3.2.1 双曲线及其标准方程 课时强化训练——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

3.2.1 双曲线及其标准方程 强化训练
一、单选题
1．已知，则动点的轨迹是（　）
A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支
2．如图，已知双曲线的方程为，点、均在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，，为双曲线的左焦点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，且的中点在以为圆心，为半径的圆上，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
4．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是
A． B． C． D．
5．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)
A． B．
C． D．
6．已知平面内两定点，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，直线分别与以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆相切于点，则（ ）
A． B．6 C．8 D．10
二、多选题
9．(多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（ ）
A．2 B．－1 C．4 D．－3
10．已知方程表示的曲线为.给出下列四个判断正确的是（ ）
A．当时，曲线表示椭圆
B．当或时，曲线表示双曲线
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
11．(多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．7
C．17 D．22
12．已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．如图所示，已知双曲线以长方形的顶点，为左、右焦点，且双曲线过，两顶点．若，，则此双曲线的标准方程为________________．
14．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于________.
15．给出问题：分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离.某学生的解答如下：
由，即，得或.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确答案填在横线上.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________.
四、解答题
17．已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．
18．已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，三角形的周长等于26时，求此双曲线的标准方程．
19．已知与双曲线共焦点的双曲线过点，求该双曲线的标准方程.
20．已知双曲线是其两个焦点，点在双曲线上.
（1）若，求的面积；
（2）若的面积是多少？若的面积又是多少？
参考答案
1．A
【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，
其方程为：，故选A.
2．B
【解析】由双曲线的定义，知，，
又，所以的周长为.
故选：B.
3．B
【解析】依题意得，，从而.
且，
由是的中点，是的中点得，
.
在双曲线的右支上，
，因此，
故选：B.
4．B
【解析】设双曲线的标准方程为由的中点为知，，即，双曲线方程为，故选B.
5．D
【解析】由题意得动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6,知轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c＝5，a＝3，∴b＝4，∴点P的轨迹方程是.
故答案为：D.
6．A
【解析】当时，，满足双曲线的定义，所以点的轨迹是双曲线.
故选：A
7．C
【解析】由已知．因为点在双曲线上且，且的面积为，所以，又，所以，即，，，故选C．
8．B
【解析】由题意，双曲线，可得，则，
设点在双曲线的右支上，如图所示，
过作于点.易得四边形为矩形，
因为，
所以
又因为，
所以在中，，
所以.
故选：B.
9．AB
【解析】设双曲线的方程为，则c＝3，
∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，
∴，且，∴AB满足条件．
故选：AB
10．BC
【解析】对于A项，由解得或，即当或时，曲线表示椭圆，故A错误；
对于B项，由，解得或，即当或时，曲线表示双曲线，故B正确；
对于C项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则解得，故C正确；
对于D项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D错误；
故选：BC.
11．AD
【解析】因为a2＝25，所以a＝5．
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10．
由题意知|PF1|＝12，
所以|PF1|－|PF2|＝±10，
所以|PF2|＝22或2．
故选：AD
12．AB
【解析】解：因为四边形的面积为，
所以，整理得，
记四边形内切圆半径为r，则，得．
又，所以，
又，联立可得，或，
所以双曲线的方程为或．
故选：AB.
13．x2-=1
【解析】由题意可知，
所以，则，
故方程为：
14．24
【解析】双曲线的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，
由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=×8×6=24．
故答案为24．
15．学生的解答不正确，.
【解析】学生的解答不正确，.
理由如下：
由双曲线的定义知，，即.
正负号的取舍取决于点的位置是在双曲线的左支上还是右支上.
因为点到左焦点的距离为，所以点只能在双曲线的左支上.
所以.
故答案为：学生的解答不正确，.
16．26
【解析】由题得|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16.
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21.
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
故答案为26
17．（1）；（2）1．
【解析】（1）设双曲线方程为，
由条件知，，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）由双曲线的定义可知，．
∵，
∴，即
∴，
∴的面积．
18．或
【解析】当双曲线的焦点在横轴时，设，是双曲线的左右两个焦点
三角形的周长等于26，所以有，
由双曲线的定义可知：，，两式相加得：
即，即，而，
因此可得，因为，所以，
于是，所以双曲线方程为：，
当双曲线的焦点在纵轴时，同理可得双曲线方程为：，
综上所述：双曲线方程为：或.
19．（1）9；（2）；.
【解析】设，（不妨设），，
因为已知，
所以只需求即可.
（1）当时，.
由双曲线方程知，
由双曲线的定义，得，
两边平方，得，
又，
即，即，
求得.
（2）若，则在中，，所以，
求得.
同理，可求得时，.
20．
【解析】双曲线，则.
设所求双曲线的标准方程为.
∵所求双曲线与双曲线共焦点，
，
故所求双曲线方程可写为.
∵点在所求双曲线上，
，
化简得，解得或.
当时，，不合题意，舍去，
，
∴所求双曲线的标准方程为.