3.1.2 椭圆的简单几何性质 强化训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质 强化训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 866.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-24 21:50:00 | ||
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文档简介
3.1.2 椭圆的简单几何性质 强化训练
一、单选题
1．中心在原点，焦点在 轴上， 若长轴长为 ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是
A． B． C． D．
2．直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
3．已知直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．直线被椭圆所截得线段的中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A．6 B．15 C． D．
6．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ）
A． B． C． D．4
7．若直线与椭圆有且只有一个交点，则斜率的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ）
A． B．
C． D．
10．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c1=a2+c2 B．a1-c1=a2-c2 C． D．
11．（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．当时，满足的点有2个
B．当时，满足的点有4个
C．的周长小于
D．的面积大于等于
12．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2 B．面积的最大值为
C．直线的斜率为 D．为钝角
三、填空题
13．在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________.
14．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是_________．
15．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为__________
16．已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，的面积为6，则______．
四、解答题
17．已知椭圆C：（）的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆方程；
（2）过作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长.
18．设椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
19．已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求△ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程．
20．已知为椭圆上一点，分别为关于轴，原点，轴的对称点，
（1）求四边形面积的最大值；
（2）当四边形最大时，在线段上任取一点，若过的直线与椭圆相交于两点，且中点恰为，求直线斜率的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】长轴，长轴三等分后，故，故选.
2．A
【解析】解法一：直线过点，将代入得，，即点在椭圆内部，所以直线与椭圆相交；
解法二：联立直线与椭圆的方程，得消去得，，，所以直线与椭圆相交．
故选：A．
3．C
【解析】由得．
∵直线与椭圆有公共点，
，
解得或．
故选：C
4．C
【解析】直线与椭圆联立，得消去整理，得．
设直线与椭圆的交点，中点．
，
∴中点坐标为．
故选：C
5．D
【解析】由椭圆方程得，．
，
故选：D
6．C
【解析】因为椭圆的，所以，
因为，所以，则.
故选：C
7．C
【解析】解：已知直线与椭圆有且只有一个交点，
由消去并整理，得，
由题意知，，
解得：.
故选：C.
8．D
【解析】分析：由题意可知：可设A（-c，），C（x，y），由S△ABC＝3S△BCF2，可得,
根据向量的坐标运算求得x=2c，y=，代入椭圆方程，根据离心率公式即可求得椭圆的离心率．
详解：设椭圆的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），由x=-c，代入椭圆方程可得可设A（﹣c，），C（x，y），由，可得，即有），即2c=2x-2c，可得：x=2c，代入椭圆得：，根据离心率公式可知：16e2+1-e2=4，解得e=±，由0＜e＜1，则e=，故选D
9．ACD
【解析】由于椭圆关于原点、轴、轴对称.
对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求；
对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求；
对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求；
对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求.
故选：ACD.
10．BD
【解析】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
11．ABC
【解析】对于选项A和选项B，当点的坐标为或时，
最大，且当时，，易知选项A和B正确；
对于选项C，的周长为，故选项C正确；
对于选项D，的面积为，故选项D错误．
故选：ABC.
12．BC
【解析】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，
则四边形为平行四边形，
，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，
，
的面积，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，设，则，，
故直线的斜率，C正确；
对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，
则，
又点和点在椭圆上，①，②，
①②得，易知，
则，得，
，，D错误.
故选：BC.
13．
【解析】由已知，，所以，故离心率为.
故答案为：.
14．
【解析】试题分析：
如图，由于轴，故；设点，因为,所以，得；所以.
15．
【解析】设弦两端点为，.因为是A,B的中点，所以，将A,B两点代入椭圆方程得，，两式相减得，
整理得，即．
16．
【解析】设，
点P在椭圆上，①
又点P到原点O的距离等于半焦距，
，
即②
的面积为6，
，
可得③
把③代入②得，
把③代入①得，
故得．
故答案为:．
17．（1）（2）直线方程为，弦长为
【解析】（1）由椭圆的离心率可得：，
根据短轴长可得：，，
设，，，所以，
所以椭圆方程为.
（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，
则，则，
分别代入椭圆的方程得，，，两式相减可得
，所以，
故以点为中点的弦所在直线方程为；
由，得，
所以，；，，
所以.
故该直线截椭圆所得弦长为.
18．（1）；（2）.
【解析】解：（1）因为离心率，所以，
又因为椭圆的短半轴长，
所以，即椭圆方程为，
联立得，
因为直线与椭圆有公共点，
所以，
即，解得．
（2）设，由在椭圆内，
过点的直线与椭圆有两个交点,
再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.
则，
整理得：
所以斜率，所以直线的方程为．
19．（1） （2）y=
【解析】解：（1）将两点代入椭圆方程，有解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为A在x轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为x=ty+1，，
得，所以，
设原点到直线AF2的距离为d，则，
所以S△ABC=2S△OAB
=
=
=，△ABC面积的最大值为．
在t=0时取到等号成立，此时AB的方程为：x=1，
可得，A（1，），B（1，-），C（-1，），
此时BC的方程为：y=，
20．（1）8 （2）
【解析】（1）由题意，分别为关于轴，原点，轴的对称点，
则，，则、，
由在椭圆上得
∵，由基本不等式得
∴，当时取等号
故当，时，四边形取最大值8
（2）由（1）得，，则的坐标设为，其中
设，，则有，
相减得
∵为中点，∴，
∴上式化为，∴
故
一、单选题
1．中心在原点，焦点在 轴上， 若长轴长为 ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是
A． B． C． D．
2．直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
3．已知直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．直线被椭圆所截得线段的中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A．6 B．15 C． D．
6．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ）
A． B． C． D．4
7．若直线与椭圆有且只有一个交点，则斜率的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ）
A． B．
C． D．
10．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c1=a2+c2 B．a1-c1=a2-c2 C． D．
11．（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．当时，满足的点有2个
B．当时，满足的点有4个
C．的周长小于
D．的面积大于等于
12．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2 B．面积的最大值为
C．直线的斜率为 D．为钝角
三、填空题
13．在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________.
