人教版八年级数学第十一章全等三角形全章教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学第十一章全等三角形全章教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-08-27 09:24:34 | ||
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文档简介
课题：§11．1 全等三角形
课型：新授
教学目标
知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。
2、理解掌握全等三角形的性质。
3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。
过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。
2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等
三角形的体验。
情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。
教学重点: 全等三角形的性质．
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角．
教学方法：讲授法，讨论法，情景导入法
教学准备：多媒体，三角板
预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？
全等三角形有哪些性质？
教学过程
提出问题，创设情境
出示投影片
：1.问题：你能
发现这两个图形有什么美妙
的关系吗？
这两个图形是完全重合的．
2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗
生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。
形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．
3．学生自己动手（同桌两名同学配合）
取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．
4．获取概念
让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、
对应边，以及有关的数学符号．
记作：△ABC ≌ △ A’B’C’ 符号“ ≌ ”读作“全等于”
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
（二）．新知探究
利用投影片演示
1.活动：将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180 得到△DBC； 将△ABC旋转180°得△AED．
2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
3. 观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）
得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．
全等三角形的对应角相等．
（三）例题讲解
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
1. 分析：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．
∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．
2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．
2小结：找对应边和对应角的常用方法有：
（1）有公共边的，公共边是对应边.
（2）有公共角的，公共角是对应角.
（3）有对顶角的，对顶角是对应角一对最长的边是对应边，
一对最短的边是对应边.
(4)一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角
（5）全等三角形对应角所对的边是对应边；
两个对应角所夹的边也是对应边．
(6)全等三角形对应边所对的角是对应角；
两条对应边所夹的角是对应角
课堂练习
1、填空
点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△______重合，这说明△AOB≌△______．这两个三角形的对应边是AO与_____，OB与_____，BA与______；对应角是∠AOB与________，∠OBA与________，∠BAO与________．
2、判断题
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （ ）
2）全等三角形的周长相等，面积也相等。 （ ）
3）面积相等的三角形是全等三角形。 （ ）
4）周长相等的三角形是全等三角形。 （ ）
（五）．课时小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，
并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课
大家要重点掌握的．
找对应元素的常用方法有以下几种：
（一）从运动角度看
1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
3. 有公共边的，公共边是对应边.
4.有公共角的，公共角是对应角.
5.有对顶角的，对顶角是对应角一对最长的边是对应边，
一对最短的边是对应边.
一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角
（六）作业
课本P4习题11．1、复习巩固1.2、综合运用3．
（七） 板书设计
§11．1 全等三角形 一、概念 二、全等三角形的性质 三、性质应用 例1：（运动角度看问题） 例2：（根据位置来推理） 四、小结：找对应元素的方法 运动法：翻折、旋转、平移． 位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．
（八） 教学反思：
全等三角形的性质运用练习课
1、如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．
若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=
2．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，
若AB=3，EF=4， 则AC= ．
3、△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，
如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=________cm． 第1题图
4、如图 2， △ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=500，
∠AEC=1200，则∠DAC的度数等于 .
5、如图3，若 △ABC≌△DEF，则∠E= °
图2
图4
6.如图4,△ABD≌△ACE,对应角是___________________________,对应边是__________________．
7、已知：△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，
MN＝12cm，求：∠P的度数及DE的长.
8、.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°,
那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（ ）
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
9、如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD＝BC
§11．2 三角形全等的条件
§11．2．1 三角形全等的条件（一）
课型：新授
教学目标
（一）知识与技能 1、三角形全等的“边边边”的条件．
2、了解三角形的稳定性．
3、作一个角等于已知角。
（二）过程与方法： 经历探索三角形全等条件的过程，
体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程．
（三）情感态度价值观： 体会探索全等的条件，通过合作交流，
形成良好的思维
教学重点: 三角形全等的条件．
教学难点: 寻求三角形全等的条件．
教学方法： 讨论法，复习导入
教学准备： 课件、多媒体，三角板，圆规
课时：1课时
预习导航： 1、已知三角形三边如何作三角形？
2、如何判定三角形全等？
3、如何作一个角等于已知角？
教学过程
（一）．创设情境，引入新课
出示投影片， 已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．
这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
（二）．导入新课
出示投影片
活动1:探究
1．只给一个条件（一组边相等或一组角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．
结果展示：
1．只给定一条边时：
只给定一个角时：
2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．
给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．
在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
活动2：已知三边作三角形
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
1．画图方法：
先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．
3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个△A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：作法：（略）
三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
活动3：定理的应用 用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．
[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．
生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．
有前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法。
已知：∠AOB。
求做：∠A′B′C′，使∠A′B′C′=∠AOB
作法：略
（三）．随堂练习
1.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
2．课本P9练习．
（四）．课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
（五）．作业
1．习题11．2复习巩固1、2． 习题11．2综合运用9．
（六）活动与探索
如图，一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？
本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用．
结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，把这个六边形划分成四个三角形．如图（1）为其中的一种．（2）也可以把这个六边形划分成四个三角形．如图（2）．
（七）板书设计
§11．2．1 三角形全等的条件（一） 一、三角形全等的条件 三边对应相等的两三角形全等（SSS） 二、例 三、课堂练习 四、小结
教学反思：
§11．2．1 三角形全等的条件（二）
主备人：新源县五中，热阿依古丽
课型：新授
教学目标
知识技能; 1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
过程与方法： 3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．
4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
情感态度与价值观：在探究三角形全等的过程中学生通过交流合作获取快乐。
教学重点
三角形全等的条件．
教学难点
寻求三角形全等的条件．
教学方法： 讲授法，讨论法，实验法，情景导入法
教具准备： 多媒体教室
预习导航： 三角形全等的判定方法是什么？
教学准备: 三角尺，
教学过程
一、创设情境，复习提问
1．怎样的两个三角形是全等三角形？
2．全等三角形的性质？
3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？
二、新课讲解
1．三角形全等的判定（二）
(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：
如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．
(此外，还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1( 2)中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°．两个三角形也可重合)
由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．
2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．
(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？
3．边角边公理．
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
4. 猜一猜：是不是两条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？
如图△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=BD， ∠B=∠B
他们全等吗？
三、例题与练习
1．填空
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
2、例1 已知： AD∥BC，AD＝ CB(图3)．
求证：△ADC≌△CBA．
问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．
求证：△ABE≌△ACF．
例2 已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．
2． 已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．
求证：△ABE≌△CDF．
四、小 结：
1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．
五、作 业：
习题11．2
第3和第4题
板书设计：11．2．1 三角形全等的条件（二）
边角边公理 例1 例2 小结
教学反思
全等三角形的判定（边边边，边角边）
1.如图,已知,AB=CD,CE=DF,AE=BF,则AE∥BF吗 为什么
2、如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）
（A）边角边 （B）角边角
（C）边边边 （D）角角边
3.．已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。
求证：△ABC≌△DEF；
4.如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条件是
5. 如图，AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分∠BAD
6. 已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上，AD=BF,
求证：∠E=∠C
8. 如图，，请你添加一个条件： ，使（只添一个即可）．
9. 在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由 可得△AFC≌△AEB.
