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24.2.2 直线和圆的位置关系（3）切线长定理教案
教学任务分析
教学目标 知识技能 1、掌握切线切线长定理及其应用；2、会作三角形内切圆并能够解决一些数学问题。
数学思考 1.学生经历操作、观察、发现、总结出线长定理的过程；培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力2、体会内切圆作图，从而提炼相关的数学知识，滲透数形结合、一题多解的思想．
解决问题 利用投影片等，创建活动让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键。
情感态度 学生经过观察、实验、发现、确认等数学活动，培养学生乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论、解答某些数学题，能够在数学教学中发挥积极的作用。
重点 1、切线长定理的初步运用；2、会作三角形内切圆以及简单运用。
难点 正确的运用切线长定理以及会作三角形的内切圆。
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
活动1 知识回顾活动2 观察图片，引入课题认知准备，从问题入手、引导学生得出切线的定义切线与切线长的区别与联系 从实例入手，引入课题．
活动3学生动手动脑操作巩固切线长的有关知识；内切圆的有关知识，从画图引入，激发学生的求知欲，从而得到其相关知识；活动4探索内切圆的有关知识活动5 应用与练习活动6 回顾总结活动7课堂作业 利用切线长的定理解题，及时巩固所学知识．回顾梳理本节知识，巩固、提高、发展．对所学的知识巩固并提升能力
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
活动1知识回顾活动2创设情景，问题引入1、从圆外一点可以作圆的几条切线；2、这一点与切点间的两条线段的长度相等吗？为什么？3、切线长的定义是什么？4、切线与切线长的区别与联系？ 通过活动1，回忆和巩固上节课的知识教师利用现实情景提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象成几何图形，再表示出来． 在本次活动中，教师应重点关注：(1) 学生能否准确地观察出通过圆外一点能作出几条直线与圆相切；(2) 学生能否根据观察得出切线长的概念并能知道切线长和切线的区别和联系 活动2的设计中利用现实情景提出问题为本堂知识作准备有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，学生动手操作，体会成功感，培养动手能力
活动31、几何语言：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO求证：2、若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.3、得出切线长定理4、简单运用已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. 看投影仪上的图，用语言组织切线长定理在教师的引导下，学生反思引导讨论1、引导2、展示证明3、简单讲解教师提出问题，学生思考作答.学生掌握圆的切线长定理中所有的垂直关系与数量关系，并能利用这些关系进行计算。 通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生几何语言描述能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力．简单运用的设计是从位置及数量关系的角度来探讨切线长定理的，是让学生学会运用形结合的数学思想解题．
问题与情境 师生行为 设计意图
活动4如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系已知:,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.求⊙O的半径r. 师：(PPT8，和学生一起分析，有意识的引导师：师生一起完成黑板上的作图，教师操作师：1、画三角形内切圆的方法，2、定义的强调，3、内心的性质。4、已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆⊙O的半径r. 通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生几何语言描述能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力．
活动5 应用与练习例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.活动5小结本节学习了切线长的定义，注意和切线比较。学习了切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。2、会作三角形内切圆并能够解决一些数学问题。1、课堂作业P103第12题2、学习辅导 师生共同完成例题和练习的求解．本次活动，教师应重点关注：学生能否利用切线长定理及内切圆的有关性质计算 学生自己总结，教师应重点关注：(1) 学生对切线长定理及内切圆的性质总结是否全面； (2) 是否有学生能从这节课的学习中，体会到分类讨论的数学思想和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性． 例题和练习的安排是为了让学生掌握切线长定理及内切圆的有关性质及计算方法．培养学生正确应用所学知识的应用能力，渗透分类讨论、数形结合等数学思想．总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳，反思．对所学的知识巩固并提升能力
A
B
C
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直线与圆的位置关系（3）切线长定理————课堂练习
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为
2. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于10cm.则内切圆⊙O的半径r=
3.如图（1）PA、PB切圆于A、B两点，∠APB= 连结PO，
则∠APB= 度。
4、如图（2），Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= ㎝ AB= ㎝
5、如图（3），PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）
A 16cm B 14cm C12cm D 8cm
（1） （2） （3）
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第三课时
（圆的切线长定理）
切线有那些性质？
１.过圆心
２.过切点
３.垂直于切线
任意两个作为条件就能推第三个结论
切线的判定：过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线
温故知新
A
P
B
这是一位同学运动完后放的篮球，如果截它的平面，那么你能从中发现什么几何知识呢？
墙
地面 P
经过圆外一点可以有两条直线与圆相切
探索
P
B
C
O
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长。
思考：切线长和切线的区别和联系？
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
合作探究
p
A
B
O
已知：
求证：
如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
p
A
B
O
∵PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB
合作探究
几何语言表示：
练习一
一.判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等（ ）
二.填空选择
（1）如图PA、PB切圆于A、B两点，∠APB= 连结PO，则∠APB=______度。
（2）如图PA、PB切圆于A、B两点，已知PO=10cm,OA=6cm,则PB=________
P
B
O
A
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB , △ACP≌△BCP.
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得
PA 2 + OA 2 = OP 2
即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm
所以，半径 OA 的长为 3 cm.
三.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长.
A
P
练习二
D
C
B
E
O
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆
三角形叫圆的外切三角形
生活实例
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
求AF、BD、CE的长.
解
设AF=x(cm),则AE=x(cm)
∴CD=CE=AC-AE=13-x
BD=BF=AB-AF=9-x
由 BD+CD=BC可得
(13-x)+(9-x)=14
解得 x=4
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
小 结
1、本节学习了切线长的定义，注意和切线比较。
2、学习了切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
3、会用三角形内切圆知识解决一些数学问题。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
直线与圆的位置关系（3）切线长定理————课后练习
1、如图1，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= 度．
2、如图2，⊙O的半径为5，切⊙O于点，，则切线长为 ．（结果保留根号）
（1） （2） （3）
３、如图，⊙O内切于△ABC切点为D、E、F。已知∠B=50°，∠C=60°，连
结OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于( )(A) 40° (B) 55°(C) 65° (D) 70°
4、如图4，PA、PB为⊙O切线，A、B为切点，∠P=，AB=，则⊙O的半径为
5、如图5，在△ABC中，∠A=，点O是内心，则∠BOC=
6、如图6，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点Ｄ、Ｅ、Ｆ，若 ∠ＦＤＥ＝，则∠Ａ＝
（4） （5） （6）
7、已知Rt△ABC中，两直角边长分别为5、12，则它的外接圆半径和内接圆半径分别为 、
8、在Rt△ABC中，∠C=AC=5㎝，BC=12㎝，O是BC上的点，以O为圆心，以OC为半径的与AB相切于点D，与BC相交于点E，求线段BE的长。
Ｏ
Ａ
Ｐ
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