第三章 圆锥曲线的方程（第二课时）同步练习--2021-2022学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册（word版含解析）

第三章 圆锥曲线的方程（第二课时）
一、单选题
1．已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，分别是双曲线的左 右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（ ）
A．8 B． C．16 D．
3．若双曲线：（，）的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点） F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，2） D．
5．已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
6．椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
7．设，是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则双曲线离心率的取值范围为
B．若，则双曲线离心率的取值范围为
C．若，则双曲线离心率的取值范围为
D．若，则双曲线离心率的取值范围为
10．将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A． B． C． D．
11．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
12．椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是（ ）
A．(－3，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(－2，0)
三、填空题
13．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．
14．若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为________．
15．已知抛物线型拱桥的顶点距水面a米时，量得水面宽为b米，a，b为常量，当水面下降1米后，水面的宽为______米
16．О为坐标原点，F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点，P为C上的一点，若，则三角形POF的面积为 _________.
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆的长半轴为，半焦距长为；
（2）经过点，且与椭圆有共同的焦点；
（3）经过两点．
18．求适合下列条件的双曲线标准方程：
（1）与双曲线共焦点，经过点；
（2）经过点和；
19．已知平面内B、C是两个定点，.
①的周长为18；
②直线AB、AC的斜率分别为、，且.
请从上面条件中任选一个作答，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出三角形ABC顶点A的轨迹方程.
20．已知椭圆的焦距为，短轴长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆C交于A B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的长.
参考答案
1．B
【解析】由题意，得，，则，
所以椭圆的离心率，解得m=8.故选：B.
2．C
【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，
两边平方得，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以，所以.故选：C
3．C
【解析】由已知得双曲线的一条渐近线的斜率为，则，所以，
所以，解得，解得．故选：．
4．D
【解析】双曲线的右焦点，
若双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）
F（右焦点）的距离相等，则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，
所以，所以，所以双曲线的离心率e的取值范围是.故选：D
5．B
【解析】如图
设的中点为，椭圆的左右焦点分别为,连接,,
是的中点, 是的中点, 是，
,同理:,在椭圆上, +=6
+=12.故选：B.
6．A
【解析】由＝1可知，，所以，
所以F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，∴可设P(3，b)，
把P(3，b)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.∴.故选：A.
7．B
【解析】如图所示，点为直线上一点，是底角为的等腰三角形，
可得，所以，整理得，所以，
所以椭圆的离心率为.故选B．
8．D
【解析】设点，则，得，
圆的圆心，半径为，
则，
令，对称轴为，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，所以的最小值为，故选：D
9．BC
【解析】由题意，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，
若，可得，
根据双曲线的定义可得，则，解得；
若，可得，
根据双曲线的定义可得，则，解得．
故选：BC．
10．AC
【解析】由题意，得当时，该椭圆为“对偶椭圆”．由得，
选项A中，；选项B中，，，；
选项Ｃ中，；选项D中，，，．
故选：AC．
11．AD
【解析】由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为,
根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：AD
12．AC
【解析】记椭圆的二焦点为，，有
则知
当且仅当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，
取得最大值25．点的坐标为或，故选：AC.
13．9
【解析】∵在椭圆上，∴，
∴根据基本不等式可得，即，
当且仅当时取等号.
14．或
【解析】当时，离心率为，
当时，离心率为，
当时，离心率为，
当时，离心率为.
所以双曲线的离心率为：或.
15．
【解析】根据题意建立平面直角坐标系（如图所示），
设抛物线的标准方程为，由题意，得抛物线过点，
则，解得，即抛物线的标准方程为，
令，得：，
即，即，，
所以水面的宽为.
16．
【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由，
设，则,,所以，即点的坐标为，
则的面积为．
17．【解析】（1）因为椭圆的长半轴为，半焦距长为，
所以短半轴，所以椭圆方程为，或；
（2）∵椭圆化为标准方程，得，焦点为，
∴设经过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆方程为，
由题意，得，解得，∴所求椭圆方程为；
（3）设椭圆的方程为：，
将代入方程，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为：．
18．【解析】（1）∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为，
∴，即.①
∵双曲线经过点，∴.②
由①②得，，
双曲线的标准方程为.
（2）设双曲线的方程为，∵点P，Q在双曲线上，
∴，解得.
∴双曲线的标准方程为.
19．【解析】（1）根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值,且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，
， 以及 ，则有
那么 ，且A,B,C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为
（2）设点，B坐标为 ，C坐标为，则有，，且，那么 ，
化简可得 ， ，
且A,B,C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为.
20．【解析】（1）已知椭圆焦距为，短轴长为2，即，
结合a2=b2+c2，解得a=3，b=1，.故C：.
（2）直线方程为：
直线与椭圆方程联立为
得，，
解得或.不妨设，
所以.