苏科版八年级数学上册 6.1 函数教案

课题：§6.1函数(1)
教学目标
【知识与技能目标】
1、通过生活中简单的实例，了解常量与变量的意义。
2、经历变量与变量之间相互依赖关系的探索过程，理解函数的概念，逐步认识函数几种常用的表示方法，并能说出一些函数的实例。
3、培养学生用变化的观点看问题。
【过程与方法目标】
能对事物数量之间的相互依存关系进行分析，并建立函数概念。能结合具体实例发现并提出数学问题，体会到在解决问题的过程中与他人合作、交流的重要性
【情感、态度、价值观目标】
初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索和创造，从而培养学生对数学的好奇心与求知欲。
教学重点
1、掌握函数概念。
2、能把实际问题抽象概括为函数问题。
教学难点
1、知识的难点：函数的概念比较抽象，是本节课的难点
2、学生认知的难点：函数的出现，实现了由常量数学向变量数学的迈进，这是学生认知的难点。
教学过程
引入
师：我们生活在一个变化的世界中，时刻感受到事物的变化。比如弹簧的长度与所挂物体的质量；树根年轮的圈数与树的生长年限；去医院挂水，输液时间与相应时间内水滴的数目；家庭生活中，每月的应缴的电费与当月用电量等等。了解这些变量之间的关系，可以帮助我们更好的认识世界。下面，让我们先来看一个有关行程的问题：
创设问题情境
从甲地到乙地，坐在匀速行使的列车上，小明、小丽、小亮和小华谈论着车速、路程和时间，谈论着数量的变化和位置的变化。
师：（1）列车在行使，位置在改变，因此与位置有关的数量在改变，这里有不变的数量吗？
生：(1) 列车行驶的速度不变；(2) 甲到乙的路程不变．
师（2）除了同学们所说的那些不变的数量外，在这个问题中还有变的数量吗？
生：(1) 列车行驶的时间在不断变化；
　　(2) 列车距起点和终点的路程也在不断变化．
新课讲解
师：是的，在上面的过程中“列车行驶的速度”、“ 甲到乙的路程”都始终保持统一数值，这样的量我们称之为常量，而“列车行驶的时间”、“ 列车距起点和终点的路程”在不断变化，这样的量我们称之为变量。由此，我们得到两个新的概念：
板书：1、在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，
可以取不同数值的量叫做变量。
师：我们剖析一下概念，判断一个量是常量还是变量，需要两个方面：①看它是否存在于一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况。
师：下面老师来举两个例子：
（1）之前讲到的弹簧挂重物的事例，随着弹簧下面所挂物体质量的增加，弹簧的长度在发生改变（在弹性形变范围以内），在这里物体的质量、弹簧的被拉伸的长度都是变量。当然这个变化里也有常量如：如弹簧本来的长度，以及每挂1g物体弹簧被拉伸的长度等等。
（2）再举个正方形的例子，如果某个正方形的边长为a，周长为c,那么c = 4a ，大家想想这里的常量、变量又分别是什么呢？
生：常量：4，变量：a（边长），c（周长）
师：刚才，同学们回答的都很对。你们还能举例说明生活中的某一变化过程中的常量和变量吗
过渡
师：确实，通过同学们的举例我们发现在生活中，这样的例子还是很多的。的确有研究的必要。下面，我们看几个以不同形式来表示的实际问题
问题一(水库蓄水问题)
　　水库的水位变化与蓄水量变化情况如下表所示：
水位/m 106 120 133 135 ……
蓄水/m3 2.30×107 7.09×107 1.18×108 1.23×108 ……
（1）你从表格中能获得哪些信息 （问题问的大了点，试着引导学生，横着看和竖着看）
生：从表中可以看出，
水位为106 m时，蓄水量为2.30×107 m2；
水位为120 m时，蓄水量为7.09×107 m2 ；……
（2）水位高低与水库蓄水量有什么关系
生：在水库蓄水过程中，水位和蓄水量是两个变量；且蓄水量随着水位的升高而增大，随着水位的下降而减少；当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变．
师：很好，同学们都看到这一变化了。那么，如果你是水库的工作人员的话，就可以通过观察水位，利用表格，找到水库的当时的蓄水量，及时报告。以备有关部门合理使用水库中的水源。
问题二(搭小鱼问题)
如图，搭一条小鱼需要 8 根火柴，每多搭一条小鱼就要增加 6 根火柴．
（1）你能写出搭 n 条小鱼所需的火柴根数 s 与小鱼条数 n 之间的关系式吗 （规律的探索可能对某些孩子来说一时想不到，适当的留足时间）
生：S=8+6(n-1)
（2）根据上面的式子，请你算一算搭20条小鱼需要多少根火柴？搭100条呢？
