3.1.2椭圆的几何性质 同步练习——2021--2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.2椭圆的几何性质 同步练习——2021--2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 757.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-24 21:45:04 | ||
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文档简介
3.1椭圆的性质精准练--2021--2022人教A（2019）选择性必修第一册高二上学期
一．选择题（共7小题）
1．椭圆的短轴长为
A．2 B．3 C．4 D．6
2．在椭圆，的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，则
A． B． C． D．
4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上．若椭圆的短轴长为4，离心率为，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
5．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为
A． B． C． D．
6．关于椭圆，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：的焦距为6；
丁：的焦点在轴上．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为
A． B． C． D．1
8．某颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
9．设椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆上一点，垂直于轴，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．
10．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且△面积的最大值为，则椭圆的短轴长为 ．
三．解答题（共2小题）
11．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△的面积．
12．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
椭圆的性质精准练
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．椭圆的短轴长为
A．2 B．3 C．4 D．6
解：因为椭圆，
所以，
所以，
所以椭圆的短轴长为，
故选：．
2．在椭圆，的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
解：由椭圆的方程可得，，
所以，可得，
设的坐标为，则，
所以，
所以，
可得，
所以离心率，
故选：．
3．已知椭圆的离心率为，则
A． B． C． D．
解：由题意可得，即，
，
，即，
，
．
故选：．
4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上．若椭圆的短轴长为4，离心率为，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
解：由题意可得，即，
又椭圆的离心率为，
，即①，
，
②，
联立①②可得，，，
椭圆的方程为．
故选：．
5．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为
A． B． C． D．
解：由题意可得，，，
解得：，，
所以椭圆的方程为：，
故选：．
6．关于椭圆，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：的焦距为6；
丁：的焦点在轴上．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：当甲乙为真命题时，椭圆方程为，
椭圆的焦距为：，且焦点在轴上，
此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．
当乙，丙和丁是真命题时，，，
，
此时椭圆方程为：，符合题意．
故选：．
7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为
A． B． C． D．1
解：设，，，，则的中点坐标为，，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，所以，
所以，即直线的斜率为，
故选：．
8．（多选题）某颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则
A． B． C． D．
解：设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则由题意可知：，，可得，所以正确；
，所以正确；
可得，即，故不正确；
又．则．
则，所以正确；
故选：．
二．填空题（共2小题）
9．设椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆上一点，垂直于轴，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．
解：椭圆的两个焦点分别为、，垂直于轴，
，
△为等腰直角三角形，
，
，即，解得或（舍去），
．
故答案为：．
10．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且△面积的最大值为，则椭圆的短轴长为 ．
解：易知椭圆为焦点在轴的椭圆，且：，，，
则焦点坐标为，，
满足题意时，点为椭圆的左顶点或者右顶点，
设椭圆的短轴长为，从而有：，，
即椭圆的短轴长为．
故答案为：．
三．解答题（共2小题）
11．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△的面积．
解：（1）根据题意，椭圆焦点为，，
则椭圆的焦点在轴上，且；
又由椭圆经过点，则，
即，
则，
又由椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，由（1）的结论：椭圆的标准方程为，则，
又由椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2，设，则有，
解可得：，，
又由，
则为直角三角形，其面积；
故△的面积为6．
12．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，
可得右焦点，即，
由题意可得，解得，，
即有椭圆的方程为；
（Ⅱ）假设椭圆上存在关于直线对称的两点、，
可设的方程为，
代入椭圆方程，可得
，
即有△，即，
解得，
设，，，，
可得，
即有的中点坐标为，，
代入直线，可得，
即有，，
则存在，，且的方程为．
一．选择题（共7小题）
1．椭圆的短轴长为
A．2 B．3 C．4 D．6
2．在椭圆，的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，则
A． B． C． D．
4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上．若椭圆的短轴长为4，离心率为，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
5．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为
A． B． C． D．
6．关于椭圆，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：的焦距为6；
丁：的焦点在轴上．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为
A． B． C． D．1
8．某颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
9．设椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆上一点，垂直于轴，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．
10．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且△面积的最大值为，则椭圆的短轴长为 ．
三．解答题（共2小题）
11．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△的面积．
12．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
椭圆的性质精准练
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．椭圆的短轴长为
A．2 B．3 C．4 D．6
解：因为椭圆，
所以，
所以，
所以椭圆的短轴长为，
故选：．
2．在椭圆，的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
解：由椭圆的方程可得，，
所以，可得，
设的坐标为，则，
所以，
所以，
可得，
所以离心率，
故选：．
3．已知椭圆的离心率为，则
A． B． C． D．
解：由题意可得，即，
，
，即，
，
．
故选：．
4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上．若椭圆的短轴长为4，离心率为，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
解：由题意可得，即，
又椭圆的离心率为，
，即①，
，
②，
联立①②可得，，，
椭圆的方程为．
故选：．
5．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为
A． B． C． D．
解：由题意可得，，，
解得：，，
所以椭圆的方程为：，
故选：．
6．关于椭圆，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：的焦距为6；
丁：的焦点在轴上．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：当甲乙为真命题时，椭圆方程为，
椭圆的焦距为：，且焦点在轴上，
此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．
当乙，丙和丁是真命题时，，，
，
此时椭圆方程为：，符合题意．
故选：．
7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为
A． B． C． D．1
解：设，，，，则的中点坐标为，，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，所以，
所以，即直线的斜率为，
故选：．
8．（多选题）某颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则
A． B． C． D．
解：设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则由题意可知：，，可得，所以正确；
，所以正确；
可得，即，故不正确；
又．则．
则，所以正确；
故选：．
二．填空题（共2小题）
9．设椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆上一点，垂直于轴，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．
解：椭圆的两个焦点分别为、，垂直于轴，
，
△为等腰直角三角形，
，
，即，解得或（舍去），
．
故答案为：．
10．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且△面积的最大值为，则椭圆的短轴长为 ．
解：易知椭圆为焦点在轴的椭圆，且：，，，
则焦点坐标为，，
满足题意时，点为椭圆的左顶点或者右顶点，
设椭圆的短轴长为，从而有：，，
即椭圆的短轴长为．
故答案为：．
三．解答题（共2小题）
11．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△的面积．
解：（1）根据题意，椭圆焦点为，，
则椭圆的焦点在轴上，且；
又由椭圆经过点，则，
即，
则，
又由椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，由（1）的结论：椭圆的标准方程为，则，
又由椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2，设，则有，
解可得：，，
又由，
则为直角三角形，其面积；
故△的面积为6．
12．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，
可得右焦点，即，
由题意可得，解得，，
即有椭圆的方程为；
（Ⅱ）假设椭圆上存在关于直线对称的两点、，
可设的方程为，
代入椭圆方程，可得
，
即有△，即，
解得，
设，，，，
可得，
即有的中点坐标为，，
代入直线，可得，
即有，，
则存在，，且的方程为．