14．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是_________．
15．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为__________
16．已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，的面积为6，则______．
四、解答题
17．已知椭圆C：（）的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆方程；
（2）过作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长.
18．设椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
19．已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求△ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程．
20．已知为椭圆上一点，分别为关于轴，原点，轴的对称点，
（1）求四边形面积的最大值；
（2）当四边形最大时，在线段上任取一点，若过的直线与椭圆相交于两点，且中点恰为，求直线斜率的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】长轴，长轴三等分后，故，故选.
2．A
【解析】解法一：直线过点，将代入得，，即点在椭圆内部，所以直线与椭圆相交；
解法二：联立直线与椭圆的方程，得消去得，，，所以直线与椭圆相交．
故选：A．
3．C
【解析】由得．
∵直线与椭圆有公共点，
，
解得或．
故选：C
4．C
【解析】直线与椭圆联立，得消去整理，得．
设直线与椭圆的交点，中点．
，
∴中点坐标为．
故选：C
5．D
【解析】由椭圆方程得，．
，
故选：D
6．C
【解析】因为椭圆的，所以，
因为，所以，则.
故选：C
7．C
【解析】解：已知直线与椭圆有且只有一个交点，
由消去并整理，得，
由题意知，，
解得：.
故选：C.
8．D
【解析】分析：由题意可知：可设A（-c，），C（x，y），由S△ABC＝3S△BCF2，可得,
根据向量的坐标运算求得x=2c，y=，代入椭圆方程，根据离心率公式即可求得椭圆的离心率．
详解：设椭圆的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），由x=-c，代入椭圆方程可得可设A（﹣c，），C（x，y），由，可得，即有），即2c=2x-2c，可得：x=2c，代入椭圆得：，根据离心率公式可知：16e2+1-e2=4，解得e=±，由0＜e＜1，则e=，故选D
9．ACD
【解析】由于椭圆关于原点、轴、轴对称.
对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求；
对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求；
对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求；
对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求.
故选：ACD.
10．BD
【解析】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
11．ABC
【解析】对于选项A和选项B，当点的坐标为或时，
最大，且当时，，易知选项A和B正确；
对于选项C，的周长为，故选项C正确；
对于选项D，的面积为，故选项D错误．
故选：ABC.
12．BC
【解析】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，
则四边形为平行四边形，
，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，
，
的面积，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，设，则，，
故直线的斜率，C正确；
对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，
则，
又点和点在椭圆上，①，②，
①②得，易知，
则，得，
，，D错误.
故选：BC.
13．
【解析】由已知，，所以，故离心率为.
故答案为：.
14．
【解析】试题分析：
如图，由于轴，故；设点，因为,所以，得；所以.
15．
【解析】设弦两端点为，.因为是A,B的中点，所以，将A,B两点代入椭圆方程得，，两式相减得，
整理得，即．
16．
【解析】设，
点P在椭圆上，①
又点P到原点O的距离等于半焦距，
，
即②
的面积为6，
，
可得③
把③代入②得，
把③代入①得，
故得．
故答案为:．
17．（1）（2）直线方程为，弦长为
【解析】（1）由椭圆的离心率可得：，
根据短轴长可得：，，
设，，，所以，
所以椭圆方程为.
（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，
则，则，
分别代入椭圆的方程得，，，两式相减可得
，所以，
故以点为中点的弦所在直线方程为；
由，得，
所以，；，，
所以.
故该直线截椭圆所得弦长为.
18．（1）；（2）.
【解析】解：（1）因为离心率，所以，
又因为椭圆的短半轴长，
所以，即椭圆方程为，
联立得，
因为直线与椭圆有公共点，
所以，
即，解得．
（2）设，由在椭圆内，
过点的直线与椭圆有两个交点,
再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.
则，
整理得：
所以斜率，所以直线的方程为．
19．（1） （2）y=
【解析】解：（1）将两点代入椭圆方程，有解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为A在x轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为x=ty+1，，
得，所以，
设原点到直线AF2的距离为d，则，
所以S△ABC=2S△OAB
=
=
=，△ABC面积的最大值为．
在t=0时取到等号成立，此时AB的方程为：x=1，
可得，A（1，），B（1，-），C（-1，），
此时BC的方程为：y=，
20．（1）8 （2）
【解析】（1）由题意，分别为关于轴，原点，轴的对称点，
则，，则、，
由在椭圆上得
∵，由基本不等式得
∴，当时取等号
故当，时，四边形取最大值8
（2）由（1）得，，则的坐标设为，其中
设，，则有，
相减得
∵为中点，∴，
∴上式化为，∴
故