§11．2．3 三角形全等的条件（三）
主备人：别斯托别乡中学:王亚峰
课型：新授
教学目标：
知识技能 1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件
2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
过程与方法：通过作图、对比、发现，小结得出三角形的判定方法。
情感态度价值观：在探究中感受推理的魅力，在成功中获得喜悦，在分析中提升思维能力。
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究．
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明．
教学方法：讨论法，讲授法
教具准备：多媒体课件，三角板，圆规
预习导航：1探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等。
2、会利用新的判定方法判定两个三角形全等。
教学过程
（一）．提出问题，创设情境
1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边．
（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？
各是什么？
三种：①定义；②SSS；③SAS．
2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？
(二)．新课讲解
问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？
1．两角和它们的夹边．
2．两角和其中一角的对边．
问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，画任意一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
作法 ① 作线段A′B′，使A′B′=AB
② 分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边在同一侧作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
③射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．
将△A′B′C′与△ABC重 叠，发现两三角形全等．
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
问题4：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
5.探究：对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？
如图， △ABC和△ADE中，如果 DE∥AB，则∠A=∠A，∠B=∠ADE，
∠C= ∠ AED，但△ABC和△ADE不重合，所以不全等。
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
[例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．
（三）．随堂练习
1.课本P13练习1、2．
2.补充练习
图中的两个三角形全等吗？请说明理由．
答案：图（1）中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB．图（2）由“AAS”可证得△ACE≌△BDC．
（四）．课时小结
至此，我们有五种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）
推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．
（五）．作业
1．课本习题11．2─5、6题．
板书设计
11．2．3 三角形全等的条件（三） 一、两角一边 二、三角形全等的条件 1．两角及其夹边对应相等的两三角形全等（ASA）2．两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（AAS）
教学反思：
全等三角形的判定练习课
一.填空题：
1.如图1，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=_________度.
2.如图2，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,图中全等三角形共有______对.
3.已知：如图3，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为________________.
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为________________.
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为________________.
4.如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则△______≌△_______.
.
图 5
5.如图5,AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若，EO=10，则∠DBC= ，FO= .
二.选择题
6. 在和中，下列各组条件中，不能保证：的是（ ）
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A. 具备①②③ B. 具备①②④
C. 具备③④⑤ D. 具备②③⑥
7.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第
三条边所对的角的关系是 （ ）
A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等
8.如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，
若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( )
A. 150° B.40° C.80° D. 90°
三．解答题
9.如图，A、E、F、C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？
10．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由.
11．如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AD=BC，AB=ＤC，你能说明其中的道理吗？(可添加辅助线)
1２.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.
§11．2．3 三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（四）
主备人：别斯托别中学：陶冬兰
课型：新授
教学目标
知识与技能 1.、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题
过程与方法 2、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
情感态度价值观:3、在学习过程中，通过交流合作，使学生体会成功的喜悦。
教学重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学方法： 讨论法，讲授法
教具准备： 三角尺
预习导航： 直角三角形的判定方法有哪些？
直角三角形的判定方法中哪种方法是直角三角形所独有的？
它独特之处是什么？
教学过程
（一）．提出问题，复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（二）．情境导入：
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)
⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面我们来验证一下吧。
（三）.新知探究：
探索练习：（动手操作）：
已知线段a ，c (aAB=c ，CB= a
1、按步骤作图： a c
作∠MCN=∠=90°，
在射线 CM上截取线段CB=a，
③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，
④连结AB
2、与同桌重叠比较，是否重合？
3、从中你发现了什么？
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）
4.直角三角形的判定方法有哪些？
三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，
还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”
（四）例题讲解：
如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
答：
理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）
∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）
在Rt△ 和Rt△ 中
∴ ≌ （ ）
∴∠ = ∠ （ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
（五）巩固练习：
如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，
根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，
根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，
根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，
根据
（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，
根据
3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等
（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等
4、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。
（六）提高练习：
判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（七）课时小结
至此，我们有六种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．边边边（SSS）
3．边角边（SAS）
4．角边角（ASA）
5．角角边（AAS）
６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）
（八）作业
1．课本习题11．2─7.8题．
（九）教学反思
全等三角形的判定综合练习课
一、基本概念回顾：
1、判定一般两个三角形全等的方法： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS
2、 判定直角三角形全等的方法：HL
二、知识应用：
1、已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，
求证：AB=AC．
2、已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．
3、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：① △BEC≌△DAE；
②DF⊥BC．
4、如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________.
5、如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.
６ 、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，
∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO．
7、如图，AC=DF，AC//DF，AE=DB，
求证：①△ABC ≌△DEF。②BC=EF
8、.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,
BC、DE交于点O.
求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .
9、.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，
∠B＝∠C．
求证：OA＝OD．
10、已知：如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，
AF∥DE，交BD于F．
求证：CF=CD．
11、如图所示，已知△ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，
E是AD上一点，且DE=DB,
求证：AE=BE+BC
§11．3 角的平分线的性质（一）
主备人：别斯托别中学：陶冬兰
课型：新授
教学目标
知识与技能 : 1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
2.会用尺规作一个已知角的平分线．
3角平分线的性质。
过程与方法： 通过操作，观察，探索用尺规作一个已知角的平分线，
归纳得出角平分线的性质的过程.
