第三章 圆锥曲线的方程（第三课时）同步练习--2021-2022学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册（word版含解析）

第三章 圆锥曲线的方程（第三课时）
一、单选题
1．P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
2．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．设，是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
4．直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左 右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线C：的右支上一点M关于原点的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，设，且，则双曲线C的离心率e的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程有实根，则椭圆E的离心率e可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知是椭圆：上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是( )
A．点纵坐标为
B．
C．的周长为
D．的内切圆半径为
11．已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是椭圆
B．点的轨迹是双曲线
C．当点满足时，的面积
D．当点满足时，的面积
12．已知直线y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为（ ）
A．± B．± C．± D．±
三、填空题
13．在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为___________.
14．设P为椭圆上一动点，分别为左右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为__________．
15．椭圆（）的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的最大值为___________.
16．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则_________
四、解答题
17．已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线过定点.
18．己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程.
19．已知椭圆C的一个焦点是直线所过的定点，且短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且不垂直于y轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求面积的最大值．
20．已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且过点，直线交双曲线于A、B两点，且原点O到直线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：.
21．设椭圆C：的左 右焦点分别为，，离心率为，椭圆C上一点M满足.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线交C于A，B两点，求面积的最大值.
参考答案
1．C
【解析】如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，
，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.
此时的最小值为：.故选：C.
2．B
【解析】，
设,上式表示,由于双曲线的左焦点为,
双曲线的实轴,,
,
,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为.故选：B
3．A
【解析】由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，
所以的最大值为.故选：A.
4．D
【解析】双曲线中一条渐近线的斜率为，
若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，
即，即.故选：D
5．A
【解析】
取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，
则，
在中结合余弦定理可得，
故，即，所以，因此，
故选：A.
6．D
【解析】假设双曲线的左焦点为，由已知得点在双曲线的左支，连接，，根据双曲线的定义：，
由已知得四边形平行四边形，所以，所以有，
又，所以四边形是矩形，得，
所以，，所以，
则离心率，由，得，
所以当时，即时，的最大值为，又，
所以的最大值为，故选：D .
7．A
【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有
，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.故选：A
8．A
【解析】设，则，∵ ，∴ ，
∴ ，∴，∴ ，∴ ，
∴ 离心率，故选：A.
9．AB
【解析】由题意有，由可得，
故，解得，而，∴.故选：AB
10．BCD
【解析】不妨设，，由题意可知，椭圆的长半轴长，短半轴长，
故，即，
对于选项A：因为的面积为，故A错误；
对于选项B：不妨令，，，
由椭圆定义可知，，且，
故利用余弦定理可得，，
从而的面积，
因为，的面积为，所以，故B正确；
对于选项C：由的周长为，故C正确；
对于选项D：由面积，(其中为内切圆半径)，解得，，故D正确.
故选：BCD.
11．BCD
【解析】依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，
当点在线段的延长线上时，，
当点在线段的延长线上时，，
从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线，故A错，B对；
选项C，点的轨迹方程为，当时，，
所以，故C对；
选项D，当时，，
所以，故D对，
故选：BCD.
12．BD
【解析】由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.
将y＝kx＋1代入得：(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，
即k2＜5.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，
∴，
解得或.故选：BD
13．
【解析】抛物线的焦点，
因点为抛物线上一点，且，由抛物线对称性，不妨令点A在第一象限，则直线AF倾斜角为，如图，
直线AF方程为：，
由消去x得：，解得，，于是得点A的纵坐标为，从而有，所以的面积为.
14．
【解析】由已知椭圆的方程可得：，，则，
由椭圆的定义可得，
又因为，所以，
所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以点的轨迹方程为：，
15．
【解析】由椭圆的定义可得，又，
可得，在中，，
，
当且仅当时取得等号，所以的最大值为.
16．
【解析】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且,
则直线的斜率存在，设直线为，且
所以 ，整理可得，
设，则，且（1）
由，则 （2）,
将（1）（2）联立可求出或（舍去）
所以.
17．【解析】（1）由于，故，
所以.又椭圆过点，故，
从而，，椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
设，则.
又由得：
，
所以，
化简得，
解得或（舍去）.
当时，直线过定点，符合要求.
综上可知，直线过定点.
18．【解析】(1)因点在抛物线方程上，则，
所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，
由消去x得：，设，则有，
于是得，解得，即直线AB：，
所以所在的直线方程：或.
19．【解析】（1）直线过定点，
即椭圆的一个焦点为，由题意可知： ， ，
则，所以椭圆的标准方程为；
（2）显然点在椭圆内部，即直线与椭圆必有两个不同的交点，
由题意得直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由，消去整理得，
设，，则，，
从而有
，
令，由对勾函数的性质可知，
函数在单调递增，
则，即时，，
于是有，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为．
20．【解析】（1）因为椭圆的焦点为，又双曲线C：与椭圆有相同的焦点，
所以，因为双曲线C：过点，所以，即，
化简得，解得（舍去），所以，
所以双曲线C的方程为：；
（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，因为原点O到直线的距离为.所以直线的方程为，
此时设A、B两点的坐标为，
所以，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为原点O到直线的距离为，所以，整理得，
直线的方程与双曲线的方程联立，整理得，
设，则，
所以
，所以，综上可得.
21．【解析】（1）根据对称性知，MN与互相平分，则四边形为平行四边形，
则，又，结合椭圆定义知，
，故，由离心率，故，，
椭圆方程为.
（2）设，，AB的直线方程为，
联立椭圆方程与直线方程，化简得，
则，，则的面积为：
，令，，
则上式，
函数在时，单调递增，则上式在，
即时取得最大值，且最大值为.