第6讲 线性规划
知识导图
知识导入
某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不少于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元．
问题1：设投资甲、乙两个项目的资金分别为x，y万元，那么x，y应满足什么条件？
提示：
问题2：若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？
提示：z＝0.4x＋0.6y.
问题3：x，y取值对利润z有无影响？
提示：有．
三、知识讲解
知识点1 基本概念
线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
知识点2 线性目标函数最值
线性目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
例题解析
例1：画出下列不等式(组)表示的平面区域:
【答案】略
【解析】
例2：若不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】先画出和表示的区域，再确定表示的区域．
由图知：．
例3：设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为
A.7 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】根据线性约束条件画出图形，得到交点坐标分别为(-2,2),(-2,-1),(0,4),(5,-1)四个交点坐标分别代入可得最大值为12. 故选D
例4：若实数x，y满足则的取值范围为________．
:【答案】[2，＋∞)
【解析】由作出可行域，
如图中阴影部分所示．
z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．
由得B(1，2)，
所以kOB＝＝2，即zmin＝2，
所以z的取值范围是[2，＋∞)．
.
例5：已知实数x，y满足不等式组则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．
【答案】13
【解析】 画出不等式组表示的平面区域(图略)，
易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1，1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.
课堂练习
A级
1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．
【答案】(－7，24)
【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，
即(a＋7)(a－24)<0，解得－7
2.已知，、满足约束条件，若的最小值为1，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】作出线性约束条件的可行域．
因为过定点，故应如图所示，
当过点时，有最小值，
∴，∴．故选B．
3. 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最小值为________．
【答案】-1
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝2x，平移该直线，易知当直线经过A(1，3)时，z最小，zmin＝2×1－3＝－1.
B级
4.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
画出线性约束条件表示的平面区域如图所示．
可以看出当过点时有最小值0，过点时有最大值2，
则的取值范围是，故选C．
5.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
产品消耗量资源 甲产品 (每吨) 乙产品(每吨) 资源限额(每天)
煤() 9 4 360
电力() 4 5 200
劳动力(个) 3 10 300
利润(万元) 6 12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
【答案】生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．
【解析】 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品吨、吨，获得利润万元．
依题意可得约束条件：，作出可行域如图．
利润目标函数，
由几何意义知，当直线：经过可行域上的点时，取最大值．
解方程组，得，，即．
答：生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．
6.已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为________．
【答案】－
【解析】作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0，1)，B(1，0)，C(3，4)．
目标函数z＝表示过点Q(5，－2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在△ABC平面区域内(含边界)．显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为＝－.
C级
7.已知x，y满足约束条件，若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
【答案】B
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
易知A(2，0)，由，得B(1，1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，所以当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在点O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D；当a＝2或a＝3时，z＝ax＋y在点A(2，0)处取得最大值，所以2a＝4，所以a＝2，故选B.
8.若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为________．
【答案】5
【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，
由图知C，D间的距离最小，此时z最小．
由得即C(0，1)，
此时zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5.
9. 已知P(x，y)为不等式组所确定的平面区域上的动点，若点M(2，1)，O(0，0)，则z＝·的最大值为( )
A．1 B．2 C．10 D．11
【答案】D
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
联立解得A(4，3)．由点M(2，1)，O(0，0)，得z＝·＝2x＋y，则y＝－2x＋z，
显然直线y＝－2x＋z过A(4，3)时，z最大，
此时z＝2×4＋3＝11.故选D.
六、课后作业
A级
1.求由不等式组确定的平面区域的面积S阴影部分．
【答案】
【解析】由不等式组作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．过P点作y轴的垂线，垂足为C.
则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，OC＝4，OB＝3，
得S△ACP＝AC·PC＝，S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8.所以S阴影部分＝S△ACP＋S梯形COBP＝.
2．若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝________．
【答案】
【解析】由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．
联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1，1)，直线l将△ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝.
