2.4.1圆的标准方程强化训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

2.4.1 圆的标准方程 强化训练
一、单选题
1．若圆C与圆C′（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是
A．（x＋1）2＋（y－2）2＝1 B．（x-2）2＋（y－1）2＝1
C．（x－1）2＋（y+2）2＝1 D．（x-2）2＋（y+1）2＝1
2．点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
3．方程表示的图形是
A．两个半圆 B．两个圆 C．圆 D．半圆
4．方程表示的是（ ）．
A．以为圆心的圆 B．以为圆心的圆
C．点 D．点
5．以两点和为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为
A． B．
C． D．
7．已知圆C的一条直径的端点坐标分别是和，则圆C的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为
A． B． C． D．
二、多选题
9．以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为
A． B．
C． D．
10．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ）
A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4
D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4
11．实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
12．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
三、填空题
13．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
14．已知圆C:，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是_________.
15．过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是__________.
16．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____.
四、解答题
17．设，为平面直角坐标系内的两点，其中．令，，若，且，则称点为点的“相关点”，记作．
（1）求点的“相关点”的个数；
（2）点的所有“相关点”是否在同一个圆上？若在，写出圆的方程；若不在，请说明理由．
18．已知圆的圆心为且过原点，求圆的标准方程，并判断点，，与圆的位置关系．
19．已知直线经过点，，直线经过点，且.
(1)分别求直线，的方程；
(2)设直线与直线的交点为，求外接圆的方程.
20．已知点，求
（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；
（2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．
参考答案
1．D
【解析】由于圆C′（x+2）2+（y﹣1）2＝1的圆心C′（﹣2，1），半径为1，
圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝1关于原点对称，故C（2，﹣1）、半径为1，
故圆C的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，
故选D．
2．C
【解析】因为，所以点在圆外．
故选：C
3．D
【解析】根据题意，，再两边同时平方，
由此确定图形为半圆.
故选：D
4．C
【解析】由，解得，因此它只表示一个点．
故选:C
5．D
【解析】、，所以，圆的圆心为线段的中点，
圆的半径为，
因此，所求圆的标准方程为.
故选：D.
6．B
【解析】过AB的直线方程为 ，A、B的中点为
所以AB的垂直平分线为
所以圆心坐标为，解得，即圆心坐标为
半径为
所以圆的方程为
所以选B
7．C
【解析】圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），
故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为，
故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10，
故选C．
8．A
【解析】依题意可得直线经过点且斜率为1，则其方程为，即，故选A
9．AD
【解析】解：令，则；令，则.所以设直线与两坐标轴的交点分别为.,
以为圆心，过点的圆的方程为：.以为圆心，过点的圆的方程为：.
故选：AD.
10．AD
【解析】根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
故选：AD.
11．CD
【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点的斜率的值，
设过点的直线为，即，
则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，
所以，即的最大值为，最小值为.
故选：CD.
12．ABD
【解析】圆心坐标为，在直线上，A正确；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B正确；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．
故选：ABD．
13．．
【解析】由，可得，即圆心为，
又圆过原点，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为．
故答案为：
14．1
【解析】解：圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2＝1表示圆心为C（﹣2，﹣m+4），半径R＝1的圆，
求得|OC|，
∴m＝4时，|OC|的最小值为2
故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是﹣R＝2﹣1＝1，
故答案为1．
15．
【解析】的中点为，斜率为，所以的垂直平分线的方程为，化简得，联立，解得圆心坐标为，半径为，故圆的方程为.
考点：直线与圆的位置关系.
16．
【解析】由圆的方程可知圆的圆心为，半径为
设圆的圆心为 与关于直线对称
，解得： 圆的圆心为，半径为
圆的标准方程为：
故答案为
17．（1）8；（2）在，．
【解析】（1）因为（，为非零整数），
所以，或，，
所以点的“相关点”有8个．
（2）设点的“相关点”的坐标为，
由（1）知，即，
所以所有“相关点”都在以为圆心，为半径的圆上，
所求圆的方程为．
18．，点在圆内，点在圆上，
点在圆外．
【解析】因为圆过原点，圆心为，
所以圆的半径，
因此圆的标准方程为,
由，所以点在圆内
由，所以点在圆上,
由，所以点在圆外．
19．（1）；（2）.
【解析】（1）根据两点式即可求出直线l1的方程，根据直线垂直的关系即可求l2的方程；（2）先求出C点坐标，通过三角形的长度关系知道三角形是以AC为斜边长的直角三角形，故AC的中点即为外心，AC即为直径.
解析：
(1)∵直线经过点，，
∴，
设直线的方程为，∴，∴.
(2)，即：，∴，的中点为，
∴的外接圆的圆心为，半径为，∴外接圆的方程为：.
20．（1）；（2）
【解析】(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，
半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.
(2) 解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0
由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法2：待定系数法
设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则
∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.