情感态度与价值观：在学习过程中关注学生学习过程，
让学生表达自己的看法，使学生树立信心。
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼．
教学方法： 情境导入法，讲授法，讨论法，实验法
教具准备：， 折纸，剪刀，三角尺，圆规
预习导航： 如何用尺规作图作一个角的角平分线？
角平分线有哪些性质？
教学过程
（一）．提出问题，创设情境
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。
你有什么办法？再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（二）新知探究：
1.问题：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
2. 议一议： 下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，
沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．
你能说明它的道理吗？
即射线AC就是∠DAB的平分线．根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
3.作已知角的平分线的方法：
已知： ∠ＡＯＢ(如图)
求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：
以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
分别以M、N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。
作射线OC，射线OC即为所求。
4.议一议：
a．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
b．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
5.总结：
a.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
b．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
c．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
d．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
6. 练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．
7.探索活动按以下步骤折纸
a.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母； A、B、C。把角A对折，使得这个角的两边重合。
b.在折痕（即平分线）上任意找一点C，
c.过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。
d.将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。由学生折纸试验得到：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC
求证：OE=OD。
让学生自己独立完成证明过程
8.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
如何更直观的表达题意？我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示出已
9例题
已知：如图，△ABC中 ∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
（三）．随堂练习课本P22练习．
练后总结：平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．
将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直．
（四）．课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理， 由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．
（五）．课后作业1．课本P22习题11．3─1、2．
2.思考：在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线
的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，
然后画DE⊥AB交AC于D，那么BD就是∠ABC的平分线．
有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．
板书设计
§11．3 角的平分线的性质 一、角平分线仪器的操作原理 二、角平分线的尺规画法： 1．以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N． 2．分别以M、N为圆心，大于MN长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于C点． 3．连接OC，射线OC即为所求． 三、角平分线的性质．
教学反思：
§11．3．2 角的平分线的性质（二）
主备人：别斯托别中学：王亚峰
课型：新授
教学目标
知识与技能 1、 会叙述角的平分线的性质的逆定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这个定理解决一些简单的实际问题．
过程与方法：观察，交流，思考，通过操作，分析得出结论。
情感态度价值观：在操作中让学生经历了思考，仔细，合作，提升学生认真的习惯。
教学重点
角平分线性质的逆定理及其应用．
教学难点
灵活应用两个性质解决问题．
教学方法：探究，讨论
教具准备：三角板。
教学过程
一、创设情境，引入新课
1、角的平分线性质定理的内容是什么？其中
题设、结论是什么？
2、角平分线性质定理的作用是证明什么？
3、填空 如图：
∵OC平分∠AOB，
∴AC=BC（角平分线性质定理）
二、新课
1、逆向思维探求角平分线的判定定理
问： 把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？ 它正确？如何证明？
指出：以上问题是我们今天所要解决的重点。
2、证明上面提问得出的猜想：
如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上。
已知：PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE
求证：点P在∠AOB的平分线上
分析：
∠AOP=∠BOP
直角△DOP≌直角△EOP
（PD⊥OA，PE⊥OB）
PD=PE PO=PO
证明：（学生板书）
3、引导学生得出角平分线判定定理：
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
三、定理的应用
1、现有一题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？
已知：， CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC
求证： OC平分∠AOB
证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOC中
∴△AOC≌△BOC（HL）
∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB
证法2：∵ CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC
∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）
指出：在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
2、例 已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点
求证：O在∠C的平分线上
分析：作辅助线“过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
OG⊥AB于G”。要证“O在∠C的平分线上”必须证“OM=
ON”。而由“AD、BE是△ABC的两个角平分线”、“OM⊥BC，
ON⊥A，OG⊥AB”所以“OG=ON，OG=OM”得“OM=ON”。
此题目得证。
证明：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G
∵OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，AD、BE是△ABC的两个角平分线
∴OG=ON，OG=OM（角平分线性质定理）
∴OM=ON
∵OM⊥BC，ON⊥A
∴O在∠C的平分线上（角平分线判定定理）
三、练习 1 、P 54 / 1 、P 52 /
2、补充练习
1如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO＝∠CAO
2．已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD
求证：⑴△BDE≌△CDF ⑵点D在∠A的平分线上
四、小结
1、 角平分线的判定定理是什么？它的作用是用来证 明什么相等？
2、在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
五、作业
课本习题11．3─3、4、5题．
板书设计
教学反思：
角平分线的性质与判定练习课
1.性质定理：角平分线上的点到这个角
2.逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 上。
3.△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，O是三条角平分线的交点，则∠OAC＝______，
∠BOC＝________．
4.到三角形三边距离相等的点有 个，在三角形内部有 个，在外部有 个
5.如图1，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论。
6.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等。
7.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取
OA＝OB，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，
AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.
8.△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF 分别垂直AB、AC，垂足为E、F ， 求证：EB=FC
9. 如图，在ABC△中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．
第十一章 全等三角形复习教案
主备人：别斯托别中学：陶冬兰
【学习目标】 （复习）
知识目标：
1.了解全等形及全等三角形的概念。
2.理解全等三角形的性质。
3.掌握全等三角形的判定。
4.灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理，证明简单的全等三角形问题。
5.掌握角平分线的性质与判定以及综合运用。
6.会在给定的方格图中画出符和条件的格点三角形。
能力目标：
通过学习全等三角形的性质和条件，培养学生综合应用能力，培养学生的几何感觉。
情感目标：
学生通过在综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中感受到数学与生活息息相关，从而激发学生学习数学的兴趣。
【重点、难点】
重点：全等三角形的性质和条件以及所学知识的综合应用
难点：加强应用型与探究型题型训练
【学法】
自主探索、合作交流
【学习过程】
一、自主学习：复习提纲
复习课本内容，思考一下几个问题
1、全等形，全等三角形的定义
2、全等三角形的性质有哪些？从哪几方面考虑？为什么？
3、全等变换有哪些？一个图形经过＿ 、＿ 、＿ 后，位置变化了，但＿、 ＿ 都没有变，即＿、 ＿ 、＿ 前后的图形全等。
4、全等三角形有哪些判定？（1）文字语言（2）符号表示
5、角的平分线性质和判定是什么？两者区别和联系
6.证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边(SSS)
1）：已知两边---- 找夹角（SAS)
找是否有直角(HL)
找这边的另一个邻角(ASA)
已知一边和它的邻角 找这个角的另一个边(SAS)
(2):已知一边一角- 找这边的对角 (AAS)
找一角(AAS)
已知一边和它的对角 已知角是直角，找一边(HL)
找两角的夹边(ASA)
(3):已知两角---
找夹边外的任意边(AAS)
二、典型例题学习
一.选择题
1. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A. 两角和其中一角的对边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边
2. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两直角边对应相等
3. 假如两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）
A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等
4. 如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，假如AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC的长是( )A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 无法确定
5. 如图， △ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=500，∠AEC=1200，则∠DAC的度数等于( )
A. 1200 B. 700 C. 600 D. 500
6. 某同学把一块三角形的玻璃打坏成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. ①②③都带去
7. 在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB= A′B′，在下面判定中错误的是( )
A. 若添加条件AC=A′C′，则△ABC ≌△A′B′C′
B. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC ≌△A′B′C′
C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC ≌△A′B′C′
D. 若添加条件∠C=∠C′，则△ABC ≌△A′B′C′
8. 在△ABC和△A′B′C′中，①AB= A′B′,②BC= B′C′,③AC= A′C′，④∠A=∠A′，⑤∠B=∠B′，⑥∠C=∠C′，则下列条件组不能保证△ABC≌△A′B′C′的是( )
A.①②③ B.①②⑤ C.②④⑤ D.①③⑤
9．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长
D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
10. 在△ABC和△A′B′C′中, AB= A′B′, ∠B=∠B′, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′, 则补充的这个条件是( )
A．BC= B′C′ B．∠A=∠A′ C．AC= A′C′ D．∠C=∠C′
11. 如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上，且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF= ( )
A. 150° B.40° C.80° D. 90°
12. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，那么下列结论中不正确的是( )
A. BD=CD B. AB=AC C. BE=CE D. ∠3=∠1 ∠2
13. 如图AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则 （ ）
A. ∠1=∠EFD B. BE=EC C. BF=DF=CD D. FD∥BC
二、填空题(每小题3分，共39分)
14. 如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其他对应角分别为 ，对应边分别为 .
