故；
令，得，故；
令，得，故；
令，得，故，从而。
方法2、由，可得
两式相除得通项公式，
∵， ∴
【训练4】在数列中，， ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A；
【解析】选A.，，…，
.
【训练5】已知数列{}满足.
(1)求;
(2)求数列{}的通项公式.
【解析】(1)∵数列{}满足
∴.
(2)由得 由递推关系,
得…
叠加得:
…+3n-2
∴.
当n=1时 ∴数列{}的通项公式.
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新人教A版 必修5 题型冲关训练
2.3.1 等差数列的前n项和（1）
题型一：已知求
【例题1】已知数列的前项和为，且满足，
求证：是等差数列；
求通项的表达式.
【解析】（1)证: ,
即,,得是以为首项,以2为公差的等差数列；
（2)由1)得
当时,
故通项的表达式为
【训练1】若数列的前项和为，则通项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A；
【解析】当时，，当时，也满足上式，故得
【训练2】数列中的前项和，则当时，的大小关系为__________.
【答案】；
【解析】为递减等差数列，，
则
【训练3】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5【答案】8；
【解析】由Sn＝n2－9n，得此数列为等差数列，计算得an＝2n－10，由5<2k－10<8，得7.5【训练4】已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________；
【答案】2·3n－1.；
【解析】（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2·3n－1，故数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1.
【训练5】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________；
【答案】＝
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝
题型二：等差数列前n项和公式的应用
【例题2】（1）等差数列中，，求；
（2）已知等差数列的前4项和为25，后4项和为63，前项和为286，求项数．
【解析】（1）∵，∴；
（2）∵，∴，∴，∴，∴=，∴．
【训练1】若一个等差数列的前4项和为40，最后4项和为80，且所有项的和为720，则这个数列有 项.
【答案】48；
【解析】依题意得，，，即
【训练2】在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
【解析】(1)方法一：，∴a60＝a1＋59d＝130．
方法二：，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d
＝90＋15×＝130．
(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，
∴，∴Sn＝2n2－17n，∴S28＝2×282－17×28＝1092
(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又S6＝∴15＝即a1＝－5
而d＝，∴a8＝a6＋2 d＝16，S8＝
【训练3】若是等差数列，首项则使前项和成立的最大自然数为（ ）
A．4009 B．4010 C．4011 D．4012
【答案】B；
【解析】
则，
，故
【训练4】在等差数列共有18项,已知前6项和为36,后6项和为180,求.
【解析】在等差数列中,有
相加得.所以,
所以,,所以
【训练5】已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则数列{an}的前10项和S10＝( )
A．138 B．135
C．95 D．23
【答案】 C
【解析】方法一：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，得2a1＋4d＝4,2a1＋6d＝10，从而可得a1＝－4，d＝3，所以S10＝10a1＋45d＝95.故选C.
方法二：(a3＋a5)－(a2＋a4)＝(a3－a2)＋(a5－a4)＝2d＝6，从而d＝3；又a2＋a4＝2a3＝4，从而a3＝2，所以S10＝＝＝＝95.故选C.
方法三：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，得a4＋a6＝16，a5＋a7＝22，于是a4＋a7＝＝19，所以S10＝＝＝95.
方法四：注意到a2＋a4＝2a3＝4，a3＋a5＝2a4＝10，∴a3＝2，
a4＝5.又Sn＝an2＋bn，所以a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝2，a4＝S4－S3＝16a＋4b－(9a＋3b)＝5，从而a＝，b＝－，
即Sn＝n2－n，所以S10＝95.故选C.
题型三：等差数列前n项和公式的应用
【例题3】已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．
【解析】设{an}首项为a1公差为d，由
∴ Sn＝ ，∴ ∴Tn＝
【训练1】等差数列的前项和为，，且，,求数列的通项公式
【解析】由，即得 ①，又由得 ②，由①②得，故，，得
【训练2】已知数列中，，令，数列的前项和为，数列的前项和为，求
【解析】由得，数列是以为首项，以4为公差的等差数列，得，得，故当时，；当时，
当时，；当时，，即
【训练3】数列____
【答案】765；
【解析】
【训练4】已知在等差数列{}中，=14，前10项和．
（1）求；
（2）将{}中的第2项，第5项，…，第项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前项和．
【解析】(1)由 ∴
由
(2) 设新数列为{}，由已知，
【训练5】若数列成等差数列,且有,求.
【解析】方法1:设,
两式相减得,
因为,所以,
==.