3.已知则x2＋y2的最小值是________．
【答案】5【解析】令z＝x2＋y2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
令d＝， 即可行域中的点到原点的距离，由图得dmin＝＝，∴zmin＝d2＝5.
B级
4.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
【答案】(0,5)
【解析】首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．
5.投资生产A产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，需场地200 平方米；投资生产B产品时，每生产100 米需要资金300 万元，需场地100 平方米．现某单位可使用资金1 400 万元，场地900 平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．
【答案】详见解析
【解析】设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，
则用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
6. 实数x，y满足则z＝的取值范围是( )
A．[－1，0] B．(－∞，0] C．[－1，＋∞) D．[－1，1)
【答案】D
【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，的几何意义是点(x，y)与点(0，1)连线l的斜率，当直线l过B(1，0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，
∴kl＜1.综上，k∈[－1，1)．
C级
7. 若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
【答案】n＞2
【解析】先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n＞2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC或其部分．
8.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( )
A. B. C．1 D．2
【答案】B
【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，
由得∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝，故选B.
9. 有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？
【答案】详见解析.
【解析】设按第一种切割方式切割的钢条x根，按第二种切割方式切割的钢条y根，
根据题意得约束条件是
目标函数是z＝x＋y，
画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．
由解得此时z＝11.4，但x，y，z都应当为正整数，
所以点(3.6,7.8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z最小的直线是x＋y＝12，
即z＝12，满足该约束条件的(x，y)有两个：
(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．第6讲 线性规划
知识导图
知识导入
某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不少于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元．
问题1：设投资甲、乙两个项目的资金分别为x，y万元，那么x，y应满足什么条件？
提示：
问题2：若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？
提示：z＝0.4x＋0.6y.
问题3：x，y取值对利润z有无影响？
提示：有．
三、知识讲解
知识点1 基本概念
线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
知识点2 线性目标函数最值
线性目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
例题解析
例1：画出下列不等式(组)表示的平面区域:
【答案】略
【解析】
例2：若不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】先画出和表示的区域，再确定表示的区域．
由图知：．
例3：设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为
A.7 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】根据线性约束条件画出图形，得到交点坐标分别为(-2,2),(-2,-1),(0,4),(5,-1)四个交点坐标分别代入可得最大值为12. 故选D
例4：若实数x，y满足则的取值范围为________．
:【答案】[2，＋∞)
【解析】由作出可行域，
如图中阴影部分所示．
z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．
由得B(1，2)，
所以kOB＝＝2，即zmin＝2，
所以z的取值范围是[2，＋∞)．
.
例5：已知实数x，y满足不等式组则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．
【答案】13
【解析】 画出不等式组表示的平面区域(图略)，
易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1，1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.
课堂练习
A级
1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．
2.已知，、满足约束条件，若的最小值为1，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3. 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最小值为________．
B级
4.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
产品消耗量资源 甲产品 (每吨) 乙产品(每吨) 资源限额(每天)
煤() 9 4 360
电力() 4 5 200
劳动力(个) 3 10 300
利润(万元) 6 12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
6.已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为________．
C级
7.已知x，y满足约束条件，若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
8.若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为________．
9. 已知P(x，y)为不等式组所确定的平面区域上的动点，若点M(2，1)，O(0，0)，则z＝·的最大值为( )
A．1 B．2 C．10 D．11
六、课后作业
A级
1.求由不等式组确定的平面区域的面积S阴影部分．
2．若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝________．
3.已知则x2＋y2的最小值是________．
B级
4.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
5.投资生产A产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，需场地200 平方米；投资生产B产品时，每生产100 米需要资金300 万元，需场地100 平方米．现某单位可使用资金1 400 万元，场地900 平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．
6. 实数x，y满足则z＝的取值范围是( )
A．[－1，0] B．(－∞，0] C．[－1，＋∞) D．[－1，1)
C级
7. 若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
8.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( )
A. B. C．1 D．2
9. 有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？