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离 .
16. 如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加的一个条件是 (填上你认为适当的一个条件即可).
17. 如图，AC⊥BD于O，BO=OD，图中共有全等三角形 对.
18. 如图，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，假如AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=300，则AN= cm，NM= cm，∠NAM= .
19. 已知：如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
(1) 若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为 .
(2) 若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为 .
3) 若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为 .
20. 如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝15cm，则△DEB的周长为 cm.
21. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件 = .
22. 如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD= 度.
23. 如图，AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若，∠ADB=60°，EO=10，则∠DBC= ，FO= .
24. 如图，△DEF≌△ABC，且AC＞BC＞AB，则在△DEF中，______＜ ______＜ _____.
25. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为 .
26. 在不等边△ABC中，∠APQ=∠PAQ，PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN。则下列结论：①AN=AM；②QP∥AM；③△BMP≌△ANP，其中正确的代号是 .
三、解答题(每小题9分，共72分)
27．如图，AC=AD，BC=BD，图中有相等的角吗？请找出来，并说明你的理由.
28. 已知:如图，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2.
求证:∠3=∠4
29. 如图，BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB.
求证：点D在∠BAC的平分线上.
八年级三角形全等数学检测（A）
班级 姓名 学号 .
填空：（每空3分，共24分）
1. 判定一般三角形全等的方法有 、 、 、 等四种，判定直角三角形全等的方法还有 。（填简写）
2．如图1，AD⊥BC，D为BC的中点，则△ABD≌_________.
3．如图2，若AB＝DE，BE＝CF，要证△ABF≌△DEC，需补充条件________或 。
4．如图3，已知AD=BC，AE⊥BD、CF⊥BD于点E、F且AE=CF，∠ADB=，则
∠DBC= °.
5． 如图4，△ABC≌△AED，若，，则 .
6.若△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是对应边BC和B′C′的高，
则△ABD≌△A′B′D′，理由是_________.
7．如图5，于O，BO=OD，图中共有全等三角形 对。
8．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB的距离为 cm．
二.选择题：(每题3分，共24分)
1. 只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边
2.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是 （ ）
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A.全等三角形一定能重合 B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等
4．根据下列条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C.∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF D.AB=DE，BC=EF，∠B=∠E
5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．①②③都带去
6．如果两个三角形全等,则不正确的是（ ）
A.它们的最小角相等 B.它们的对应外角相等
C.它们是直角三角形 D.它们的最长边相等
7．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，
则下列说法正确的有几个 （ ）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD； （3）BD=CD； （4）AD⊥BC．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
8. 如图，在△ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D，
交AC于点E, △BCE的周长等于18cm, 则AC的长等于（ ）
(A) 6cm (B) 8cm
(C)10cm (D) 12cm
三．解答题(共52分)
1．已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．(9分)
2. 如右图，AB＝AD ，∠BAD＝∠CAE，AC=AE ，求证：AB=AD（9分）
3．八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，
接着过D作BD的垂线交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。（4分）
（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。（4分）
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE=90°，方案（Ⅱ）是否成立？ . （4分）
4、如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE＝DF，连结AD。
求证：（1）∠FAD＝∠EAD（6分）
（2）BD＝CD （6分）
第11章 全等三角形 整章测试（A）
（时间90分钟 满分100分）
班级 学号 姓名 得分
一、填空题（每题2分，共32分）
1．能够____ 的两个图形叫做全等图形．
2．判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_______；_______；_______；_______；_________．
3．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
4．如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= ．
5．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ．
6．如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌ ，且DF= ．
7．如图，在ΔABC与ΔDEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上∠ =∠ ，
或 ∥ ，就可证明ΔABC≌ΔDEF．
8．△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=________cm．
9．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且CD=4cm，则点D到AB的距离是________．
10．如图，已知AC＝BD，，那么△ABC≌ ， 其判定根据是__________．
11．如图，中，于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件___ ＝ ___．
12．如图，已知AC＝BD，，请你添一个直接条件， ＝ ，使△AFC≌△DEB．
13．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是 ．
SHAPE \* MERGEFORMAT
14．把两根钢条AA 、BB 的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为 米．
15．△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，O是三条角平分线的交点，则∠OAC＝______，∠BOC＝________．
16．将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中为折痕，则的度数为 ．
二、填空题（共68分）
17．如下左图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝________，根据__________可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝_________．
18．如上右图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．
∵AD平分∠BAC
∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∵
∴△ABD≌△ACD（ ）
19．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
20．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
21．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证: ∠5=∠6．
22．已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：① △BEC≌△DAE；
②DF⊥BC．
图3
B
A
C
D
E
A
C
D
B
F
D
C
B
A
第3题
D
O
C
B
AB
A
B
C
D
E
图4
图2
A
D
B
C
E
F
A
B
E
O
F
D
C
板书设计： 直角三角形的判定
例题 小结
A
B
C
D
E
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
D
C
B
A
O
1
2
3
4
A
D
E
B
C
A
C
D
E
B
F
O
B
A
D
C
E
F
§11．3．2 角的平分线的性质（二）
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知：， CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC。求证： OC平分∠AOB
F
E
D
C
B
A
O
P
O
D
C
B
A
图1
A
E
B
D
C
F
D
B
E
F
C
A
A
B
C
D
图1
图3
图2
图5
A
B
C
D
E
图1
图2
第3题图 第4题图
第6题图 第7题图
第10题图 第11题图 第12题图
B
C
D
③
①
②
第10题图 第11题图 第12题图
B
C
D
E
F
A
14
课型：新授
教学目标
知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。
2、理解掌握全等三角形的性质。
3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。
过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。
2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等
三角形的体验。
情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。
教学重点: 全等三角形的性质．
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角．
教学方法：讲授法，讨论法，情景导入法
教学准备：多媒体，三角板
预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？
全等三角形有哪些性质？
教学过程
提出问题，创设情境
出示投影片
：1.问题：你能
发现这两个图形有什么美妙
的关系吗？
这两个图形是完全重合的．
2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗
生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。
形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．
3．学生自己动手（同桌两名同学配合）
取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．
4．获取概念
让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、
对应边，以及有关的数学符号．
记作：△ABC ≌ △ A’B’C’ 符号“ ≌ ”读作“全等于”
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
（二）．新知探究
利用投影片演示
1.活动：将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180 得到△DBC； 将△ABC旋转180°得△AED．
2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
3. 观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）
得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．
全等三角形的对应角相等．
（三）例题讲解
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
1. 分析：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．
∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．
2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．
2小结：找对应边和对应角的常用方法有：
（1）有公共边的，公共边是对应边.
