4.1 指数（两课时）-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)(共28张PPT)

(共28张PPT)
4.1 指数
4.1.1次方根与分数指数幂
情境导入
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.
初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形的边长关于面积的函数记作.像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义展开研究.
情境导入
我们知道：
如果，那么叫做的平方根.例如，就是4的平方根.
如果，那么叫做的立方根.例如，就是8的立方根.
类似地，由于我们把叫做16的四次方根；
由于，2叫做32的五次方根.
探索新知
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
例如，，.
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示表示，负的次方根用符号表示表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.
例如，，，
探索新知
负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0，记作
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
根据次方根的意义，可得：
例如，
探索新知
思考1：表示什么意思呢？一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么呢？
可以得到：
当是奇数时，；
当是偶数时，
例析
例1.求下列各式的值：
(1) (2) ; (3); (4).
解：(1)
(2)
(3)
(4)
当是奇数时，；
当是偶数时，
探索新知
根据次方根的定义和数的运算，试着思考：
思考2：
这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式
可以表示为分数指数幂的形式.
探索新知
思考3：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？
把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，等写成下列形式：
我们希望整数指数幂的性质，如对分数指数幂仍然适用.
由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
.
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
探索新知
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
.
例如，，.
与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
规定了分数指数幂的意义后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数.
探索新知
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数均有下面的运算性质.
(1);
(2);
(3)
探索新知
辨析1：判断正误.
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
辨析2:__________ .
答案：.
答案：√，√，，√，√.
例析
例2.求值：
(1)
解：(1)
(2)
例3.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中）
(1)
解：(1)
(2)
例析
例4.计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)；
(2)；
解：(1)
(2)
例析
(3)()
例4.计算下列各式(式中字母均是正数)：
(3)().
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
探索新知
上面我们将中指数的范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是确定的一个数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.
探索新知
探索新知
一般地，无理数指数幂是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适应于实数指数幂，即对于任意实数均有下面的运算性质.
(1);
(2);
(3)
辨析1：化简.
答案：1.
练习
题型一：根式的化简与求值
例1.化简：
(1)
(2)
(3).
答案：(1)
练习
变1.①各式中，一定有意义的是（ ）.
② ① ① ①
变2.设,求的值.
变1答案：
变2答案：原式
练习
题型二：根式与分数指数幂的互化
例2.将下列根式化成分数指数幂形式.
答案：
练习
变2.用分数指数幂表示下列各式：
答案：
练习
题型三：指数幂的化简与求值
例3.计算下列各式（式中字母都是正数）.
.
答案：
练习
变3.化简或计算下列各式：
答案：
练习
例4.化简或计算下列各式：
答案：
题型四：含条件的求值问题
练习
变4.若等于（ ）.
A.0 B. C. D.
答案：
课堂小结&作业
小结：
1.等于？
2.指数幂的运算性质？
作业：
1.P107 练习1.2.3题；
2.P109 练习1题&习题4.1 1--5题.