方法2:设,则 ,
①-②得,
因为,所以,
【训练6】已知等差数列的前项和为，，求．
【解析】方法一：若等差数列的公差为0，由易得，
则；若公差不为0时，由题意得，又，
可得．
方法二：若等差数列的公差为0，由易得，则；
当公差不为0时，为关于的二次函数，由得对应函数的对称轴为，由关于对称，且对应二次函数过原点，则有故．综上．
题型四：等差数列前n项和的最值问题
【例题4】等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，如果S7=S12，求数列{an}前n项和Sn的最大值。
【解析】方法一：由S7=S12，得d=-a1，∴Sn=na1+n（n-1）d
=-a1（n-）2+a1。
故当n=9，n=10时，（9-）2=（10-）2，所以S9=S10并且最大。
方法二：由S7=S12，得d=-a1，由
得9≤n≤10，
故当n=9，n=10时，（9-）2=（10-）2，所以S9=S10并且最大。
方法三：由S7=S12，得d=-a1＜0，知{an}是递减的等差数列。
∵S7=S12，∴a8+a9+…+a12=0
∴5a10=0，由此必有a1＞a2＞…＞a10=0＞a11＞…，故S9=S10并且最大。
【训练1】设等差数列的前项和为，若。则当取得最大值时，的值为( )
A.5 （B）6 （C）7 （D）8
【答案】B；
【解析】,有即，，故前6项和为最大。
【训练2】已知等差数列的前项和为，，，当为何值时，取得最大值．
【解析】由题意得，为关于的二次函数，且开口向下，由得对应函数的对称轴为，故当或的时候取得最大值．
【训练3】等差数列｛｝的前项和为，已知
求公差的取值范围．（2）指出中哪个最大，并说明理由．
【解析】（１）设＝Ａ＋Ｂ，∵，
∴Ｂ＝12－5Ａ，＝Ａ＋，
由题意得
，∴，即
∴
（２）∵＝Ａ＋且，
又对称，对称轴
∴当＝６时，最大．
【训练4】已知等差数列，且满足，则前多少项和最大？最大值为多少？
【解析】方法1：∵，∴，
∴
=，令，则，且，
∴当或时，最大．的最大值为．
方法2：∵，∴，，∴，
，点在二次函数的图象上，有最大值，其对称轴，当或时，最大．的最大值为．
【训练5】设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
【解析】(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)方法一：由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二：因为an＝11－2n，故当n>6时an<0，所以当n＝5时，Sn取得最大值．
【训练6】已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）
（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18
【答案】B；
【解析】选B.由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得.
①
②
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2.2.2 等差数列（2）
题型一：等差中项的应用
【例题1】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
【解析】方法一：设这五个数组成的等差数列为{an}，由已知：a1＝－1，
a5＝7∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2，所求数列为：－1，1，3，5，7．
方法二：由于-1，a，b，c，7成等差数列，所以b为-1和7的等差中项，所以b=（-1+7）/2=3，又a为-1和b的的等差中项，所以a=1，同理c=5.
【训练1】已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．
【解析】证明：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
【训练2】已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A．2 B．3
C．6 D．9
【答案】B；
【解析】选B.由题意得，∴m＋n＝6，
∴m、n的等差中项为3.
【训练3】等差数列{an}中，前三项依次为，，，则a101＝( )
A．50 B．13
C．24 D．8
【答案】D；
【解析】选D.∵＝＋，∴x＝2.
∴首项a1＝＝，d＝(－)＝.∴a101＝8，故选D.
【训练4】已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22
C．24 D．－8
【答案】C；
【解析】因为a8是a1与a15的等差中项，所以a1＋a15＝2a8，于是已知条件a1＋3a8＋a15＝120可变为5a8＝120.所以a8＝24.所以2a9－a10＝a8＝24.故选C.
【训练5】数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝，则an＝____.
【答案】 ；
【解析】由＋＝，∴数列为等差数列，
又＝1，公差d＝－＝－1＝，
∴通项公式＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)×＝，∴an＝.
【训练6】在等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21＝________.
【答案】2n－m；
【解析】∵a7、a14、a21成等差数列，∴a7＋a21＝2a14，a21＝2a14－a7＝2n－m.
题型二：等差数列性质的应用
【例题2】在等差数列{an}中，a10＝10，a20＝20，则a30＝________.
【答案】30；
【解析】方法一：d＝＝＝1，a30＝a20＋10d＝20＋10＝30.
方法二：由题意可知，a10、a20、a30成等差数列，所以a30＝2a20－a10＝2×20－10＝30.
【训练1】若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
【答案】；
【解析】由于a1－a2＝，b1－b2＝，则＝.