（2）有公共角的，公共角是对应角.
（3）有对顶角的，对顶角是对应角一对最长的边是对应边，
一对最短的边是对应边.
(4)一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角
（5）全等三角形对应角所对的边是对应边；
两个对应角所夹的边也是对应边．
(6)全等三角形对应边所对的角是对应角；
两条对应边所夹的角是对应角
课堂练习
1、填空
点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△______重合，这说明△AOB≌△______．这两个三角形的对应边是AO与_____，OB与_____，BA与______；对应角是∠AOB与________，∠OBA与________，∠BAO与________．
2、判断题
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （ ）
2）全等三角形的周长相等，面积也相等。 （ ）
3）面积相等的三角形是全等三角形。 （ ）
4）周长相等的三角形是全等三角形。 （ ）
（五）．课时小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，
并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课
大家要重点掌握的．
找对应元素的常用方法有以下几种：
（一）从运动角度看
1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
3. 有公共边的，公共边是对应边.
4.有公共角的，公共角是对应角.
5.有对顶角的，对顶角是对应角一对最长的边是对应边，
一对最短的边是对应边.
一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角
（六）作业
课本P4习题11．1、复习巩固1.2、综合运用3．
（七） 板书设计
§11．1 全等三角形 一、概念 二、全等三角形的性质 三、性质应用 例1：（运动角度看问题） 例2：（根据位置来推理） 四、小结：找对应元素的方法 运动法：翻折、旋转、平移． 位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．
（八） 教学反思：
全等三角形的性质运用练习课
1、如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．
若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=
2．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，
若AB=3，EF=4， 则AC= ．
3、△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，
如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=________cm． 第1题图
4、如图 2， △ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=500，
∠AEC=1200，则∠DAC的度数等于 .
5、如图3，若 △ABC≌△DEF，则∠E= °
图2
图4
6.如图4,△ABD≌△ACE,对应角是___________________________,对应边是__________________．
7、已知：△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，
MN＝12cm，求：∠P的度数及DE的长.
8、.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°,
那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（ ）
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
9、如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD＝BC
§11．2 三角形全等的条件
§11．2．1 三角形全等的条件（一）
课型：新授
教学目标
（一）知识与技能 1、三角形全等的“边边边”的条件．
2、了解三角形的稳定性．
3、作一个角等于已知角。
（二）过程与方法： 经历探索三角形全等条件的过程，
体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程．
（三）情感态度价值观： 体会探索全等的条件，通过合作交流，
形成良好的思维
教学重点: 三角形全等的条件．
教学难点: 寻求三角形全等的条件．
教学方法： 讨论法，复习导入
教学准备： 课件、多媒体，三角板，圆规
课时：1课时
预习导航： 1、已知三角形三边如何作三角形？
2、如何判定三角形全等？
3、如何作一个角等于已知角？
教学过程
（一）．创设情境，引入新课
出示投影片， 已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．
这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
（二）．导入新课
出示投影片
活动1:探究
1．只给一个条件（一组边相等或一组角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．
结果展示：
1．只给定一条边时：
只给定一个角时：
2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．
给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．
在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
活动2：已知三边作三角形
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
1．画图方法：
先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．
3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个△A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：作法：（略）
三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
活动3：定理的应用 用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．
[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．
生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．
有前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法。
已知：∠AOB。
求做：∠A′B′C′，使∠A′B′C′=∠AOB
作法：略
（三）．随堂练习
1.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
2．课本P9练习．
（四）．课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
（五）．作业
1．习题11．2复习巩固1、2． 习题11．2综合运用9．
（六）活动与探索
如图，一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？
本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用．
结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，把这个六边形划分成四个三角形．如图（1）为其中的一种．（2）也可以把这个六边形划分成四个三角形．如图（2）．
（七）板书设计
§11．2．1 三角形全等的条件（一） 一、三角形全等的条件 三边对应相等的两三角形全等（SSS） 二、例 三、课堂练习 四、小结
教学反思：
§11．2．1 三角形全等的条件（二）
主备人：新源县五中，热阿依古丽
课型：新授
教学目标
知识技能; 1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
过程与方法： 3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．
4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
情感态度与价值观：在探究三角形全等的过程中学生通过交流合作获取快乐。
教学重点
三角形全等的条件．
教学难点
寻求三角形全等的条件．
教学方法： 讲授法，讨论法，实验法，情景导入法
教具准备： 多媒体教室
预习导航： 三角形全等的判定方法是什么？
教学准备: 三角尺，
教学过程
一、创设情境，复习提问
1．怎样的两个三角形是全等三角形？
2．全等三角形的性质？
3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？
二、新课讲解
1．三角形全等的判定（二）
(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：
如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．
(此外，还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1( 2)中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°．两个三角形也可重合)
由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．
2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．
(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？
3．边角边公理．
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
4. 猜一猜：是不是两条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？
如图△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=BD， ∠B=∠B
他们全等吗？
三、例题与练习
1．填空
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
2、例1 已知： AD∥BC，AD＝ CB(图3)．
求证：△ADC≌△CBA．
问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．
求证：△ABE≌△ACF．
例2 已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．
2． 已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．
求证：△ABE≌△CDF．
四、小 结：
1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．
五、作 业：
习题11．2
第3和第4题
板书设计：11．2．1 三角形全等的条件（二）
边角边公理 例1 例2 小结
教学反思
全等三角形的判定（边边边，边角边）
1.如图,已知,AB=CD,CE=DF,AE=BF,则AE∥BF吗 为什么
2、如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）
（A）边角边 （B）角边角
（C）边边边 （D）角角边
3.．已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。
求证：△ABC≌△DEF；
4.如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条件是
5. 如图，AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分∠BAD
6. 已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上，AD=BF,
求证：∠E=∠C
8. 如图，，请你添加一个条件： ，使（只添一个即可）．
9. 在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由 可得△AFC≌△AEB.