生：122，602
（3）说说你从关系式中能获得哪些信息．
生：由上面的关系式可知，在搭小鱼的过程中有两个变量(小鱼条数 n 和搭小鱼所需火柴数 s )；且火柴数 s 随小鱼条数 n 的增加而增加，随小鱼条数 n 的减少而减少；当小鱼条数 n 一定时，火柴数 s 也保持一定．
问题三(波纹问题)
　　你能用语言描述变化中圆的面积与其半径的大小之间的关系吗
生：圆的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
议一议：
师：水库蓄水问题、搭小鱼问题、波纹问题，这些有着不同背景的变化过程是否具有共同之处
它们分别研究了几个变量 这些变量间具有怎样的关系 请谈谈你的看法。
生：上面三个实际问题的共性为：　每个变化过程都有两个变量；且当其中一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化；当其中一个变量确定时，另一个变量也随之确定．
师：由此，我们得到一个新的数学概念。
板书：3、函数的概念：一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有惟一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数．
其中 x 是自变量，y 是因变量．
师：下面，我们来剖析一下函数的概念
要有一个变化过程
要有两个变量，不能多也不能少
对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有惟一的值与它对应
老师来举个例子：在我们班某次数学小测验中，部分学号同学的成绩如下表所示
　学号 　成绩
　010 　85
　012 　73
　013 　82
　014 　85
　015 　85
　016 　82
　017 65　
在这个变化里面，学号和成绩是变量，对于每一个学号来说都有惟一的成绩与之对应（显然一次考试，一个学生不会有两个成绩）所以我们说成绩是学号的函数；但是反过来对于每一个成绩是否有唯一的学号与之对应呢？85分、82分它们所对应的学号就不惟一，所以学号不是成绩的函数。大家能弄懂了吗？以后，随着我们学习的不断深入，我们还会遇到不同的形式，尽管在一个变化中有两个变量，但因为不满足对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有惟一的值与它对应，而不成函数关系。
自变量是一个主动变化的量，因变量y随x的变化而变化，所以称y是x的函数。
师：回头看前面的实例，现在可以用函数的思想来理解其中两个变量间的关系。
师：在水库蓄水问题中：通过水位来计算蓄水量。那么，自变量是：水库水位，因变量是：蓄水量，所以：水库蓄水量是水位的函数．
　 在搭小鱼问题中：通过搭出小鱼的条数来计算用火柴的根数。那么，自变量是：小鱼条数，因变量是：火柴根数，所以：所用火柴根数 s 是小鱼条数n 的函数．
在波纹问题中：波纹逐渐变化的过程中，自变量是：半径，因变量是：面积，所以：圆的面积是半径的函数．
师：那么（1）树木生长过程中，年轮圈数与树龄呢？
　　 （2）在弹性限度内挂重物，弹簧长度与所挂物体质量呢？
　　 （3）在没有进行峰谷电的改装的家庭中，每月应缴电费与当月用电量呢？
生：年轮圈数是树龄的函数；
　　 (在弹性限度内)弹簧长度是所挂物体质量的函数；
　　 每月应缴电费是当月用电量的函数.（没有进行峰谷电的改装）
······
师：你还能举出生活中有关函数的实例吗？
师：同学们说的都很好，下面让我们来看练习。
练一练
1、用一根１m 长的铁丝围成一个长方形．
(1) 当长方形的宽为 0.1 m 时，长为多少
(2) 当长方形的宽为 0.2 m 时，长为多少
(3) 长方形的长是宽的函数吗
2、“沙漏”是我国古代一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计算时间．请说出该变化过程中有哪几个变量，并指出自变量.
注意：提醒学生仔细读题，有人会认为时间是自变量。
3、下列关系式中，哪些式中的y是x的函数？为什么
(1)y=x+2 （2）y2=x （3）y=x2+1
交流与小结
这节课你学到了什么
本节课我们感受到了生活中反应变化过程的几个事例，并从中抽象出常量和变量的概念。接着关注了一些只含有两个变量并且当一个变量确定时，另一个变量也随之惟一确实的实际变化过程。由此引入了函数的概念。进而我们学会用函数思想来认识事物运动变化的过程。课后请同学们思考：在你的身边还有哪些函数的例子？它们分别是用什么形式表示的？
作业布置
《补充习题》6.1.1
课后反思