第2讲 数列的概念与简单表示法
一、知识导图
知识导入
观察下列示例，回答后面问题
(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，.
(2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16.
(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，….
(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：，，，，，….
问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？
三、知识讲解
知识点1 数列的概念
(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
知识点2 数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点3 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
例题解析
例1：已知数列，，，，，…，则5是它的( )
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
【答案】C.
【解析】 数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为an＝＝，
令＝5，得n＝21.
例2：在数列中，，求通项.
【答案】详见解析.
【解析】因为an＝an－1(n≥2)，所以当n≥2时，＝，所以＝，…，＝，＝，
以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，
即＝·×2×1，所以an＝.当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
例3：在数列中，，求.
【答案】an＝2n＋1－3
【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.
例4：已知数列的通项公式为an＝n2－5n＋4，求n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【答案】n＝2或3时，an有最小值且为-2
【解析】∵an＝n2－5n＋4＝2－，
∴可知对称轴为n＝＝2.5.
又n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，
其最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
例5：在数列中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，所以当0所以数列共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，
故从第4项开始数列{an}递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，
根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，
即数列中有最小值，最小值为－36.
五、课堂练习
A级
1.若Sn为数列的前n项和，且Sn＝，则等于( )
A. B. C. D.30
2.设数列的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( )
A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1
3. 已知数列的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 020等于( )
A．504 B．588 C． D．－504
B级
4.已知数列中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
5.数列的通项公式为，则数列各项中最小项是 （ ）
A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项
6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种智力游戏，他用九个圆环相连成串，以解开为胜。据明代杨振《丹铅总录》记载：两环互相贯为一，得其并，解之为二，又合而为一。在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个环所需的最少移动次数为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
C级
7.在各项均为正数的数列中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于( )
A．256 B．510 C．512 D．1 024
8.若数列的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )
A．15 B．12 C．－12 D．－1
9.已知数列的通项公式为an＝，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．
六、课后作业
A级
1.若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
2．已知数列满足 若 ，则 的值为( ).
3. 数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
B级
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式an＝________．
5．已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn≠0，且当n≥2时，有＝1成立，则S2 021＝________．
6.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
C级
7. 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
8.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
9. 已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．第2讲 数列的概念与简单表示法
一、知识导图
知识导入
观察下列示例，回答后面问题
(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，.
(2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16.
(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，….
(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：，，，，，….
问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？
三、知识讲解
知识点1 数列的概念
(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
知识点2 数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点3 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
例题解析
例1：已知数列，，，，，…，则5是它的( )
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
【答案】C.
【解析】 数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为an＝＝，
令＝5，得n＝21.
例2：在数列中，，求通项.
【答案】详见解析.
【解析】因为an＝an－1(n≥2)，所以当n≥2时，＝，所以＝，…，＝，＝，
以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，
即＝·×2×1，所以an＝.当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
例3：在数列中，，求.
【答案】an＝2n＋1－3
【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.
例4：已知数列的通项公式为an＝n2－5n＋4，求n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【答案】n＝2或3时，an有最小值且为-2
【解析】∵an＝n2－5n＋4＝2－，
∴可知对称轴为n＝＝2.5.
又n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，
其最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
例5：在数列中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，所以当0所以数列共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，
故从第4项开始数列{an}递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，
根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，
即数列中有最小值，最小值为－36.
五、课堂练习
A级
1.若Sn为数列的前n项和，且Sn＝，则等于( )
A. B. C. D.30
【答案】
【解析】.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.
2.设数列的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( )
A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1
【答案】C
【解析】.当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.
3. 已知数列的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 020等于( )
A．504 B．588 C． D．－504
【答案】C
【解析】.因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，所以数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，因为2 020÷4＝505，所以S2 020＝505×＝，故选C.
B级
4.已知数列中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1.
于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，
an－1＝an－2，an＝an－1.
将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.
显然，当n＝1时也满足上式．
综上可知，的通项公式an＝.
5.数列的通项公式为，则数列各项中最小项是 （ ）
A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项
【答案】 B
【解析】 根据二次函数的对称轴得，将5和6代入可知，当取第五项时有最小值.
6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种智力游戏，他用九个圆环相连成串，以解开为胜。据明代杨振《丹铅总录》记载：两环互相贯为一，得其并，解之为二，又合而为一。在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个环所需的最少移动次数为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【解析】把带入通项中的.
C级
7.在各项均为正数的数列中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于( )
A．256 B．510 C．512 D．1 024
【答案】C
【解析】.在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.
8.若数列的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )
A．15 B．12 C．－12 D．－1
【答案】A
【解析】由题意知，a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.
9.已知数列的通项公式为an＝，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．
【答案】见解析
【解析】 法一：an＋1－an＝－＝·，
当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
则a1＜a2＜a3＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝＝.
法二：设数列的第n项最大，则
即解得8≤n≤9，又n∈N*，则n＝8或n＝9.故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝.
六、课后作业
A级
1.若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
【答案】5
【解析】解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5(n＝－3舍去)．
2．已知数列满足 若 ，则 的值为( ).
【答案】C
【解析】计算得 a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以 3 为周期的周期数列，又知 2 010 除以 3 能整除，所以 a2 010＝a3＝.
3. 数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
【答案】A
【解析】 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．
B级
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式an＝________．
【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1，a1不适合此等式．所以an＝
5．已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn≠0，且当n≥2时，有＝1成立，则S2 021＝________．
【答案】
【解析】当n≥2时，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S＝－SnSn－1，所以－＝1，又＝2，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝n＋1，故Sn＝，则S2 021＝.
6.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
【答案】.
【解析】 因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．
所以an＝(n∈N*)．
C级
7. 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
【答案】an＝
【解析】 由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又因为a1＝1，所以an＝(n≥2)．
因为当n＝1时也满足上式，
所以an＝(n∈N*)．
8.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】 因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
9. 已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
【答案】an＝×4n－1－
【解析】因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，
所以4an－an＋1＋1＝0.
所以an＋1＋＝4.
因为a1＝3，所以a1＋＝.
故数列是首项为，公比为4的等比数列．
所以an＋＝×4n－1，故数列的通项公式为an＝×4n－1－.