§11．2．3 三角形全等的条件（三）
主备人：别斯托别乡中学:王亚峰
课型：新授
教学目标：
知识技能 1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件
2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
过程与方法：通过作图、对比、发现，小结得出三角形的判定方法。
情感态度价值观：在探究中感受推理的魅力，在成功中获得喜悦，在分析中提升思维能力。
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究．
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明．
教学方法：讨论法，讲授法
教具准备：多媒体课件，三角板，圆规
预习导航：1探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等。
2、会利用新的判定方法判定两个三角形全等。
教学过程
（一）．提出问题，创设情境
1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边．
（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？
各是什么？
三种：①定义；②SSS；③SAS．
2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？
(二)．新课讲解
问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？
1．两角和它们的夹边．
2．两角和其中一角的对边．
问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，画任意一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
作法 ① 作线段A′B′，使A′B′=AB
② 分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边在同一侧作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
③射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．
将△A′B′C′与△ABC重 叠，发现两三角形全等．
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
问题4：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
5.探究：对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？
如图， △ABC和△ADE中，如果 DE∥AB，则∠A=∠A，∠B=∠ADE，
∠C= ∠ AED，但△ABC和△ADE不重合，所以不全等。
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
[例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．
（三）．随堂练习
1.课本P13练习1、2．
2.补充练习
图中的两个三角形全等吗？请说明理由．
答案：图（1）中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB．图（2）由“AAS”可证得△ACE≌△BDC．
（四）．课时小结
至此，我们有五种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）
推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．
（五）．作业
1．课本习题11．2─5、6题．
板书设计
11．2．3 三角形全等的条件（三） 一、两角一边 二、三角形全等的条件 1．两角及其夹边对应相等的两三角形全等（ASA）2．两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（AAS）
教学反思：
全等三角形的判定练习课
一.填空题：
1.如图1，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=_________度.
2.如图2，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,图中全等三角形共有______对.
3.已知：如图3，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为________________.
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为________________.
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为________________.
4.如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则△______≌△_______.
.
图 5
5.如图5,AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若，EO=10，则∠DBC= ，FO= .
二.选择题
6. 在和中，下列各组条件中，不能保证：的是（ ）
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A. 具备①②③ B. 具备①②④
C. 具备③④⑤ D. 具备②③⑥
7.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第
三条边所对的角的关系是 （ ）
A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等
8.如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，
若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( )
A. 150° B.40° C.80° D. 90°
三．解答题
9.如图，A、E、F、C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？
10．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由.
11．如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AD=BC，AB=ＤC，你能说明其中的道理吗？(可添加辅助线)
1２.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.
§11．2．3 三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（四）
主备人：别斯托别中学：陶冬兰
课型：新授
教学目标
知识与技能 1.、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题
过程与方法 2、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
情感态度价值观:3、在学习过程中，通过交流合作，使学生体会成功的喜悦。
教学重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学方法： 讨论法，讲授法
教具准备： 三角尺
预习导航： 直角三角形的判定方法有哪些？
直角三角形的判定方法中哪种方法是直角三角形所独有的？
它独特之处是什么？
教学过程
（一）．提出问题，复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（二）．情境导入：
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)
⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面我们来验证一下吧。
（三）.新知探究：
探索练习：（动手操作）：
已知线段a ，c (a
1、按步骤作图： a c
作∠MCN=∠=90°，
在射线 CM上截取线段CB=a，
③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，
④连结AB
2、与同桌重叠比较，是否重合？
3、从中你发现了什么？
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）
4.直角三角形的判定方法有哪些？
三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，
还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”
（四）例题讲解：
如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
答：
理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）
∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）
在Rt△ 和Rt△ 中
∴ ≌ （ ）
∴∠ = ∠ （ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
（五）巩固练习：
如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，
根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，
根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，
根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，
根据
（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，
根据
3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等
（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等
4、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。
（六）提高练习：
判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（七）课时小结
至此，我们有六种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．边边边（SSS）
3．边角边（SAS）
4．角边角（ASA）
5．角角边（AAS）
６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）
（八）作业
1．课本习题11．2─7.8题．
（九）教学反思
全等三角形的判定综合练习课
一、基本概念回顾：
1、判定一般两个三角形全等的方法： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS
2、 判定直角三角形全等的方法：HL
二、知识应用：
1、已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，
求证：AB=AC．
2、已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．
3、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：① △BEC≌△DAE；
②DF⊥BC．
4、如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________.
5、如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.
６ 、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，
∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO．
7、如图，AC=DF，AC//DF，AE=DB，
求证：①△ABC ≌△DEF。②BC=EF
8、.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,
BC、DE交于点O.
求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .
9、.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，
∠B＝∠C．
求证：OA＝OD．
10、已知：如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，
AF∥DE，交BD于F．
求证：CF=CD．
11、如图所示，已知△ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，
E是AD上一点，且DE=DB,
求证：AE=BE+BC
§11．3 角的平分线的性质（一）
主备人：别斯托别中学：陶冬兰
课型：新授
教学目标
知识与技能 : 1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
2.会用尺规作一个已知角的平分线．
3角平分线的性质。
过程与方法： 通过操作，观察，探索用尺规作一个已知角的平分线，
归纳得出角平分线的性质的过程.
