2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1函数的单调性与最值 同步专项练习（Word含答案解析）

函数的单调性与最值专题练（培优）
一、基础题
1.已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若， D．，，使得
2.（多选）定义在R上的函数,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
3.设对任意实数有，且当时，.
（1）证明：在上减；若在上总有成立，试求的最小值；
（2）设函数， 当时，解关于的不等式：.
4.已知定义在上的函数对任意实数都满足，且，当时，.
（1）证明：在上是减函数；
（2）解不等式
二、单变量恒成立与存在问题
1．已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为
A． B． C． D．
2.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（多选）若函数，，且函数的图象在函数的图象的上方，则实数m的取值可以是（ ）
A． B．-2 C．-1 D．0
4.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________．
5.设，，若对任意的，都有，则______．
三、双变量恒成立存在问题
1.已知定义在上的函数满足，对任意的实数，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，，若对任意的，，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的值域为（），函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围为________________.
4．函数，.若存在，使得，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
四、自定义类型题
1．（多选）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）.
其中“有界函数”是
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
2．（多选）对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是
A．函数是闭函数 B．函数是闭函数
C．函数是闭函数 D．时,函数是闭函数
E.时,函数是闭函数
3.对于函数，若定义域中存在实数、满足且，则称函数为“函数”．
（1）判断，是否为“函数”，并说明理由；
（2）设且，若函数，为“函数”，且的最小值为5，求实数的取值范围．
五、含绝对值函数最值问题
1．设则取到最小值时_______
2．，在区间的最大值记为,当___时，的值最小.
3．已知，函数在区间上的最大值10，则a的取值范围是__________．
4．函数在上的最大值为b，则最小值为__________．
5.已知函数，，.
（1）若时，试判断的单调性并写出单调区间；
（2）当的最大值是2时，求a的值；
（3）当时，求函数的最大值的表达式.
函数的单调性与最值专题练（培优）答案
一、基础题
1.[解析]由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增
所以，故A错
若，则，得，故B错
若则或，因为
所以或，故C正确
因为定义在R上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增
所以，所以对，只需即可，故D正确，故选：CD
2.[解析]因为
所以
所以关于对称，所以又因为在区间上为增函数，所以因为所以
所以选项B成立，因为，所以比离对称轴远
所以，所以选项A成立，因为
所以，所以比离对称轴远，所以，即C答案成立
因为，所以符号不定
所以，无法比较大小，所以不一定成立
所以D答案不一定成立，故选：ABC
3.[解析](1）设任意的两个实数且，∴，
∴∵，∴，∴，
∴ ，故在上是减函数.
∴，∵，∴，∴，∴.
（2）∵
∴原不等式等价于：而是减函数，∴，
∴∴当，解集是
当，（i），∴，解集（ii），∴，解集
（iii），∴，解集
4.[解析]（1）因为任意实数都满足，
令，则，∵，∴
当时，则，∴，∵，∴，
即时，恒成立，
设任意的，且，则，∴，即在上是减函数，
（2），，
由（1）知在上为减函数，
得：，故不等式的解集为.
二、单变量恒成立与存在问题
1．[解析]
原命题等价于存在,使得成立,
即存在,使得成立，即,因此.故选：B
2.[解析] ，函数在上单调递增，
又
所以对，不等式恒成立，即不等式恒成立，
令，，即
又在上单调递增，
所以实数t的取值范围是故选：B.
3.[解析] 因为函数的图象在函数的图象的上方，所以当时，，即 恒成立，
因为在上递增，所以的最小值为，所以，∴.
当时，，即恒成立，
因为在上递减，在上递增，所以的最小值为，所以，∴.综上.故选：BC.
4.[解析] 由于是奇函数，所以当时，，即，易知函数在上是增函数，
（1）若，则命题为时，恒成立，但此时，不合题意；
（2）若，则，不等式为，
所以，即对恒成立，
令，
，
，
当，即时，，满足题意，
显然时，，，满足题意，
因此满足题意．
（3）若，，不等式为，
所以，即对恒成立，
，
当，即时，，不满足题意，
当时，，，解得，
综上的取值范围是．
故答案为：．
5.[解析]根据题意，设，，
当时，，而不可能在，上恒成立，
必有，对于，，在，，在，，；
若，则对于，在，，在，，；
而为一次函数，则必有，且，
变形可得：，又由，；，，所以
故答案为：3．
三、双变量恒成立存在问题
1.[解析]解：设，则，，
对任意的，且，，得，
即，所以在上是增函数，不等式即为，
所以，.故选：B
2．[解析]，当时，
，当时，
根据题意知： ，故故选：
3.[解析]因为，总，使得成立，所以的值域A包含于的值域B，依题意A=，
又函数，，因此，当时，，不满足题意；
当时，在上递增，则，故，即得；
当时，在上递减，则，故，即得.
综上，实数的取值范围为.故答案为：.
4．[解析]方程变形为：
，
设，则，
在上递减，在上递增，
∴，∴的值域是，
若存在，使得，
则，，∴的最大值为8．故选：D．
四、自定义类型题
1．[解析]（1）,由于，所以，不满足题意；（2）令，则
因为，当时，函数的最大值为
所以，即，，为有界函数；
（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以
故函数为有界函数；
（4）令，则，即，
当时，，无最小值，即，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数．故选B.
2．[解析]因为在定义域上不是单调函数，所以函数不是闭函数，A错误；在定义域上是减函数，由题意设，则，解得
因此存在区间，使在上的值域为，B正确；
在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；
若是闭函数，则存在区间，使函数的值域为，即，所以a，b为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实根.
当时，有，解得；
当时，有，此不等式组无解.
综上所述，，因此D正确，E错误；
故选：BD
3.[解析]（1）若，是“函数”，则满足
则，两式相减得故
即，则这与矛盾，故，不是否为“函数”
（2），
①若，则，则在时单调递减，故不满足存在使得，不合题意
②若，因为，单调递减，且
故时，单调递减，故时，单调递增，
故，，，
若则，则，故得，不合题意
若则，则，故得.故，，
若中存在实数、满足且，的最小值为5.
故在中存在满足，且
故，故，综上所述，的取值范围为
五、含绝对值函数最值问题
1．[解析]因为
当时，，所以当时函数取值最小值；
当时，，所以当时函数取得最小值；当时，
当时因为，所以当时，随增加而变大；
当时，，因为，所以当时，随增加而变小；所以当时，有最小值故答案为：
2.[解析]①当时，
在上单调递增
又单调递减
②当时，
⑴若，则，
在上单调递增
⑵若，则，
在上单调递增，在上单调递减
⑶若，则
在，上单调递增，在上单调递减
又，
当，即时，
当，即时，
综上所述，当时，的值最小，本题正确结果：
3.[解析]时，，，当且仅当时等号成立，又或时，，所以，
而的最大值为10，所以的最大值为，
所以，解得．故答案为：．
4.[解析]设，，，，
的对称轴是，显然的最大值在，，中取得．
当时，，时，，此时，
，若，即时，，，
若，时，，，
若时，若，即时，， ，时取等号，
若，即时，，，时取等号．
综上所述，的最小值是．故答案为：．
5.[解析]（1）当时，∵，∴.
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由题意知，∵，∴，得.∴
令，∵，∴.即在上有最大值为2
则或，得或.
（3）∵且则
令，则，
若，即时，
若，即时，
综上所述，.
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