第5讲 数列综合
一、知识导图
二、知识导入
对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64
答案 比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出S64，即S64＝＝264－1.
三、知识讲解
知识点1 数列通项公式
1.给出数列的前项和,求通项问题
2.累加法：形如，型递推式，求通项用累加法
因为，则将这个式子左右相加得
移项整理得，这种求数列通项的方法叫累加法（叠加法）.
3.累乘法：形如，型递推式，求通项用累乘法
因为，则，将这个式子左右相乘得
化简整理得，这种求数列通项的方法叫累乘法（叠乘法）.
4.构造法：形如，（）型递推式，求通项需构造新数列
设，展开移项得与原式比较系数可得
，所以是首项为，公比为的等比数列，则
，则.
知识点2 数列求和
1.分组求和法
如果一个数列由一个等差数列加一个等比数列或两个公比不等的等比数列相加组成，求和时用分组求和法。
设数列为等差数列，为公比不为1的等比数列，，则数列的前项和
2.倒序相加法：
将一个数列倒过来排列，当他与原数列相加时便于求和，则这样的数列可用倒序相加法求和，如：等差数列求和公式的推导
两式相加，结合等差数列的性质，则有
3.裂项求和法：
设数列满足，其中，（为非零常数，），则
我们把这种求数列前项和的方法叫做裂项求和法.（在高考的考题中，）.
特别的： ，
4.错位相减法
已知数列满足，其中为非零等差数列，为公比不等于1的等比数列，此时求数列的前项和，用乘公比错位相减法.
错位相减的方法背景：在等比数列中，公比为，设前项和为，则
，
解出.
这种推导等比数列前项和的方法，叫做乘公比错位相减.
例题讲解
例1：在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为( )
A．2019 B．2020 C．2022 D．2021
【答案】D
【解析】因为an＝＝－，
所以Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 021.
例2： 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
【答案】an＝2·3n－1.
【解析】由an＋1＝3an得＝3.因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得···…·＝3n－1.
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，
又a1＝2，故an＝2·3n－1.
例3：已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，求{an}的通项公式．
【答案】an＝(3n－1)2n－2
【解析】当n≥2时，Sn＋1＝4an＋2，Sn＝4an－1＋2.
两式相减，得an＋1＝4an－4an－1，将之变形为an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
所以{an＋1－2an}是公比为2的等比数列．
又a1＋a2＝S2＝4a1＋2，a1＝1，得a2＝5，则a2－2a1＝3.
所以an＋1－2an＝3·2n－1.两边同除以2n＋1，得－＝，
所以是首项为＝，公差为的等差数列．
所以＝＋(n－1)＝n－，所以an＝(3n－1)2n－2.
例4：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋.
(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】见解析
【解析】(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，
又bn＝，
所以bn＋1－bn＝，
由a1＝1，得b1＝1，
累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，
所以bn＝2－.
(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，
则Tn＝＋＋＋…＋ ①，
Tn＝＋＋＋…＋ ②，
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，所以Tn＝4－.
易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，
所以Sn＝n(n＋1)－4＋.
例5：已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an.
(1)证明：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项的和Sn.
【答案】见解析
【解析】(1)证明：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an，
所以＝＝＝＝2，
又b1＝a2－a1＝2－1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知bn＝1×2n－1＝2n－1，
因为cn＝，
所以cn＝＝(－)，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.
课堂练习
A级
1.已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列是等差数列，则a11等于( )
A．0 B. C. D．－1
【答案】B
【解析】设数列{bn}的通项bn＝，因{bn}为等差数列，b3＝＝，b7＝＝，公差d＝＝，∴b11＝b3＋(11－3)d＝＋8×＝，即得1＋a11＝，a11＝.
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 020等于( )
A．22020－1 B．3×21 010－3 C．3×21010－1 D．3×21009－2
【答案】B
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则T2 020＝________．
【答案】
【解析】由an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，可得an＋2＋an＝2an＋1，所以数列{an}为等差数列，公差d＝a2－a1＝2－1＝1，通项公式an＝a1＋(n－1)×d＝1＋n－1＝n，则其前n项和Sn＝＝，所以＝＝2(－)，Tn＝＋＋…＋＝2(－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝，故T2 020＝.