情感态度与价值观：在学习过程中关注学生学习过程，
让学生表达自己的看法，使学生树立信心。
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼．
教学方法： 情境导入法，讲授法，讨论法，实验法
教具准备：， 折纸，剪刀，三角尺，圆规
预习导航： 如何用尺规作图作一个角的角平分线？
角平分线有哪些性质？
教学过程
（一）．提出问题，创设情境
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。
你有什么办法？再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（二）新知探究：
1.问题：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
2. 议一议： 下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，
沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．
你能说明它的道理吗？
即射线AC就是∠DAB的平分线．根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
3.作已知角的平分线的方法：
已知： ∠ＡＯＢ(如图)
求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：
以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
分别以M、N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。
作射线OC，射线OC即为所求。
4.议一议：
a．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
b．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
5.总结：
a.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
b．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
c．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
d．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
6. 练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．
7.探索活动按以下步骤折纸
a.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母； A、B、C。把角A对折，使得这个角的两边重合。
b.在折痕（即平分线）上任意找一点C，
c.过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。
d.将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。由学生折纸试验得到：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC
求证：OE=OD。
让学生自己独立完成证明过程
8.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
如何更直观的表达题意？我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示出已
9例题
已知：如图，△ABC中 ∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
（三）．随堂练习课本P22练习．
练后总结：平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．
将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直．
（四）．课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理， 由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．
（五）．课后作业1．课本P22习题11．3─1、2．
2.思考：在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线
的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，
然后画DE⊥AB交AC于D，那么BD就是∠ABC的平分线．
有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．
板书设计
§11．3 角的平分线的性质 一、角平分线仪器的操作原理 二、角平分线的尺规画法： 1．以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N． 2．分别以M、N为圆心，大于MN长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于C点． 3．连接OC，射线OC即为所求． 三、角平分线的性质．
教学反思：
§11．3．2 角的平分线的性质（二）
主备人：别斯托别中学：王亚峰
课型：新授
教学目标
知识与技能 1、 会叙述角的平分线的性质的逆定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这个定理解决一些简单的实际问题．
过程与方法：观察，交流，思考，通过操作，分析得出结论。
情感态度价值观：在操作中让学生经历了思考，仔细，合作，提升学生认真的习惯。
教学重点
角平分线性质的逆定理及其应用．
教学难点
灵活应用两个性质解决问题．
教学方法：探究，讨论
教具准备：三角板。
教学过程
一、创设情境，引入新课
1、角的平分线性质定理的内容是什么？其中
题设、结论是什么？
2、角平分线性质定理的作用是证明什么？
3、填空 如图：
∵OC平分∠AOB，
∴AC=BC（角平分线性质定理）
二、新课
1、逆向思维探求角平分线的判定定理
问： 把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？ 它正确？如何证明？
指出：以上问题是我们今天所要解决的重点。
2、证明上面提问得出的猜想：
如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上。
已知：PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE
求证：点P在∠AOB的平分线上
分析：
∠AOP=∠BOP
直角△DOP≌直角△EOP
（PD⊥OA，PE⊥OB）
PD=PE PO=PO
证明：（学生板书）
3、引导学生得出角平分线判定定理：
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
三、定理的应用
1、现有一题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？
已知：， CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC
求证： OC平分∠AOB
证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOC中
∴△AOC≌△BOC（HL）
∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB
证法2：∵ CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC
∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）
指出：在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
2、例 已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点
求证：O在∠C的平分线上
分析：作辅助线“过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
OG⊥AB于G”。要证“O在∠C的平分线上”必须证“OM=
ON”。而由“AD、BE是△ABC的两个角平分线”、“OM⊥BC，
ON⊥A，OG⊥AB”所以“OG=ON，OG=OM”得“OM=ON”。
此题目得证。
证明：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G
∵OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，AD、BE是△ABC的两个角平分线
∴OG=ON，OG=OM（角平分线性质定理）
∴OM=ON
∵OM⊥BC，ON⊥A
∴O在∠C的平分线上（角平分线判定定理）
三、练习 1 、P 54 / 1 、P 52 /
2、补充练习
1如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO＝∠CAO
2．已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD
求证：⑴△BDE≌△CDF ⑵点D在∠A的平分线上
四、小结
1、 角平分线的判定定理是什么？它的作用是用来证 明什么相等？
2、在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
五、作业
课本习题11．3─3、4、5题．
板书设计
教学反思：
角平分线的性质与判定练习课
1.性质定理：角平分线上的点到这个角
2.逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 上。
3.△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，O是三条角平分线的交点，则∠OAC＝______，
∠BOC＝________．
4.到三角形三边距离相等的点有 个，在三角形内部有 个，在外部有 个
5.如图1，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论。
6.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等。
7.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取
OA＝OB，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，
AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.
8.△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF 分别垂直AB、AC，垂足为E、F ， 求证：EB=FC
9. 如图，在ABC△中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．
第十一章 全等三角形复习教案
主备人：别斯托别中学：陶冬兰
【学习目标】 （复习）
知识目标：
1.了解全等形及全等三角形的概念。
2.理解全等三角形的性质。
3.掌握全等三角形的判定。
4.灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理，证明简单的全等三角形问题。
5.掌握角平分线的性质与判定以及综合运用。
6.会在给定的方格图中画出符和条件的格点三角形。
能力目标：
通过学习全等三角形的性质和条件，培养学生综合应用能力，培养学生的几何感觉。
情感目标：
学生通过在综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中感受到数学与生活息息相关，从而激发学生学习数学的兴趣。
【重点、难点】
重点：全等三角形的性质和条件以及所学知识的综合应用
难点：加强应用型与探究型题型训练
【学法】
自主探索、合作交流
【学习过程】
一、自主学习：复习提纲
复习课本内容，思考一下几个问题
1、全等形，全等三角形的定义
2、全等三角形的性质有哪些？从哪几方面考虑？为什么？
3、全等变换有哪些？一个图形经过＿ 、＿ 、＿ 后，位置变化了，但＿、 ＿ 都没有变，即＿、 ＿ 、＿ 前后的图形全等。
4、全等三角形有哪些判定？（1）文字语言（2）符号表示
5、角的平分线性质和判定是什么？两者区别和联系
6.证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边(SSS)
1）：已知两边---- 找夹角（SAS)
找是否有直角(HL)
找这边的另一个邻角(ASA)
已知一边和它的邻角 找这个角的另一个边(SAS)
(2):已知一边一角- 找这边的对角 (AAS)
找一角(AAS)
已知一边和它的对角 已知角是直角，找一边(HL)
找两角的夹边(ASA)
(3):已知两角---
找夹边外的任意边(AAS)
二、典型例题学习
一.选择题
1. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A. 两角和其中一角的对边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边
2. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两直角边对应相等
3. 假如两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）
A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等
4. 如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，假如AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC的长是( )A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 无法确定
5. 如图， △ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=500，∠AEC=1200，则∠DAC的度数等于( )
A. 1200 B. 700 C. 600 D. 500
6. 某同学把一块三角形的玻璃打坏成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. ①②③都带去
7. 在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB= A′B′，在下面判定中错误的是( )
A. 若添加条件AC=A′C′，则△ABC ≌△A′B′C′
B. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC ≌△A′B′C′
C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC ≌△A′B′C′
D. 若添加条件∠C=∠C′，则△ABC ≌△A′B′C′
8. 在△ABC和△A′B′C′中，①AB= A′B′,②BC= B′C′,③AC= A′C′，④∠A=∠A′，⑤∠B=∠B′，⑥∠C=∠C′，则下列条件组不能保证△ABC≌△A′B′C′的是( )
A.①②③ B.①②⑤ C.②④⑤ D.①③⑤
9．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长
D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
10. 在△ABC和△A′B′C′中, AB= A′B′, ∠B=∠B′, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′, 则补充的这个条件是( )
A．BC= B′C′ B．∠A=∠A′ C．AC= A′C′ D．∠C=∠C′
11. 如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上，且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF= ( )
A. 150° B.40° C.80° D. 90°
12. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，那么下列结论中不正确的是( )
A. BD=CD B. AB=AC C. BE=CE D. ∠3=∠1 ∠2
13. 如图AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则 （ ）
A. ∠1=∠EFD B. BE=EC C. BF=DF=CD D. FD∥BC
二、填空题(每小题3分，共39分)
14. 如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其他对应角分别为 ，对应边分别为 .
