3.3.2 抛物线的简单几何性质 强化训练——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.2 抛物线的简单几何性质 强化训练——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 651.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-24 21:43:27 | ||
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文档简介
3.3.2 抛物线的简单几何性质 强化训练
一、单选题
1．已知点在抛物线上，若点到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于
A． B． C． D．
2．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
3．已知直线及抛物线，则（ ）
A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点
4．抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，其面积为
A． B． C． D．
5．A是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，,则抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，在准线上的射影为，，则等于( )．
A． B． C． D．
二、多选题
9．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0可能的取值是（ ）
A．0 B．2
C．4 D．6
10．已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
11．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）
A．点的纵坐标的取值范围是
B．等于点到抛物线的准线的距离
C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2
D．周长的取值范围是
12．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为 D．的面积为4
三、填空题
13．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6，则其标准方程为_________．
14．一条光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为___________.
15．已知抛物线的焦点为，准线为．若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为____．
16．如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．
四、解答题
17．已知抛物线与直线相交于、两点.
（1）求证：；
（2）当的面积等于时，求的值.
18．已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.
（1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.
19．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=与抛物线C交于A，B两点.
（1）求AB弦长；
（2）求△FAB的面积.
20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程．
参考答案
1．C
【解析】由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到抛物线准线的距离，
即，解得：，
又焦点到抛物线准线的距离为，所求距离为.
故选：.
2．C
【解析】由题意，抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，
若为的中点，如图所示，
可知的横坐标为1，则的纵坐标为，
故选C．
3．C
【解析】直线，直线过定点．
当时，直线与抛物线有一个公共点，即顶点；
当时，点在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，
综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点.
故选：.
4．D
【解析】据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，
∴PM⊥抛物线的准线，
设P（，m），则M（﹣1，m），
等边三角形边长为1+，F（1，0）
所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，
∴等边三角形边长为4，其面积为4
故答案选D．
5．A
【解析】过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.
故选A.
6．B
【解析】
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
7．C
【解析】抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，准线l与x轴交于H点，
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，
|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，
则∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，
∴，
则丨AF丨＝丨AD丨，
设直线AB的方程y（x﹣1），
，整理得：3x2﹣10x+3＝0，
则x1+x2，
由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p，
∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，
故选C．
8．B
【解析】分析：由抛物线的定义及内错角相等，可得∠AFA1=∠A1FK，同理可证∠BFB1=∠B1FK，由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，可得答案．
解答：解：如图：
设准线与x轴的交点为K，∵A、B在抛物线的准线上的射影为A1、B1，
由抛物线的定义可得，AA1=AF，∴∠AA1F=∠AFA1，又由内错角相等得∠AA1F=∠A1FK，∴∠AFA1=∠A1FK．
同理可证∠BFB1=∠B1FK． 由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，
∴∠A1FK+∠B1FK=∠A1FB1=90°，
故选B．
9．CD
【解析】由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.
由抛物线定义，|MF|＝y0＋2，因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2.
故选：CD
10．ABC
【解析】对于选项A：由可得，根据抛物线的定义可得，故选项A正确；
对于选项B：设为中点，设点在上的射影为，点在上的射影为，则由梯形性质可得，故选项B正确；
对于选项C：因为，所以，故选项C正确；
对于选项D：显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过 的直线为，联立可得，令，解得：，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，
故选项D错误；
故选：ABC
11．BCD
【解析】∵圆的圆心为，半径，
∴与轴正半轴的交点为，
∵抛物线的焦点为，准线方程为，
由，得，故点的纵坐标，故A错误；
由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确；
易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确；
的周长为，故D正确.
故选：BCD.
12．AC
【解析】过点向准线作垂线，垂足为，，设，
如下图所示：
A．因为，所以，
又因为，所以，所以平分，
同理可知平分，所以，故结论正确；
B．假设为等腰直角三角形，所以，
所以四点共圆且圆的半径为，
又因为，所以，
所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；
C．设直线的方程为，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；
D．取，由上可知，所以，
所以，故结论错误.
故选：AC.
13．或
【解析】设焦点，即，
解得或．
当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为；
当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为．
故答案为：或
14．
【解析】抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出.
设，，则，，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
故答案为：.
15．
【解析】解：如图所示，设，
过点作于点，
由抛物线的定义知，，，；
在中，，，
从而；
又，所以，
即，所以；
在中，，，
所以，
所以抛物线的标准方程为．
故答案为．
16．4
【解析】设点 的坐标为： ，
由题意可知： ，
由抛物线中定值的结论可知： ，
据此可知： ，当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为4.
点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在.
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】证明：设、；
直线过定点，，，
由、、共线，
∴，
又，∴，
∴，
∴，
解：，则，得，
则，
∴，
.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）因为双曲线的方程为，
所以.
所以.所以.
所以双曲线的焦点坐标分别为.
（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，
所以.
因为点为抛物线上一点，
所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.
因为点到拋物线的焦点的距离是5，
即，
所以.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）由消去整理得，
其中，
设A（，），B（，）.
则，.
所以，
所以=.
（2）由题意得点F（1，0），
故点F到直线AB的距离，
所以.