B级
4.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
【答案】C
【解析】Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)
＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n
＝＋2×－n
＝2(2n－1)＋n2＋n－n
＝2n＋1＋n2－2.
已知数列满足,=1,求数列的通项公式.
【答案】
【解析】由题意，,,于是是首项为1、公差为3的等差数列，则有,故的通项公式(n）。
6.已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）令()，求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）=.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以；==.
（2）由（1）知，所以==，
所以==，
即数列的前n项和=.
C级
7.设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】见解析
【解析】(1)由2Sn＝3an－1， ①
得2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)， ②
①－②，得2an＝3an－3an－1，所以＝3(n≥2)，
又2S1＝3a1－1，2S2＝3a2－1，所以a1＝1，a2＝3，＝3，
所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.
(2)由(1)得，bn＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋， ③
Tn＝＋＋…＋＋， ④
③－④得，Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝－，
所以Tn＝－.
8.已知数列{an}的通项公式为an＝，若前n项和为10，则项数n为________．
【答案】120
【解析】 ∵an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
令－1＝10，得n＝120.
9. 已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.
【答案】见解析
【解析】(1)当n＝1时，a1＝.
因为a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＋4n－1an＝ ①，
所以a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＝(n≥2，n∈N*) ②，
①－②得4n－1an＝(n≥2，n∈N*)，
所以an＝(n≥2，n∈N*)．由于a1＝，故an＝(n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝＝，
所以bnbn＋1＝＝(－)，
故Tn＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝.
六、课后作业
A级
1.在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为( )
A．990 B．1 000 C．1 100 D．99
【答案】A
【解析】n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.
2．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020＝( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】因为an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 020＝336×0＋a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020＝3.故选A.
3.已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项和S9＝________．
【答案】1022
【解析】由已知，得a＝4anan＋1－4a，即a－4anan＋1＋4a＝(an＋1－2an)2＝0，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S9＝＝210－2＝1 022.
B级
4.若数列{an}是2，2＋22，2＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n，…，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
【答案】2n＋2－4－2n
【解析】an＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2，
所以Sn＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－(2＋2＋2＋…＋2)＝－2n＝2n＋2－4－2n.
5.已知正项数列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D.an＝n
【答案】B
【解析】因为(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0.又{an}为正项数列，所以(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0，即＝，则an＝··…··a1＝··…··1＝.故选B
6. 数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
【答案】.
【解析】通解：an＋1＝，两边同时取倒数得＝＝＋，整理得＝＋3，所以－＝3，所以数列{}是以＝3为首项，3为公差的等差数列，所以＝3n，所以an＝，所以数列{an}是常数列，所以Sn＝.
优解：用归纳法求解，a1＝，根据an＋1＝，可得a2＝，a3＝，a4＝，所以猜想an＝，经验证an＋1＝，从而Sn＝.
C级
7.已知数列为等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】详见解析
【解析】（1）解设等差数列的公差为．
由，，得，则．
所以，即．
（2）证明因为，
∴．
8.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；
(3)是否存在k∈N*，使得＋＋…＋【答案】见解析
【解析】(1)因为a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
所以a＋2a3a5＋a＝25，所以(a3＋a5)2＝25，
又an>0，所以a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，
所以a3a5＝4，而q∈(0，1)，
所以a3>a5，所以a3＝4，a5＝1，所以q＝，a1＝16，
所以an＝16×＝25－n.
(2)因为bn＝log2an＝5－n，所以bn＋1－bn＝－1，
b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，
所以{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
所以Sn＝.
(3)由(2)知Sn＝，所以＝.
当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0.
所以当n＝8或n＝9时，＋＋＋…＋＝18最大．故存在k∈N*，
使得＋＋…＋9.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列{}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】见解析
【解析】证明：由已知可得＝，
即＝＋1，即－＝1.∴数列{}是公差为1的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝.
(3)由(2)知bn＝n·2n.
Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
相减得:－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.第5讲 数列综合
一、知识导图
二、知识导入
对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64
答案 比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出S64，即S64＝＝264－1.