【训练2】等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是( )
A. B．－
C．－ D．－1
【答案】B；
【解析】设数列{an}的公差为d，则在每相邻两项之间插入一个数后得到的等差数列公差为.又由d＝＝＝－，得＝－.
【训练3】已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )
A．20 B．48
C．60 D．72
【答案】A；
【解析】∵a6＋a8＝2a7，又a3＋a11＝2a7＝40.∴a7＝20.
∴a6－a7＋a8＝2a7－a7＝a7＝20，故选A.
【训练4】已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．4 B．6
C．8 D．12
【答案】C；
【解析】因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
【训练5】在等差数列{an}中，公差为，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=_________.
【答案】85；
【解析】由等差数列的定义知a2+a4+a6+…+a100=a1+a3+a5+…+a99+50d=60+25=85.
【训练6】设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项为（ ）
A.0 B.37 C.100 D.－37
【答案】C；
【解析】∵{an}、{bn}为等差数列，∴{an+bn}也为等差数列.设cn=an+bn,则c1=a1+b1=100,而c2=a2+b2=100,故d=c2－c1=0.∴c37=100.
【训练7】已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
【答案】24
【解析】方法一：因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设其公差为d，a15为首项，
则a60为其第四项，
所以a60＝a15＋3d，得d＝4.
所以a75＝a60＋d得a75＝24.
方法二：因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
所以，解得.
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
题型三：等差数列的特殊设法
【例题3】三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
【解析】设三个数分别为x－d，x，x＋d．
解得x＝5，d＝±2，∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
【训练1】已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数．
【解析】由题意，可设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则解得或
所以，当d＝4时，这三个数为1,5,9；
当d＝－4时，这三个数为9,5,1.
【训练2】已知4 个数成递增的等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这4个数。
【解析】由题意，可设这四个数分别为a－3d，a－d， a＋d，a+3d，
则，解得，
所以这四个数分别是-2,0,2,4.
【训练3】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
【解析】方法一：设第一个数是a1，公差为d，由已知条件列方程组，
得
所以
解得或
所以这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
方法二：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由已知条件列方程组，
得
所以所以
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
【训练4】有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
【解析】设此四数为,
解得所求四数为47，57，67，77
题型四：等差数列的综合应用
【例题4】已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
【解析】(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4，
∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
【训练1】若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：
【解析】证明：设该数列的公差为d，则
a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d，∴a1－an+1=－nd
∴ 原等式成立．
【训练2】已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？
【解析】方法一：由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：
解得
∴a14＝－46＋13×2＝－20，∴an＝－46＋(n－1)·2＝2n－48.
令an≥0，即2n－48≥0，所以n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数．
方法二：在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，
∴a51＝a11＋40d，∴d＝(54＋26)＝2.
∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20，∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，
∴an＝2n－48.显然当n≥25时，an>0，即从第25项开始，各项为正数．
【训练3】首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A．d＞ B．d＜3 C.≤d＜3 D.＜d≤3
【答案】D；
【解析】选D.设等差数列为{an}，首项a1＝－24，则
a9≤0，即a1＋8d≤0，即－24＋8d≤0，即d≤3，
a10＞0，即a1＋9d＞0，即－24＋9d＞0，即d＞.∴＜d≤3.
【训练4】己知为等差数列，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
【解析】设新数列为
即3=2+4d，∴，∴
，∴
即原数列的第n项为新数列的第4n－3项．
（1）当n=12时，4n－3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；
（2）由4n－3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。
【训练5】已知数列满足 ( http: / / www. )
（I）求数列的通项公式； ( http: / / www. )
（II）若数列满足，证明：是等差数列；
【解析】
是以为首项，2为公比的等比数列。
即
（II）证法一：
①
②
②－①，得
即 ③
④
④－③，得即
是等差数列。
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新人教A版 必修5 题型冲关训练
2.5 等比数列的前n项和
题型一：等比数列前n项和公式的应用
【例题1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q．
【解析】由Sn=80，S2n=6560，故q≠1
∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an．
∴an=aqn-1=54 ④
将③代入①化简得a=q－1 ⑤
由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3
【训练1】求证：对于等比数列，有
【解析】证明：∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1
S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋…＋a1q2n-1)=Sn＋qn(a1＋a1q＋…＋a1qn-1)
=Sn＋qnSn=Sn(1＋qn)
类似地，可得S3n=Sn(1＋qn＋q2n)
【训练2】已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1，求{}的前n项和Tn.
分析：根据通项an与Sn的关系，可以求得数列{an}的通项公式，可以发现{an}为等比数列，根据等比数列的性质知数列{}也是等比数列，因此再利用等比数列的前n项和公式.