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离 .
16. 如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加的一个条件是 (填上你认为适当的一个条件即可).
17. 如图，AC⊥BD于O，BO=OD，图中共有全等三角形 对.
18. 如图，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，假如AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=300，则AN= cm，NM= cm，∠NAM= .
19. 已知：如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
(1) 若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为 .
(2) 若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为 .
3) 若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为 .
20. 如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝15cm，则△DEB的周长为 cm.
21. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件 = .
22. 如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD= 度.
23. 如图，AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若，∠ADB=60°，EO=10，则∠DBC= ，FO= .
24. 如图，△DEF≌△ABC，且AC＞BC＞AB，则在△DEF中，______＜ ______＜ _____.
25. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为 .
26. 在不等边△ABC中，∠APQ=∠PAQ，PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN。则下列结论：①AN=AM；②QP∥AM；③△BMP≌△ANP，其中正确的代号是 .
三、解答题(每小题9分，共72分)
27．如图，AC=AD，BC=BD，图中有相等的角吗？请找出来，并说明你的理由.
28. 已知:如图，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2.
求证:∠3=∠4
29. 如图，BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB.
求证：点D在∠BAC的平分线上.
八年级三角形全等数学检测（A）
班级 姓名 学号 .
填空：（每空3分，共24分）
1. 判定一般三角形全等的方法有 、 、 、 等四种，判定直角三角形全等的方法还有 。（填简写）
2．如图1，AD⊥BC，D为BC的中点，则△ABD≌_________.
3．如图2，若AB＝DE，BE＝CF，要证△ABF≌△DEC，需补充条件________或 。
4．如图3，已知AD=BC，AE⊥BD、CF⊥BD于点E、F且AE=CF，∠ADB=，则
∠DBC= °.
5． 如图4，△ABC≌△AED，若，，则 .
6.若△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是对应边BC和B′C′的高，
则△ABD≌△A′B′D′，理由是_________.
7．如图5，于O，BO=OD，图中共有全等三角形 对。
8．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB的距离为 cm．
二.选择题：(每题3分，共24分)
1. 只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边
2.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是 （ ）
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A.全等三角形一定能重合 B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等
4．根据下列条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C.∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF D.AB=DE，BC=EF，∠B=∠E
5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．①②③都带去
6．如果两个三角形全等,则不正确的是（ ）
A.它们的最小角相等 B.它们的对应外角相等
C.它们是直角三角形 D.它们的最长边相等
7．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，
则下列说法正确的有几个 （ ）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD； （3）BD=CD； （4）AD⊥BC．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
8. 如图，在△ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D，
交AC于点E, △BCE的周长等于18cm, 则AC的长等于（ ）
(A) 6cm (B) 8cm
(C)10cm (D) 12cm
三．解答题(共52分)
1．已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．(9分)
2. 如右图，AB＝AD ，∠BAD＝∠CAE，AC=AE ，求证：AB=AD（9分）
3．八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，
接着过D作BD的垂线交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。（4分）
（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。（4分）
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE=90°，方案（Ⅱ）是否成立？ . （4分）
4、如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE＝DF，连结AD。
求证：（1）∠FAD＝∠EAD（6分）
（2）BD＝CD （6分）
第11章 全等三角形 整章测试（A）
（时间90分钟 满分100分）
班级 学号 姓名 得分
一、填空题（每题2分，共32分）
1．能够____ 的两个图形叫做全等图形．
2．判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_______；_______；_______；_______；_________．
3．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
4．如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= ．
5．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ．
6．如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌ ，且DF= ．
7．如图，在ΔABC与ΔDEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上∠ =∠ ，
或 ∥ ，就可证明ΔABC≌ΔDEF．
8．△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=________cm．
9．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且CD=4cm，则点D到AB的距离是________．
10．如图，已知AC＝BD，，那么△ABC≌ ， 其判定根据是__________．
11．如图，中，于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件___ ＝ ___．
12．如图，已知AC＝BD，，请你添一个直接条件， ＝ ，使△AFC≌△DEB．
13．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是 ．
SHAPE \* MERGEFORMAT
14．把两根钢条AA 、BB 的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为 米．
15．△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，O是三条角平分线的交点，则∠OAC＝______，∠BOC＝________．
16．将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中为折痕，则的度数为 ．
二、填空题（共68分）
17．如下左图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝________，根据__________可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝_________．
18．如上右图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．
∵AD平分∠BAC
∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∵
∴△ABD≌△ACD（ ）
19．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
20．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
21．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证: ∠5=∠6．
22．已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：① △BEC≌△DAE；
②DF⊥BC．
图3
B
A
C
D
E
A
C
D
B
F
D
C
B
A
第3题
D
O
C
B
AB
A
B
C
D
E
图4
图2
A
D
B
C
E
F
A
B
E
O
F
D
C
板书设计： 直角三角形的判定
例题 小结
A
B
C
D
E
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
D
C
B
A
O
1
2
3
4
A
D
E
B
C
A
C
D
E
B
F
O
B
A
D
C
E
F
§11．3．2 角的平分线的性质（二）
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知：， CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC。求证： OC平分∠AOB
F
E
D
C
B
A
O
P
O
D
C
B
A
图1
A
E
B
D
C
F
D
B
E
F
C
A
A
B
C
D
图1
图3
图2
图5
A
B
C
D
E
图1
图2
第3题图 第4题图
第6题图 第7题图
第10题图 第11题图 第12题图
B
C
D
③
①
②
第10题图 第11题图 第12题图
B
C
D
E
F
A
14