2.1等式同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

北京·高一·同步练习
等式
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
3．关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大 小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大 小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
5．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果 ，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
6．若是方程的两个根，则( )
A． B．2 C．4 D．8
7．关于，的方程组的解集，不正确的说法是（ ）
A．可能是空集 B．必定不是空集
C．可能是单元素集合 D．可能是无限集
8．设，，，，则，，的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．
9．如果一元二次方程的解集为，那么二次三项式可分解为（ ）
A． B． C． D．
10．设实数，分别满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是________.
12．已知一元二次方程的两根分别是，，则______；______．
13．方程的两根为，，则________．
14．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
15．关于x的一元二次方程2ax2﹣2x﹣3a﹣2＝0的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是_________．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．（1）求方程的解集；
（2）求方程组的解集.
17．已知关于的一元二次方程的两根为，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的最小值．
18．设关于的方程的解集为．
（1）求证：中至少有2个元素；
（2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和．
19．已知，是方程的两个实数根，且.
（1）求值；
（2）求的值.
20．已知关于的方程.
（1）求证：不论为何值，方程必有实数根；
（2）当为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值；若没有，请说明理由.
21．已知关于的一元二次方程
（1）无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根，满足，求实数的值.
试卷第2页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
由于集合分别表示抛物线、直线的点集，联立两方程，求出交点个数，即可得出结论.
【详解】
联立，解得或，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】
解方程组求得，根据解集为点集可得结果.
【详解】
由得：，方程组的解集为.
故选：C.
3．D
【分析】
根据题意得且，解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为关于的方程有两个不等的实根
且，即：且，
解得且.
故选：D.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实数根问题，是基础题.
4．C
【分析】
根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.
【详解】
依题意可设买大竹子，每根单价为，
购买小竹子，每根单价为，
所以，
即，即，
因为，
所以，
根据选项，，
所以买大竹子根，每根元.
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.
5．B
【分析】
A.由时判断；B.由等式的性质判断；C.由时判断；D.由，得到或判断.
【详解】
如果，当时，那么不成立，故A错误；
如果 ，由等式的性质知，故B正确；
如果当时，那么 不成立，故C错误；
如果，那么或，故D错误.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等式的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6．C
【分析】
根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解.
【详解】
因为是方程的两个根，
所以由根与系数之间的关系，，，
故.
故选：C.
7．A
【分析】
当时，与重合，当时，与相交，即可求出结果．
【详解】
当时，与重合，解集是 无限集，则D正确；
当时，有单元素集合，则B，C正确；
故选：A
8．C
【分析】
通过作差法分别比较与，与的大小，从而得出，，的大小关系.
【详解】
因为，所以，
所以，
，
所以，即.
故选：C.
9．D
【分析】
根据一元二次方程的解集，写出二次三项式因式分解的结果.
【详解】
一元二次方程的解集为，
，
可分解为.
故选：D
10．B
【分析】
由，可得，再由，可得是方程的两个根，再利用根与系数的关系，对化简计算可得答案
【详解】
由，得，
因为，
所以是方程的两个根，
所以，
所以
，
故选：B
11．
【分析】
利用韦达定理即可求解.
【详解】
由韦达定理，，故.
故答案为：
12．
【分析】
利用韦达定理以及即得解
【详解】
由题意，
由韦达定理，
故答案为：，
13．4
【分析】
由韦达定理求得，代入计算．
【详解】
由题意，，
所以
故答案为：4．
14．
【分析】
根据、是关于的方程的两个实数根，由，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.
【详解】
因为、是关于的方程的两个实数根，
所以，解得 ，
所以，
则 ，
，
，
，
所以的最小值为，
故答案为：
15．或
【分析】
由题意，函数2ax2﹣2x﹣3a﹣2与轴的交点一个在的左侧，一个在右侧，若，则；若，则，求解即可
【详解】
设2ax2﹣2x﹣3a﹣2，
由题意可得：函数与轴的交点一个在的左侧，一个在的右侧，
若，保证即可
则，又，
若，则即可
则，又，
综上，或
故答案为：或
16．（1）； （2）.；
【分析】
（1）化简方程为，即可求解；
（2）由，求得或，
分类讨论，联立方程组，即可求解.
【详解】
（1）由方程，
所以或或，即方程的解集为.
（2）由方程，
可得或，
当时，联立方程组，即，
解得或；
当时，联立方程组，即，
解得或.
综上可得，方程组的解集为.
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据判别式即可得答案
（2）利用根与系数的关系，代入，根据（1）中实数的取值范围可得最小值.
【详解】
解：（1）由已知，
解得且，
即实数的取值范围是；
（2）由已知，
则，
因为（1）得且，则，
即的最小值为.
18．（1）证明见解析；（2）；当时，中3个元素之和为；当时，中3个元素之和为3．
【分析】
（1）将方程去绝对值，进而通过判别式法判定方程根的个数，最后解决问题；
（2）结合（1），根据题意再利用判别式法求出a，进而解得答案.
【详解】
（1）方程等价于或．
记方程的解集为，
因为，所以中含有2个元素．
又因为，所以中至少有2个元素．
（2）记方程的解集为，由（1）知，中恰有1个元素．
所以，因此，．
当时，，中2个元素之和为-2，所以中3个元素之和为；
当时，，中2个元素之和为2，所以中3个元素之和为3．
19．（1）；（2）66.
【分析】
（1）由判别式，可求得的取值范围，由韦达定理结合可求得实数的值；（2）利用完全平方和公式及韦达定理即可得解.
【详解】
解：（1）∵，是方程的两个实数根.
∴，即，且，.
又∵
∴
∴，即
∴或（舍）.
故的值为.
（2）由（1）可知，
∴.
故的值为66.
20．（1）见解析；（2）当为整数时，关于的方程没有有理根. 理由见解析.
【分析】
（1）对二次项系数分类讨论，结合判别式即可证明；
（2）先计算出并且设为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论的存在性．变形为，利用都为整数进行讨论即可．
【详解】
（1）证明：当，即时，原方程为，
此方程为一元一次方程，其根为；
当，即时，
∴当时，原方程必有两个不相等的实数根，
综上所述，不论为何值，方程必有实数根；
（2）解：当为整数时，关于的方程没有有理根.
理由如下：
①当时，（不合题意舍去）；
②当且为整数时，假设关于的方程有有理根.
则要为完全平方数，设（为整数），
即（为整数），所以有，
∵与的奇偶性相同，并且、都是整数，
∴或，
解得（不合题意舍去）.
综上所述，当为整数时，关于的方程没有有理根.
21．（1）证明见解析；（2）或．
【分析】
（1）证明判别式恒大于0即可；
（2）由韦达定理得，，结合已知可求得值．
【详解】
（1）恒成立，
所以原方程始终有两个不相等的实根．
（2）由题意，
又，所以，，
所以，解得或．
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