【解析】当n≥2时，由Sn＝2n1，知a n＝S n－Sn1＝2n1 (*)，
又a1＝S1＝1，满足(*)，所以{an}的通项公式为a n＝2n1.
∴数列{}是以首项为1，公比q＝的等比数列，则
{}的前n项和Tn＝＝2－.
【训练3】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝21，S6＝189，求Sn.
【解析】设Sn＝A－Aqn，则由S3＝21，S6＝189，得，
由②÷①得q3＋1＝9，所以q＝2，代入①得A＝－3.
所以Sn＝3·2n－1.
【训练4】已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.
【解析】由题意：得，
S40=.
【训练5】求和：
【解析】⑴
⑵
①
②
由①－②得：
【训练6】设等比数列的公比与前项和分别为和，且≠1，
【解析】
题型二：等比数列前n项和性质的应用
【例题2】数列{an}是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n．
【解析】方法1 利用等比数列的前n项和公式
若q=1，则Sn=na1，即na1=48，2na1=96≠60，所以q≠1
=Sn(1＋qn＋q2n)
方法2 利用等比数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列
∴(60－48)2=48·(S3n－60)
∴S3n=63．
方法2 取特殊值法
取n=1，则S1=a1=48，S2n=S2=a1＋a2=60
∴a2=12
∵{an}为等比数列
S3n=S3=a1＋a2＋a3=63
【训练1】已知等比数列{an}前n项和为Sn，前2n项和为60，前3n项和63.求Sn的值。
【解析】根据等比数列的性质，可知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
即Sn，60－Sn，3成等比数列，所以(60－Sn)2＝3·Sn，
整理，得Sn2－123Sn＋3600＝0，解得Sn＝48或75.
【训练2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
【解析】设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1．
即公比为2，项数为8．
【训练3】设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =（ ）
（A） 2 （B） （C） （D）3
【答案】B；
【解析】选B.设公比为q ,则＝1＋q3＝3 q3＝2
于是.
【训练4】设等比数列{}的前n项和为。若，则=
【答案】3；
【解析】本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。
【训练5】已知是等比数列，，则=( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C；
【解析】由，解得数列仍是等比数列:其首项是公比为所以, ，选C.
题型三：等比数列综合性问题
【例题4】设均为非零实数，，
求证：成等比数列且公比为。
【解析】证法一：关于的二次方程有实根，
∴，∴
则必有：，即，∴非零实数成等比数列
设公比为，则，代入
∵，即，即。
证法二：∵
∴
∴，∴，且
∵非零，∴。
【训练1】在等差数列中，=1，前项和满足
①求数列的通项公式
②记，求数列的前项和。
【解析】①设数列的公差为，由
所以=
②由，有
所以 ①
②
①－②得
【训练2】已知数列中，，，且．
（Ⅰ）设，证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
【解析】（Ⅰ）由题设，得，即．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），
，
，
……
．
将以上各式相加，得．所以当时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得
， ①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
．
由①可得．
所以对任意的，是与的等差中项．
【训练3】设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
【解析】（I）当时，由已知得．
因为，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
【训练4】已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和：．
【解析】方法1：（I）由，有， ．
（II），，，
．
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）得，，于是
．
当时，．
当时，
．
故
方法2：（I）同方法1（I）．
（II），又，
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）的类似方法得，
，
，．
．
下同方法1．
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2.2.1 等差数列（1）
题型一：等差数列的判定
【例题1】已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．
⑴ 求证：数列{bn}是等差数列；⑵ 求数列{an}的通项公式。
【解析】∵ ⑴ an＝2a－ (n≥2)，∴ bn＝ (n≥2)
∴ bn－bn－1＝ (n≥2)，∴ 数列{bn}是公差为的等差数列．
⑵ ∵ b1＝＝，故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝
即：＝ 得：an＝a(1＋)
【训练1】已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．
【解析】证明：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
【训练2】如果成等差数列，且，求证：不可能是等差数列。
【解析】证明：假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c
∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．
又∵ a、b、c不为0，∴ a、b、c为等比数列，
又∴ a、b、c为等差数列，∴ a、b、c为常数列，与a≠b矛盾，
∴ 假设是错误的．∴ a、b、c不可能成等差数列．
【训练3】已知等差数列{an}，a1＝a，公差d＝1，若bn＝an2－an＋12(n∈N*)，试判断数列{bn}是否为等差数列？并证明你的结论．
【解析】数列{bn}是等差数列，证明如下：
∵等差数列{an}中，a1＝a，d＝1，
∴an＝a＋(n－1)＝n－1＋a，
∴bn＝an2－an＋12
＝(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2
＝1－2n－2a，
∴bn＋1＝1－2(n＋1)－2a.
