第二章等式与不等式章节检测 -2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

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章节检测
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．若为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，给出下列不等式．①；②；③；④．其中正确的不等式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在上的定义运算，则满足的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
5．若，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（ ）
A．－3 B．1
C．－1 D．3
8．设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是
A． B．
C． D．
9．若，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．{a|a＞1} D．
10．已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知集合，，则________．
12．设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___________.
13．已知方程的两根分别为，，尝试构造一个二次项系数为1，且两根分别为，的一元二次方程___________.
14．已知，，且，则的最小值为________.
15．已知，，则的范围是_________，的范围是________．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，且不等式对都成立，求实数的取值范围.
17．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
18．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
19．若关于x的方程有两个不相等的实根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
20．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第年花在该渔船维修等事项上的所有费用为万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.
（1）该船捕捞几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出；
哪一种方案较为合算？请说明理由.
21．已知关于x的不等式，
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集.
①；
②.
注：如果选择多个条件作答，按第一个解答计分.
试卷第2页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
对于A，当时，，可判断；
对于B，举反例，当，时，代入比较可判断；
对于C，作差 ，由已知可判断；
对于D，运用作差比较法可判断.
【详解】
对于A，当时，，A错误；
对于B，当，时，，，此时，B错误；
对于C，因为，所以，又，，C错误；
对于D，，，，，
，D正确.
故选：D.
2．C
【分析】
根据，推出之间的大小关系从而得出答案.
【详解】
由
故①③对②错误，由
所以（当且仅当取等号）
因为，所以，故④对
故选：C
3．B
【分析】
根据运算的定义可得关于的不等式，从而可求不等式的解集.
【详解】
即为，整理得到，
故，
故选：B．
4．A
【分析】
利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】
解： ，，且，
对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，
对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，
对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，
故选：A
5．A
【分析】
由不等式的性质求解即可
【详解】
,
，
，
，
，
又可得，
所以，
所以的取值范围是
故选：A
6．C
【分析】
由已知可得和是方程的两根，利用根与系数的关系求得与的值，代入不等式，求解得答案．
【详解】
解：关于实数的不等式的解集是或，
和是方程的两根，
则，，．
不等式即为，解得或．
不等式的解集是，
故选：C．
7．A
【分析】
先解一元二次不等式得到集合A和B，求得交集，再利用解集求得一元二次不等式x2＋ax＋b＜0系数的关系，即得结果.
【详解】
由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．
A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：
a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.
故选：A.
8．D
【详解】
,
若,则 ,BA,
若,则A,
若,则A,A的一个充分不必要条件是.
9．D
【分析】
将已知转化为，，利用函数的单调性求最值即可得解.
【详解】
由于，不等式恒成立
所以，恒成立，即 恒成立
令，显然在 上单调递减，
所以实数a的取值范围是
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
10．D
【分析】
当时,只需讨论不等式的解集是否为,当时,一元二次不等式解集是,只需满足,求解即可.
【详解】
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，解得，不满足题意；
当时，由的解集为，
可知,
解得.
综上，.
故选:D.
【点睛】
解集是;
解集是.
11．
【分析】
根据和的范围确定集合和集合，再根据交集定义求得结果.
【详解】
由题意得：，
故答案为：
【点睛】
本题考查集合运算中的交集运算，关键是能够准确确定集合中的元素所处的范围.
12．
【分析】
由题意得出和，然后将分式不等式化为，解出该分式不等式即可得出结果.
【详解】
解:由题可知，不等式的解为，
而，
所以，则，
则不等式，而，则，
所以，解得：，
所以不等式的解集为：.
故答案为：.
13．
【分析】
根据韦达定理得，设出所求方程，利用韦达定理即可求出.
【详解】
因为的两根分别为，，，
设满足条件的一元二次方程为，
则，则，，
故所求方程为.
故答案为：.
14．7
【分析】
由条件可得，
展开后利用基本不等式可得最小值.
【详解】
由
可得
当且仅当，即时，取得最小值7.
故答案为:7.
【点睛】
本题主要考查了巧用“1”求最值，涉及基本不等式的应用，属于基础题.
15．
【分析】
利用不等式的基本性质可求得的取值范围，利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
，，两个不等式相加可得，解得，
设，
所以，，解得，，
因为，，
由不等式的基本性质可得.
故答案为：；.
【点睛】
易错点点睛：本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，一般而言，不等式次数用得越多，所得代数式的取值范围越不准确，本题在求的取值范围时，可充分利用待定系数法得出，进而利用不等式的基本性质求解.
16．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系即可求解；
（2）令，将原问题转化为，求解即可.
【详解】
解：（1）∵不等式的解集为，
1和6是方程的两根且，
由根与系数的关系得：，
解得：；
（2）令，则原问题等价于，
即，
解得：，
又，
∴实数的取值范围是.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）用二次不等式的解集与对应二次方程的根的关系；
（2）“1”的巧用.
【详解】
（1），解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.
（2），则，
当，即时取等号，即时有最小值.
【点睛】
二次函数的零点二次方程的根二次不等式的解集；，构造“1”，巧用“1”.
18．（1）当时，车流量最大，最大车流量为（千辆/时）；（2）.
【分析】
（1）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果，由等号成立求得对应的值，即可得解；
（2）解不等式即可求得的取值范围，进而可得解.
【详解】
（1）依题意，当且仅当等号成立，
最大车流量（千辆/时）；
（2）由条件得，整理得，解得.
故汽车的平均速度应该在范围内.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19．（1）且；（2）不存在，理由见详解.
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实根，结合即可求得；
（2）利用韦达定理，结合方程根的倒数和为0，解方程即可，注意结果的验证.
【详解】
（1）要使方程有两个不相等的实根，
则
即
解得且．
（2）不存在．理由如下：
设方程的两根分别是和，
则，
，
∴，即．
∵且，∴不符合题意，
故不存在满足条件的实数k．
【点睛】
本题考查韦达定理的应用，以及由方程根的情况，求解参数的范围.
20．（1）捕捞3年开始盈利（2）方案①合算，详见解析
【分析】
（1）写出盈利的函数解析式，计算出使函数大于零的最小的值；（2）先求出平均盈利的函数，利用基本不等式计算出最大值；再根据二次函数相关知识计算出盈利总额的最大值，两者作比较得出结论.
【详解】
（1）设捕捞年的盈利为万元，
则.
由，得，
解得.
则，故.所以捕捞3年开始盈利.
（2）①，当且仅当，即时取等号.
故经过7年捕捞，年平均盈利最大，共盈利万元.
②因为，
所以当时，取得最大值102.
即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利万元.
综上知，两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算.
【点睛】
本题考查函数的实际问题，难度一般.（1）实际问题中，要注意给出函数的定义域；（2）利用基本不等式求解最值时，注意取等号的条件.
21．（1）；（2）若选择条件①，则当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；若选择条件②，则当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
【分析】
（1）直接按照一元二次不等式的解法求解即可.
（2）若选择条件①，原不等式可变形为，分，，三种情况分别求解；若选择条件②，原不等式可变形为，分，，，，五种情况分别求解.
【详解】
（1）当时，
，即
∵方程有两个不相等的实数根
，
结合函数的图象可知，不等式的解集为.
故当时，不等式的解集为.
（2）选择条件①
则，即
①当时，不等式，解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
故若选择条件①，则当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
选择条件②
则，即
①当时，不等式；
②当时，不等式
或；
③当时，不等式
；
i当，即时，；
ii当，即时，；
iii当，即时，.
综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
故若选择条件②，则当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
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