第4讲 等比数列
知识导图
二、知识导入
思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1， 2， 4， 8， 16，…；
②1， ， ， ， ，…；
③1， 1， 1， 1， …；
④－1， 1， －1， 1，….
三、知识讲解
知识点1 等比数列的概念
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．
知识点2 等比数列的性质
1．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab.
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
3．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}{an·bn}，也为等比数列.
知识点3 等比数列的前n项和
1．等比数列前n项和公式
等比数列的前n项和公式
2．等比数列前n项和的变式
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
四、例题解析
例1：在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
【答案】详见解析
【解析】∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，∴a5＝405.
(2)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn－1＝2.
例2：若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为( )
A．± B． C．1 D．±1
【答案】D
【解析】由题知2a＝1＋3，∴a＝2.
由b2＝4得b＝±2，∴＝±1.
例3：在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
【答案】6
【解析】由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.
例4：已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】详见解析
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝，
因为a1，a2，a3－成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0，
解得q＝或q＝，
又因为q∈(0，1)，所以q＝，所以an＝＝.
(2)根据题意得bn＝nan＝，
Sn＝＋＋＋…＋， ①
Sn＝＋＋＋…＋， ②
作差得Sn＝＋＋＋…＋－，Sn＝2－(n＋2).
例5：已知数列{an}的前n项和Sn＝3(2n－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝5n－2.数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}．若数列{cn}的第n项恰为数列{an}的第kn项，则数列{kn}的前33项的和是______．
【答案】2079
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3(2n－1)－3(2n－1－1)＝3×2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，∴an＝3×2n－1.令at＝bs，∴3×2t－1＝5s－2，则s＝.t＝1，s＝1，符合题意；t＝2，s＝，不合题意；t＝3，s＝，不合题意；t＝4，s＝，不合题意；t＝5，s＝10，符合题意；
∴{kn}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴数列{kn}的前33项之和为33×1＋×4＝2 079.
五、课堂练习
A级
1.在等比数列中，、是方程的两根，则等于（ ）
A．1 B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】由题意得，，，
∴，．∴，
又∵，∴．故选B．
2.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________．
【答案】32
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，解得q＝2，a1＝，则a8＝a1q7＝×27＝32.
3.在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100 C．95 D．80
【答案】A
【解析】由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×＝135.
B级
4.正项等比数列满足，，，则数列的前10项和是（ ）
A．65 B． C．25 D．
【答案】 D
【解析】 ∵为正项等比数列，，∴，又∵，∴公比．
又∵，，解得．
∴，∴．
∴，．∴．故选D．
5.．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【答案】见解析
【解析】证明：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝＝
＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
6.等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
【答案】见解析
【解析】①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
②若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
C级
7.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
8.已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
【答案】D
【解析】设等比数列{an}的公比为q，
则S3＝a1＋a2＋a3＝a2(＋1＋q)＝1＋q＋.
当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，当且仅当q＝1时，等号成立；
当公比q<0时，S3＝1－(－q－)≤1－2＝－1，当且仅当q＝－1时，等号成立．
所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
9.等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
【答案】（1）；（2）2101．
【解析】（1）设等差数列的公差为．
由已知得，解得．所以．
（2）由（1）可得．
∴
．
10.已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，；
求：（1）和的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和．
【答案】详见解析
【解析】（1）设的公比为，的公差为．
由题意，由已知，有，消去，得．
又因为，解得，．
所以的通项公式为，，的通项公式为，．
（2）由（1）有，设的前项和为，
则，
，
两式相减，得．
所以，．
六、课后作业
A级
1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．± B．±2 C. D．－2
【答案】D
【解析】因为＝q3＝－8，故q＝－2.
2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝________．
【答案】
【解析】因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝.
3.(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
【答案】详见解析
【解析】 (1)法一：相除得q8＝9.所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
B级
4.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1 C. D.
【答案】C
【解析】 法一：因为a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，
所以a＝4(a4－1)，所以a－4a4＋4＝0，所以a4＝2.又因为q3＝＝＝8，
所以q＝2，所以a2＝a1q＝×2＝，故选C.
法二：因为a3a5＝4(a4－1)，所以a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
所以a2＝a1q＝，故选C.
5.在数列中，，．
（1）设．证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明由已知，得．
∴，又．
∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解由（1）知，，．∴．∴，
两边乘以2得：，
两式相减得：，∴．
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
【答案】见解析
【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
C级
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
下面证明{an＋3}为等比数列：
因为Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3n－3，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，
所以2(an＋3)＝an＋1＋3，所以＝2，
所以存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．
所以an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．
8.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
【答案】见解析
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝＝＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.
所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
9. 求和：＋＋＋＋…＋.
【答案】Sn＝3－
【解析】设Sn＝＋＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋…＋＋，①
则Sn＝＋＋＋…＋＋.②
①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－＝－，∴Sn＝3－.第4讲 等比数列
知识导图
二、知识导入
思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1， 2， 4， 8， 16，…；
②1， ， ， ， ，…；
③1， 1， 1， 1， …；
④－1， 1， －1， 1，….
三、知识讲解
知识点1 等比数列的概念
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．
知识点2 等比数列的性质
1．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab.
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
3．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}{an·bn}，也为等比数列.
知识点3 等比数列的前n项和
1．等比数列前n项和公式
等比数列的前n项和公式
2．等比数列前n项和的变式
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
四、例题解析
例1：在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
【答案】详见解析
【解析】∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，∴a5＝405.
(2)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn－1＝2.
例2：若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为( )
A．± B． C．1 D．±1
【答案】D
【解析】由题知2a＝1＋3，∴a＝2.
由b2＝4得b＝±2，∴＝±1.
例3：在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
【答案】6
【解析】由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.
例4：已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】详见解析
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝，
因为a1，a2，a3－成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0，
解得q＝或q＝，
又因为q∈(0，1)，所以q＝，所以an＝＝.
(2)根据题意得bn＝nan＝，
Sn＝＋＋＋…＋， ①
Sn＝＋＋＋…＋， ②
作差得Sn＝＋＋＋…＋－，Sn＝2－(n＋2).
例5：已知数列{an}的前n项和Sn＝3(2n－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝5n－2.数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}．若数列{cn}的第n项恰为数列{an}的第kn项，则数列{kn}的前33项的和是______．
【答案】2079
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3(2n－1)－3(2n－1－1)＝3×2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，∴an＝3×2n－1.令at＝bs，∴3×2t－1＝5s－2，则s＝.t＝1，s＝1，符合题意；t＝2，s＝，不合题意；t＝3，s＝，不合题意；t＝4，s＝，不合题意；t＝5，s＝10，符合题意；
∴{kn}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴数列{kn}的前33项之和为33×1＋×4＝2 079.
五、课堂练习
A级
1.在等比数列中，、是方程的两根，则等于（ ）
A．1 B． C． D．不能确定
2.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________．
3.在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100 C．95 D．80
B级
4.正项等比数列满足，，，则数列的前10项和是（ ）
A．65 B． C．25 D．
5.．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
6.等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
C级
7.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
8.已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
9.等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
10.已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，；
求：（1）和的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和．
六、课后作业
A级
1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．± B．±2 C. D．－2
2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝________．
3.(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
B级
4.已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1 C. D.
5.在数列中，，．
（1）设．证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前n项和．
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
C级
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．
8.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
9. 求和：＋＋＋＋…＋.