∴bn＋1－bn＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)＝－2.
所以数列{bn}是以b1＝a12－a22＝－2a－1为首项，－2为公差的等差数列．
【训练4】已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( )
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
【答案】A；
【解析】选A.an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.
【训练5】在数列{an}中，已知a1＝p>0，且an＋1·an＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立，是否存在常数p使数列{an}为等差数列，如果存在，求出p的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】假设存在常数p使数列{an}为等差数列．记数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd，
依题得：[a1＋(n－1)d](a1＋nd)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．
即d2n2＋(2a1d－d2)n＋(a12－a1d)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．
所以即或
∵a1＝p>0，故p的值为2.
所以存在常数p＝2使数列{an}为等差数列．
【训练6】在等差数列{}中，若，则为（ ）
A．m-n B．0 C． D．
【解析】方法一：设等差数列的首项为，公差为d，根据等差数列的通项公式得： 解之得
∴=m+n-1-(m+n-1)=0。故选B。
方法二：设等差数列的首项为和公差d。∵ ∴。∴。故选B。
方法三: ∵ ，若令A(m,n)，B(n,m)，则点A,B关于直线y=x对称。而直线AB的方程为y-m=-(x-n)，即y=-x+(m+n),∴当x=m+n时，y=0。∴。故选B。
题型二：等差数列通项公式的应用
【例题2】已知单调递增的等差数列的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
【解析】方法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则，
即，解得或.
因为数列{an}为单调递增数列，因此，从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
方法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，
于是可得，
即，解得或.
由于数列{an}为单调递增数列，因此，从而an＝4n－1.
【训练1】已知数列的首项为=3，通项与前n项和之间满足2=·（n≥2）。
(1)求证：是等差数列，并求公差； (2)求数列的通项公式。
【解析】(1)2（）=，
∴是等差数列，且公差为－
(2)当n=1时，a1=3当n≥2时，
an=S－Sn-1=
【训练2】已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，－a,3，则该数列中第一次出现负值的项为( )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
【答案】B；
【解析】因为a－1，－a,3是等差数列{an}的前三项，所以(a－1)＋3＝2，∴a＝5，a1＝4，a2＝，∴ an＝－n＋.
令an<0，则－n＋<0，∴n>9，故选B.
【训练3】已知等差数列｛an｝中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求其通项an.
【解析】∵a1+a7=2a4,且a1+a4+a7=15,∴a4=5.又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.
设其公差为d,又a4=5,∴a2=a4－2d,a6=a4+2d.代入a2a6=9可得
(5－2d)(5+2d)=925－4d2=9d=±2.
当d=2时，an=a4+(n－4)d=5+(n－4)×2=2n－3(n∈N*);
当d=－2时，an=a4+(n－4)d=5+(n－4)×(－2)=13－2n(n∈N*).
【训练4】等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于( )
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】C；
【解析】∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，又∵a1＝，∴d＝
∴an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33∴n＝50.故选C.
【训练5】已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2－10x＋16＝0的两个实根．
(1)求此数列{an}的通项公式；
(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
【解析】(1)由已知条件得a3＝2，a6＝8.
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴，解得.
∴an＝－2＋(n－1)×2＝2n－4(n∈N*)．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－4.
(2)令268＝2n－4(n∈N*)，解得n＝136.
∴268是此数列的第136项．
题型三：实际问题中的等差数列
【例题3】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升
【答案】；
【解析】设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.
【训练1】为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100 ℃开始第一次量细棒的长度，以后每升高50 ℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{ln}表示成图象，如图所示．根据图象解答下列问题：
(1)第5次量得金属的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？
(2)若ln是关于测量序号n的一次函数，求{ln}的通项公式．
【解析】(1)由题图得，l5＝2.005 m，
此时金属棒的温度是t＝100＋(5－1)×50＝300(℃)
∴第5次量得金属棒的长度是2.005 m，
此时金属棒的温度是300 ℃；
(2)设ln＝dn＋b，由l1＝2.001 m，l2＝2.002 m，
得解得d＝0.001，b＝2.