三、知识讲解
知识点1 数列通项公式
1.给出数列的前项和,求通项问题
2.累加法：形如，型递推式，求通项用累加法
因为，则将这个式子左右相加得
移项整理得，这种求数列通项的方法叫累加法（叠加法）.
3.累乘法：形如，型递推式，求通项用累乘法
因为，则，将这个式子左右相乘得
化简整理得，这种求数列通项的方法叫累乘法（叠乘法）.
4.构造法：形如，（）型递推式，求通项需构造新数列
设，展开移项得与原式比较系数可得
，所以是首项为，公比为的等比数列，则
，则.
知识点2 数列求和
1.分组求和法
如果一个数列由一个等差数列加一个等比数列或两个公比不等的等比数列相加组成，求和时用分组求和法。
设数列为等差数列，为公比不为1的等比数列，，则数列的前项和
2.倒序相加法：
将一个数列倒过来排列，当他与原数列相加时便于求和，则这样的数列可用倒序相加法求和，如：等差数列求和公式的推导
两式相加，结合等差数列的性质，则有
3.裂项求和法：
设数列满足，其中，（为非零常数，），则
我们把这种求数列前项和的方法叫做裂项求和法.（在高考的考题中，）.
特别的： ，
4.错位相减法
已知数列满足，其中为非零等差数列，为公比不等于1的等比数列，此时求数列的前项和，用乘公比错位相减法.
错位相减的方法背景：在等比数列中，公比为，设前项和为，则
，
解出.
这种推导等比数列前项和的方法，叫做乘公比错位相减.
例题讲解
例1：在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为( )
A．2019 B．2020 C．2022 D．2021
【答案】D
【解析】因为an＝＝－，
所以Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 021.
例2： 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
【答案】an＝2·3n－1.
【解析】由an＋1＝3an得＝3.因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得···…·＝3n－1.
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，
又a1＝2，故an＝2·3n－1.
例3：已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，求{an}的通项公式．
【答案】an＝(3n－1)2n－2
【解析】当n≥2时，Sn＋1＝4an＋2，Sn＝4an－1＋2.
两式相减，得an＋1＝4an－4an－1，将之变形为an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
所以{an＋1－2an}是公比为2的等比数列．
又a1＋a2＝S2＝4a1＋2，a1＝1，得a2＝5，则a2－2a1＝3.
所以an＋1－2an＝3·2n－1.两边同除以2n＋1，得－＝，
所以是首项为＝，公差为的等差数列．
所以＝＋(n－1)＝n－，所以an＝(3n－1)2n－2.
例4：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋.
(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】见解析
【解析】(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，
又bn＝，
所以bn＋1－bn＝，
由a1＝1，得b1＝1，
累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，
所以bn＝2－.
(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，
则Tn＝＋＋＋…＋ ①，
Tn＝＋＋＋…＋ ②，
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，所以Tn＝4－.
易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，
所以Sn＝n(n＋1)－4＋.
例5：已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an.
(1)证明：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项的和Sn.
【答案】见解析
【解析】(1)证明：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an，
所以＝＝＝＝2，
又b1＝a2－a1＝2－1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知bn＝1×2n－1＝2n－1，
因为cn＝，
所以cn＝＝(－)，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.
课堂练习
A级
1.已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列是等差数列，则a11等于( )
A．0 B. C. D．－1
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 020等于( )
A．22020－1 B．3×21 010－3 C．3×21010－1 D．3×21009－2
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则T2 020＝________．
B级
4.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
已知数列满足,=1,求数列的通项公式.
6.已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）令()，求数列的前n项和．
C级
7.设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
8.已知数列{an}的通项公式为an＝，若前n项和为10，则项数n为________．
9. 已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.
六、课后作业
A级
1.在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为( )
A．990 B．1 000 C．1 100 D．99
2．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020＝( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3.已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项和S9＝________．
B级
4.若数列{an}是2，2＋22，2＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n，…，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
5.已知正项数列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D.an＝n
6. 数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
C级
7. 已知数列为等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
8.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；
(3)是否存在k∈N*，使得＋＋…＋9.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列{}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.