即△FAB的面积为．
20．（1）；（2）或
【解析】
（1）由点在抛物线上，有，解得，
由抛物线定义有：，解：，
故抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为：，联立方程，消去得：，
故有：，，，
，
则，故，解得：，
所求直线的方程为：或．
一、单选题
1．已知点在抛物线上，若点到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于
A． B． C． D．
2．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
3．已知直线及抛物线，则（ ）
A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点
4．抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，其面积为
A． B． C． D．
5．A是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，,则抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，在准线上的射影为，，则等于( )．
A． B． C． D．
二、多选题
9．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0可能的取值是（ ）
A．0 B．2
C．4 D．6
10．已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
11．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）
A．点的纵坐标的取值范围是
B．等于点到抛物线的准线的距离
C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2
D．周长的取值范围是
12．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为 D．的面积为4
三、填空题
13．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6，则其标准方程为_________．
14．一条光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为___________.
15．已知抛物线的焦点为，准线为．若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为____．
16．如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．
四、解答题
17．已知抛物线与直线相交于、两点.
（1）求证：；
（2）当的面积等于时，求的值.
18．已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.
（1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.
19．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=与抛物线C交于A，B两点.
（1）求AB弦长；
（2）求△FAB的面积.
20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程．
参考答案
1．C
【解析】由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到抛物线准线的距离，
即，解得：，
又焦点到抛物线准线的距离为，所求距离为.
故选：.
2．C
【解析】由题意，抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，
若为的中点，如图所示，
可知的横坐标为1，则的纵坐标为，
故选C．
3．C
【解析】直线，直线过定点．
当时，直线与抛物线有一个公共点，即顶点；
当时，点在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，
综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点.
故选：.
4．D
【解析】据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，
∴PM⊥抛物线的准线，
设P（，m），则M（﹣1，m），
等边三角形边长为1+，F（1，0）
所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，
∴等边三角形边长为4，其面积为4
故答案选D．
5．A
【解析】过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.
故选A.
6．B
【解析】
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
7．C
【解析】抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，准线l与x轴交于H点，
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，
|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，
则∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，
∴，
则丨AF丨＝丨AD丨，
设直线AB的方程y（x﹣1），
，整理得：3x2﹣10x+3＝0，
则x1+x2，
由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p，
∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，
故选C．
8．B
【解析】分析：由抛物线的定义及内错角相等，可得∠AFA1=∠A1FK，同理可证∠BFB1=∠B1FK，由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，可得答案．
解答：解：如图：
设准线与x轴的交点为K，∵A、B在抛物线的准线上的射影为A1、B1，
由抛物线的定义可得，AA1=AF，∴∠AA1F=∠AFA1，又由内错角相等得∠AA1F=∠A1FK，∴∠AFA1=∠A1FK．
同理可证∠BFB1=∠B1FK． 由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°，
∴∠A1FK+∠B1FK=∠A1FB1=90°，
故选B．
9．CD
【解析】由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.
由抛物线定义，|MF|＝y0＋2，因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2.
故选：CD
10．ABC
【解析】对于选项A：由可得，根据抛物线的定义可得，故选项A正确；
对于选项B：设为中点，设点在上的射影为，点在上的射影为，则由梯形性质可得，故选项B正确；
对于选项C：因为，所以，故选项C正确；
对于选项D：显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过 的直线为，联立可得，令，解得：，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，
故选项D错误；
故选：ABC
11．BCD
【解析】∵圆的圆心为，半径，
∴与轴正半轴的交点为，
∵抛物线的焦点为，准线方程为，
由，得，故点的纵坐标，故A错误；
由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确；
易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确；
的周长为，故D正确.
故选：BCD.
12．AC
【解析】过点向准线作垂线，垂足为，，设，
如下图所示：
A．因为，所以，
又因为，所以，所以平分，
同理可知平分，所以，故结论正确；
B．假设为等腰直角三角形，所以，
所以四点共圆且圆的半径为，
又因为，所以，
所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；
C．设直线的方程为，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；
D．取，由上可知，所以，
所以，故结论错误.
故选：AC.
13．或
【解析】设焦点，即，
解得或．
当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为；
当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为．
故答案为：或
14．
【解析】抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出.
设，，则，，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
故答案为：.
15．
【解析】解：如图所示，设，
过点作于点，
由抛物线的定义知，，，；
在中，，，
从而；
又，所以，
即，所以；
在中，，，
所以，
所以抛物线的标准方程为．
故答案为．
16．4
【解析】设点 的坐标为： ，
由题意可知： ，
由抛物线中定值的结论可知： ，
据此可知： ，当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为4.
点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在.
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】证明：设、；
直线过定点，，，
由、、共线，
∴，
又，∴，
∴，
∴，
解：，则，得，
则，
∴，
.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）因为双曲线的方程为，
所以.
所以.所以.
所以双曲线的焦点坐标分别为.
（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，
所以.
因为点为抛物线上一点，
所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.
因为点到拋物线的焦点的距离是5，
即，
所以.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）由消去整理得，
其中，
设A（，），B（，）.
则，.
所以，
所以=.
（2）由题意得点F（1，0），
故点F到直线AB的距离，
所以.
即△FAB的面积为．
20．（1）；（2）或
【解析】
（1）由点在抛物线上，有，解得，
由抛物线定义有：，解：，
故抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为：，联立方程，消去得：，
故有：，，，
，
则，故，解得：，
所求直线的方程为：或．