所以通项公式ln＝0.001n＋2
【训练2】某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月，求分期付款的第10个月应付多少钱？最后一次应付多少钱？
【解析】购买时先付150万元，还欠款1000万元．依题意知20次可付清．设每次交付的欠款依次为a1，a2，a3，…，a20，构成数列{an}，
则a1＝50＋1000×0.01＝60；
a2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5；
a3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝59；
…
an＝50＋[1000－50(n－1)]×0.01
＝60－(n－1)(1≤n≤20)．
所以{an}是以60为首项，－ 为公差的等差数列．
则a10＝60－9×＝55.5，
a20＝60－19×＝50.5，
故第10个月应付55.5万元，最后一次应付50.5万元．
【训练3】美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
【解析】⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n＝500(n＋1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n＝300(2n＋1)n
由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n
解得：n>2∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．
⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000，S2＝300×10×21＝63000
∴ S2－S1＝8000
∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．
⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．
则＝an(2n＋1) n∈N*，∴ a＞＝250＋≥250＋＝
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新人教A版 必修5 题型冲关训练
2.4.2 等比数列（2）
题型一：等比中项的应用
【例题1】在等比数列中，，，则=____________
【答案】；
【解析】方法一：
方法二：∵是与的等比中项，∴，∴。
【训练1】等比数列的前三项和为168，，求，的等比中项。
【解析】设等比数列的公比为，首项为，由已知得
，则。
∵，∴，
∴，。
设是，的等比中项，则，
∴，的等比中项为。
【训练2】设的等比中项，则a+3b的最大值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】B；
【解析】选B.的等比中项，则
令则：
【训练3】2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
【答案】C；
【解析】等比中项G＝±＝±1.
【训练4】已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
【答案】2.5；
【解析】方法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5，
b22＝1×4＝4，且b2与1,4同号，∴b2＝2，∴＝＝2.5.
方法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
∵1＋3d＝4，∴d＝1，∴a1＝2，a2＝3.
∵q4＝4.∴q2＝2.∴b2＝q2＝2.∴＝＝2.5.
【训练5】数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求
【解析】(I)由可得，两式相减得
，又 ∴
故是首项为，公比为得等比数列，∴
（Ⅱ）设的公差为，由得，可得，可得
故可设，又
由题意可得，解得
∵等差数列的各项为正，∴∴∴
题型二：等比数列性质的应用
【例题2】在等比数列，已知，，则=____________
【答案】20；
【解析】∵，∴。
【训练1】在等比数列，，，公比q为正整数，则（ ）
A 256 B -256 C 512 D -512
【答案】C；
【解析】，是方程的两根，又公比q为正整数，，得公比q=-2，，选C
【训练2】已知等比数列满足，，则当时， （ ）
A. B. C. D.
【答案】C；
【解析】由得，，则， .
【训练3】已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
【答案】C；
【解析】由题意知2×a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q
∴q2－2q－1＝0，∴q＝1＋或q＝1－(舍)
＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2，故选C.
【训练4】在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝243，则的值为________．
【答案】3；
【解析】由等比数列的性质知a3a11＝a5a9＝a72得a75＝243，
∴a7＝3，而a7a11＝a92，∴＝a7＝3.
【训练5】已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3a9.
【解析】方法一：∵a2a10＝a，∴a2a6a10＝a＝1.
∴a6＝1.∴a3a9＝a＝1.
方法二：设公比为q，
则a2a6a10＝a1q·a1q5·a1q9＝aq15＝1，
∴a1q5＝1.
∴a3a9＝a1q2·a1q8＝(a1q5)2＝1
题型三：等比数列的特殊设法
【例题3】已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数．
【解析】设这三个数为、q、aq，则
由②得a＝8.把a＝8代入①得：＋2q＝5，解得q＝2或.
∴这三个数为4,8,16或16,8,4.
【训练1】三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
【解析】设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有
【训练2】有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数．
【解析】由题意设此四数为，b，bq，a，
则有解得或，
所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
【训练3】四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数
列，其和为36，求这四个数。
【解析】设这四个数为
则 由①，得a3=216,a=6 ③
③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18
【训练4】一个数列有七项，各奇数项顺次成等差数列，偶数项顺次成等比数列，奇数项的和减去第二项与第六项的积所得之差是42，首项、末项及第四项之和是25，求第四项的值．
【解析】设这个数列的各项依次为x，y，x＋d，y·q，x＋2d，，x＋3d，
则
①－2·②得
即
∴y·q＝2或y·q＝－4．
故第4项是2或-4．
题型四：等比数列的综合应用
【例题4】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋5n，数列{bn}中b1＝8,64bn＋1－bn＝0，问是否存在常数c，使得对任意的正整数n(n∈N*)，an＋logcbn恒为常数m？若存在，求出常数c和m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】∵Sn＝3n2＋5n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋2，
而a1＝S1＝8适合上式．∴an＝6n＋2.由64bn＋1－bn＝0得＝，
∴{bn}是首项为8，公比为8－2的等比数列．∴bn＝8·(8－2)n－1＝83－2n.
