3.1.1椭圆的定义同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

3.1椭圆的定义精准练---2021--2022人教A（2019）选择性必修第一册高二上学期
一．选择题（共5小题）
1．是椭圆上一点，且，则　　
A．1 B．3 C．5 D．9
2．已知坐标平面上的两点和，动点到、两点距离之和为常数2，则动点的轨迹是　　
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
3．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
4．已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
5．如图所示，是圆内一定点（不与重合），是圆周上一个动点，的中垂线与交于，则点的轨迹是　　
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线
6．（多选题）下列说法中正确的是　　
A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆
二．填空题（共3小题）
7．设是椭圆上的点．若、是椭圆的两个焦点，则　　．
8．已知椭圆上的点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为　　．
9．点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是　　．
三．解答题（共3小题）
10．如图所示，一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．是椭圆上一点，且，则　　
A．1 B．3 C．5 D．9
解：由椭圆的方程为，可化为，．
是椭圆上一点，
根据椭圆的定义可得：，
．
故选：．
2．已知坐标平面上的两点和，动点到、两点距离之和为常数2，则动点的轨迹是　　
A．椭圆 B．直线 C．射线 D．线段
解：由题意可得：、两点之间的距离为2，
又因为动点到、两点距离之和为常数2，
所以，即动点在线段上运动，
所以动点的轨迹是线段．
故选：．
3．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
解：方程表示动点到两个定点的距离之和为定值，
且，由题意的定义可得：动点的轨迹是椭圆，且．
可得椭圆的方程为：．
故选：．
4．已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
解：的周长为20，顶点，，
，，
点到两个定点的距离之和等于定值，
点的轨迹是椭圆，
，
，
椭圆的方程是
故选：．
5．如图所示，是圆内一定点（不与重合），是圆周上一个动点，的中垂线与交于，则点的轨迹是　　
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线
解：根据垂直平分线的性质可得，，
即点到点和点的距离之和等于圆的半径，且，
根据椭圆的定义可得点的轨迹是以点和点为焦点的椭圆，
故选：．
6．下列说法中正确的是　　
A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆
解：对于，，
平面内到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故正确，
对于，到，两点的距离之和等于6，小于，这样的轨迹不存在，故错误，
对于，点到，的距离之和为，其轨迹为椭圆，故正确，
对于，轨迹为线段的垂直平分线，故错误．
故选：．
二．填空题（共3小题）
7．设是椭圆上的点．若、是椭圆的两个焦点，则　10　．
解：椭圆中，，
是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点，
根据椭圆的定义，
故答案为：10
8．已知椭圆上的点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为　7　．
解：椭圆的长轴长为10
根据椭圆的定义，椭圆上的点到一个焦点的距离为3
到另一个焦点的距离为
故答案为：7
9．点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是　，　．
解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，
所以，
，
则的取值范围是，
故答案为：，．
三．解答题（共3小题）
10．如图所示，一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
解：（方法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆的方程分别配方得：，，
当动圆与圆相外切时，有①
当动圆与圆相内切时，有②
将①②两式相加，得，
动圆圆心到点和的距离和是常数12，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于12的椭圆．
，，
，
圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
（方法二）：由方法一可得方程，移项再两边分别平方得：
两边再平方得：，整理得
所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．