第3讲 等差数列
知识导图
知识导入
1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128，…，320.
2．2012年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48,53,58,63.
3．鞋的尺码，按照国家规定，有22,22.5,23，23.5，24,24.5，….
问题1：上面三组数能构成数列吗．
提示：能．
问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点．
提示：各等于同一常数．
知识讲解
知识点1 等差数列的概念
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
知识点2 等差数列的性质
1．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；
d＝0 {an}为常数列
知识点3 等差数列的前n项和
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋
例题解析
例1：-401是等差数列-5，-9，-13，……的第 项.
【答案】100
【解析】由等差数列-5，-9，-13，……可知代入可知
例2：在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )
A．5 B．8 C．10 D．14
【答案】C
【解析】由等差数列和等差中项的性质，a1＋a7＝a3＋a5＝10.
例3：(1)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an；
(2)已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，求通项公式an.
【答案】见解析
【解析】(1)设数列{an}的公差为d.
由等差数列的通项公式及已知条件可得
解得∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
(2)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
解得
当d＝2时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1；
当d＝－2时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3.
例4：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】 法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．
法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．
法三：根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．
例5：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列为等差数列，并求{bn}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.
因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1，
所以an＝2n－1.
(2)因为bn＋1－2bn＝8an，
所以bn＋1－2bn＝2n＋2，
即－＝2.
又＝1，
所以是首项为1，公差为2的等差数列．
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以bn＝(2n－1)×2n.
课堂练习
A级
1.等差数列中，，，则此数列前20项和等于（ ）
A．160 B．180 C．200 D．220
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
3. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
B级
4.已知数列的前项和为.
（I）求数列的通项公式；
（II）若，求数列的前项和。
5.已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
A．100 B．120 C．390 D．540
6.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
C级
7.等差数列满足，则使前项和成立的最大整数是（ ）
A.2020 B.2021 C.4040 D.4041
8.已知数列的首项为，为等差数列，且，若，，则 。
9.已知数列{an }的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an }为等差数列？并说明理由．
9.等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
课后作业
A级
1.若等差数列的前项和为，且，则
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4S1 D．S4＝S1
B级
4.等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22 C．24 D．－8
5. 在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于( )
A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017
6.设等差数列的前 项和为，若，.则等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
C级
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则Sn的最大值是( )
A．S1 B．S7 C．S8 D．S15
8.若数列{an}的前n项和为Sn，Sn≠0，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
9. 数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
10.已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数．第3讲 等差数列
知识导图
知识导入
1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128，…，320.
2．2012年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48,53,58,63.
3．鞋的尺码，按照国家规定，有22,22.5,23，23.5，24,24.5，….
问题1：上面三组数能构成数列吗．
提示：能．
问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点．
提示：各等于同一常数．
知识讲解
知识点1 等差数列的概念
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
知识点2 等差数列的性质
1．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；
d＝0 {an}为常数列
知识点3 等差数列的前n项和
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋
例题解析
例1：-401是等差数列-5，-9，-13，……的第 项.
【答案】100
【解析】由等差数列-5，-9，-13，……可知代入可知
例2：在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )
A．5 B．8 C．10 D．14
【答案】C
【解析】由等差数列和等差中项的性质，a1＋a7＝a3＋a5＝10.
例3：(1)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an；
(2)已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，求通项公式an.
【答案】见解析
【解析】(1)设数列{an}的公差为d.
由等差数列的通项公式及已知条件可得
解得∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
(2)设等差数列{an}的公差为d，由已知得
解得
当d＝2时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1；
当d＝－2时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3.
例4：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】 法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．
法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．
法三：根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．
例5：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列为等差数列，并求{bn}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.
因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1，
所以an＝2n－1.
(2)因为bn＋1－2bn＝8an，
所以bn＋1－2bn＝2n＋2，
即－＝2.
又＝1，
所以是首项为1，公差为2的等差数列．
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以bn＝(2n－1)×2n.
课堂练习
A级
1.等差数列中，，，则此数列前20项和等于（ ）
A．160 B．180 C．200 D．220
【答案】B
【解析】∵
，
∴．∴．故选B.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋d)＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
3. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【解析】∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
B级
4.已知数列的前项和为.
（I）求数列的通项公式；
（II）若，求数列的前项和。
【答案】（I） （II）
【解析】（1）∵
∴当时，
∴；
又当时，，不满足上式. ∴
（2）当时，
∴
；
∵当时，，满足上式；
∴.
5.已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
A．100 B．120 C．390 D．540
【答案】A
【解析】设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，
所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
6.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】＝＝＝＝＝＝.
C级
7.等差数列满足，则使前项和成立的最大整数是（ ）
A.2020 B.2021 C.4040 D.4041
【答案】C
【解析】由条件可得，因此，，故最大n为4040.
8.已知数列的首项为，为等差数列，且，若，，则 。
【答案】
【解析】因为为等差数列，，，设公差为，所以，解得，所以，故，
.
9.已知数列{an }的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an }为等差数列？并说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，
由于an＋1≠0，
所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，
可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，
解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，
由此可得{a2n－1}是首项为1，
公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，
使得数列{an}为等差数列．
10.等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.
课后作业
A级
1.若等差数列的前项和为，且，则
【答案】
【解析】因为为等差数列，所以，解得，故.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得故选B.
3. 设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4S1 D．S4＝S1
【答案】B
【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得解得于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4B级
4.等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22 C．24 D．－8
【答案】C
【解析】因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
5. 在等差数列{an}中，a1＝－2 020，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020的值等于( )
A．－2 020 B．－2 018 C．－2 021 D．－2 019
【答案】A
6.设等差数列的前 项和为，若，.则等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
【答案】B
【解析】数列为等差数列，则 ，，为等差数列，即 2()＝＋()， ∵＝9，＝27，则 ＝45.
C级
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则Sn的最大值是( )
A．S1 B．S7 C．S8 D．S15
【答案】C
【解析】由等差数列的前n项和公式可得S15＝15a8>0，S16＝8(a8＋a9)<0，所以a8>0，a9<0，则d＝a9－a8<0，
所以在数列{an}中，当n<9时，an>0，当n≥9时，an<0，
所以当n＝8时，Sn最大，故选C.
8.若数列{an}的前n项和为Sn，Sn≠0，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝
9. 数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
【答案】见解析
【解析】 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Tn＝
10.已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数．
【答案】见解析
【解析】为等差数列，
∵，
又，
∴，是方程的两个根．
又公差，
∴，∴，．
∴，∴，
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
∴，，，
∵是等差数列，∴，
∴，∴(舍去)．