假设存在常数c和m，使an＋logcbn＝m恒成立，
则6n＋2＋logc83－2n＝m.即(6－2logc8)n＋(2＋3logc8)＝m对任意n∈N*恒成立．
∴，∴.
故存在常数c＝2，使对任意n∈N*，an＋logcbn恒为常数11.
【训练1】等比数列的各项均为正数，且
(1)求数列的通项公式.
(2)设 求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。
由条件可知a>0,故。
由得，所以。
故数列{an}的通项式为an=。
（Ⅱ ）
故
所以数列的前n项和为
【训练2】一个等比数列的前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，则－13是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
【解析】∵a,2a＋2,3a＋3是等比数列的前三项，∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2.
解得a＝－1或a＝－4.当a＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0，
与等比数列定义矛盾，故a＝－1舍去．
当a＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，
则公比为q＝，∴an＝－4n－1，令－4n－1＝－13，即n－1＝＝3，
∴n－1＝3，即n＝4，∴－13是这个数列中的第4项．
【训练3】已知两个等比数列，，满足，，，.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列唯一，求的值.
【解析】（1）当a=1时，，又为等比数列，不妨设公比为，
由等比数列性质知： ，同时又有
所以：
（2）要唯一，当公比时，由且，
，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合
综上：。
【训练4】若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立？若存在求出a、b的值，若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题意得，解得d＝3，q＝4.
(2)假设存在常数a，b，由an＝3n－2，bn＝4n－1，
代入an＝logabn＋b得3n－2＝loga4n－1＋b，
即(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0对n∈N*都成立，
∴，
∴，所以存在常数a＝，b＝1使等式成立．
【训练5】已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
【解析】（I）由解得
所以
（II）由（I）可知因为函数的最大值为3，所以A=3。
因为当时取得最大值，所以
又所以函数的解析式为
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2.3.2 等差数列的前n项和（2）
题型一：等差数列前n项和的性质应用
【例题1（1）】两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B；
【解析】。
【例题1（2）】在等差数列中，，则________.
【答案】2；
【解析】
【例题1（3）】等差数列前项和是30,前项和是100,则它的前项和是
【答案】210；
【解析】等差数列的任意连续项和构成的数列仍为等
差数列,则有,解得
【训练1】设是等差数列的前项和，若（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．
【答案】A
【解析】
【训练2】设、分别是两个等差数列、的前项之和，如果对于所有正整数，都有，则的值为（ ）
A．3：2 B．2：1 C．28：23 D．以上都不对
【答案】C；
【解析】
【训练3】已知两个等差数列与的前项和分别是和，且：=：，求的值．
【解析】=．
【训练4】 等差数列中，若,则______.
【答案】27；
【解析】由得，即；由得即，则
【训练5】等差数列的前项和为，，，则=
（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】B；
【解析】，，得，由成等差数列，即，得
【训练6】等差数列的前项和为，已知，则为（ ）
A． 18 B． 17 C． 16 D． 15
【答案】A；
【解析】因，，亦成等差数列，故为18
【训练7】已知数列{an}是等差数列．
(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；
(2)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.
【解析】(1)由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.所以a1＋an＝＝22.
因为Sn＝＝286，所以n＝26.
(2)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
【训练8】等差数列的前n项和为，已知，,
则（ ）
（A）38 （B）20 （C）10 （D）9
【答案】C；
( http: / / www. / )【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10.
【训练9】设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（ ）.
A．13 B．35 C．49 D． 63
【答案】C；
【解析】选C.故选C.
或由,
所以
【训练10】设等差数列的前项和为，若,= 。
【答案】24；
【解析】是等差数列,由,得
.
【训练11】已知两个等差数列和的前项和分别为A和，
且，则使得 为整数的正整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D；
【解析】由等差数列的前项和及等差中项，可得
，
故时，为整数。故选D.
题型二：等差数列的综合应用
【例题2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出S1，S2，S3中哪一个值最大，并说明理由。
【解析】（1）得-＜d＜-
（2）∵d＜0，∴a1＞a2＞…＞a12＞a13，而S12＞0，S13＜0，故在1≤n≤12中必存在t∈N+，使at≥0，这时St即为所求。
∵S12=6（a1+a12）=6（a6+a7）＞0，S13==13a7＜0
∴a6＞0且a7＜0，故S6最大。
【训练1】设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。
【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以 HYPERLINK "http://www./" ，即，又由得，解得，,
(2)（方法一）=,设，则=, 所以为8的约数
( http: / / www. / )
（方法二）因为为数列中的项，
故为整数，又由（1）知：为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有。
【训练2】数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足=1(n≥2).
(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；
【解析】(Ⅰ)由已知，
所以当，
因此
【训练3】设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
【解析】（1）由已知得 解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知，即，解得．
由题意得．．故数列的通项为．
（2）由于 由（1）得
又 是等差数列．
故．
【训练4】若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和
【解析】（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为．
2），
，
当时，取得最大值． 的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③，当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．
【训练5】假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：
（Ⅰ）每年年末加1000元； （Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择。
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？
（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？
【解析】设方案一第年年末加薪，因为每年末加薪1000元，则；
设方案二第个半年加薪，因为每半年加薪300元，则；
(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪元。
方案2共加薪20×300＋=63000元；
(2)设在该公司干年，两种方案共加薪分别为：
令即：，解得：≥2，当=2时等号成立。
∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。
【训练6】设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设
【解析】（Ⅰ）由得，
前项为，
（Ⅱ）
【训练7】已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。
（1）求；
（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式。
【解析】⑴ ；
⑵ ① 任意，设，则，
即
② 假设（矛盾），∴
∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。
⑶ ，
，，
∵
∴ 当时，依次有，……
∴ 。
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2.4.1 等比数列（1）
题型一：等比数列的判定
【例题1】已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列。
【解析】证明：设数列的首项是，公比为q1;的首项为b1，公比为q2，
那么数列 的第n项与第n+1项分别为：
（与n无关的常数）
所以是一个以q1q2为公比的等比数列
【训练1】数列的前项和为，且。
（1）求，；
（2）证明：数列是等比数列，并求。
【解析】（1）由得，解得，
又，即，解得。
（2）证明：当时，，
则，∴是首项为，公比为的等比数列，故。
【训练2】已知关于x的一元二次方程x2-x+1=0的两根是α,β
且6α-2αβ+6β=3.(1)用 表示;(2)求证:数列是等比数列.
【解析】（1）；
(2) ∵； ∴－＝－
∴－＝（－），∴（－）∶（－）＝
∴成公比为的等比数列；(3)
【训练3】已知ａ,ｂ,ｃ,d成等比数列，a+b，b+c，c+d均不为零；求证：a+b，b+c，c+d成等比数列．
【解析】证明：由已知ａ,ｂ,ｃ,d成等比数列，得＝ac，＝bd，＝，
即bc=ad．＝＋＋２bc＝ac+ bd＋２bc＝（a+b）（c+d）且a+b，b+c，c+d均不为零； a+b，b+c，c+d成等比数列。
【训练4】已知a,b,c,d,e均为正数,其中a,b,c成等比数列,且a=b+c,b=c+d,c=d+e,求证：a,b,c,d,e成等比数列.
【解析】∵a,b,c成等比数列,∴可设==q,则b=aq,c=bq=aq2.
由a=b+c,得a=aq+aq2,即1-q=q2.
由b=c+d,得d=b-c=aq-aq2=aq(1-q)=aq3.
由c=d+e,得e=c-d=aq2-aq3=aq2(1-q)=aq4.
综上所述,有====q.∴a,b,c,d,e成等比数列.
【训练5】设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式
【解析】由题意知，且，
两式相减得 ，即 ①
（Ⅰ）当时，由①知
于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由①得
因此
得.
【训练6】设数列的前项和为，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明： 是等比数列；
（Ⅲ）求的通项公式
【解析】（Ⅰ）因为，所以 由知
得 ①
所以
（Ⅱ）由题设和①式知
所以是首项为2，公比为2的等比数列。
（Ⅲ）.
题型二：等比数列通项公式的应用
【例题2】已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，求数列的通项公式。
【解析】设数列的首项为，公差为，则，则，由于成等比数列，所以， 化简得
所以解得或
所以数列的通项公式为或。
【训练1】等比数列中，已知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
【解析】（I）设的公比为,由已知得，解得.
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而，
所以数列的前项和
【训练2】设是各项均为正数的等比数列，，求。
【解析】设数列的首项为，公比为
，
，，。
，
即
即，解得
当时，，所以。
当时，，，所以
【训练3】已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （ ）
A. B. C. D.2
【答案】B；
【解析】选B.设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故.
【训练4】已知是等比数列，，则=( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C；
【解析】选C.由，解得数列仍是等比数列:其首项是公比为所以, ，选C.
【训练5】已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等
比数列， ，求公比及。
【解析】a=a1，a=a10=a1+9d，a=a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
∴bn=3·4n-1-2
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