(共16张PPT)
11.3.2 多边形的内角和
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
八年级数学上（RJ）
教学课件
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
导入新课
情景引入
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
情境引入
学习目标
1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
（难点）
合作学习
1.请同学们一起观看洋葱数学；
2.请同学们阅读课本第21-23页的内容，并思考以下问题。
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°.
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
讲授新课
多边形的内角和
一
知识点1：多边形的内角和探究n边形内角和规律．
多边形的边数 3 4 5 6 … n
分成的三角形个数 1 2 …
多边形的内角和 180° 180°×2 …
由此，我们得出：n边形(n≥3)的内角和＝________________.
3
4
n-2
你知道正多边形的每个内角是多少度吗？
每个内角的度数是
例1：一个多边形的内角和为1080°，求它的边数。
解：设这个多边形的边数为n，
则(n－2)×180°＝1080°，
解得n＝8，
∴它的边数为8.
典例精析
习题1：
一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
则(n－2)×180°＝120°n，
解得n＝6，
∴它的边数为6.
正多边形的每个内角的度数是
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
总结归纳
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
典例精析
例2 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的
2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2) 180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
习题2：
一个正多边形的内角和等于它的外角和的4倍，
求它的每个外角的度数．
正多边形的每个外角的度数是
解：设正多边形的边数为n，依题意得：
180°(n－2)＝4×360°
解得n＝10
∴该多边形每个外角的度数是： ＝36°
例3已知正多边形的一个内角为144°，则该正多边形的边数为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
典例精析
B
习题3：
一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．
120°
课堂小结
多边形的内角和
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正多
边形
内角= ，外角=
当堂练习
（1）十边形的内角和为（ ）度．
（2）一个多边形的每个外角都为18°，它的边数是 ( )；
（3）已知一个多边形的内角和为1260，则它的边数为______．
（4）一个多边形的外角和是内角和的 这个多边形的边数是（ ）
A. 7 B.8 С.9 D.10
1440
20
9
C
拓展评价：是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的
？为什么？
解：不存在．
理由：如果存在这样的多边形，设它的一个外角
为x ，则对应的内角为180°-x ，
于是 x =180°- x，解得 x =150°.
这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4，而边数
应是整数，因此不存在这样的多边形．(共50张PPT)
多边形的内角和
一、学习目标
1、知识目标 掌握多边形内角和定理，
进一步了 解转化的数学思想。
2、能力目标 经历质疑、猜想、归纳等活动发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．
3、情感目标 让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的 存在，体验数学充满着探索和创新．
多边形内角和定理的
探索和应用.
多边形定义的理解；
多边形内角和公式的推导；转化的数
学思维方法的渗透．
二、学习重点
三、学习难点
画一画
在练习本上画一个四边形ABCD．
∠A= ____ ,
∠B= ____ ,
∠C= ____ ,
∠D= ____ ．
∠A+ ∠B + ∠C +∠D = ____．
量一量
量出四个内角的度数．
算一算
计算出这四个内角的和．
你能用以前学过三角形内角和的知识说明一下你的结论吗？你有几种方法？
请展示你的探究成果
A
B
C
D
⌒
⌒
4
3
⌒
⌒
1
2
说一说
探索多边形的内角和
这个五边形的内角和应该怎么求呢？
你有几种方法呢？
A
C
D
E
B
A
C
E
D
B
展示一：
内角和=3 × 180°
=540 °
．
我的课堂我做主！
多边形
的边数 图 形 从一个顶点出发的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的
内 角 和
4
5
6
n
n-2
2
3
2×180
3×180
(n-2)×180
1
2
n-3
…
…
…
…
…
4
4×180
3
A
C
D
E
B
O
展示二：
内角和=5×180°－360 °
=540 °
．
我的课堂我做主！
A
C
D
E
B
展示三：
内角和=4×180°－180°
=540°
．
P
我的课堂我做主！
我的课堂我做主！
我的课堂我做主！
你能仿照五边形分割成三角形的方法，选出你认为最简单的一种分割六边形并求其内角和吗
A
B
C
D
E
F
．
内角和
三角形个数
从一个顶点引出对角线数
边数
5
6
2
3
3×180°=540 °
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
4×180°=720°
(n-2)×180°
n
n-3
n-2
7
5×180°=900°
4
5
综上所述，设多边形的边数为n，
则 n边形的内角和等于
（n一2） 180°
我的课堂我做主！
n边形从一个顶点出发的 对角线把 n边形分成 个三角形, 条对角线.
n - 2
n - 3
多了什么？如何处理？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形，故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边上一点周围所形成的平角不是多边形的内角，因此n边形的内角和为 （n-1）×180 °- 180 °= (n-2)×180 °
交流创新
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角形内角和为n×180 °，但每个图中都有一个以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 °，因此n边形的内角和为 n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
多了什么？如何处理？
交流创新
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：
如图，四边形ABCD中，
∠A+ ∠C =180°
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °
= 360 °
因为
∠B＋∠D
= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180°
=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
所以
例1 ：
求下列图形中x的值：
∟
(1)
∟
(2)
(3)
C
A
B
D
E
(4)
AB∥CD
课堂练习
多边形外角与相邻内角之间有什么关系？
各内角与相邻外角互为邻补角
我的课堂我做主！
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
n边形外角和是多少度
探 究 发 现
外角和=n个平角-内角和
结论：n边形的外角和等于360°
=n×180°-(n-2) × 180°
=360 °
学以致用
3、多边形内角和为1080°则它是（ ）边形。
2、十边形的内角和是（ ） ; 如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是（ ）
4、多边形内角和为1800°则它是（ ）边形。
1、七边形内角和为（ ）
900°
1440°
十二
八
144°
例1:求十边形内角和.
例2:已知一个多边形的内角和为2160°，求这个多边形的边数.
知识运用
1.(1)填空：六边形的内角和为 度．
(2)求十二边形的内角和．
3.求图中 x 的值.
2. 已知一个多边形的内角和为1260°,求这个多边形的边数．
160°
x°
90°
2x°
110°
4.几边形的内角和是六边形内角和的2倍？
如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加几度？
思考
思考题
一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520 °,
求原多边形的边数
设想一辆汽车在多边形的边界上绕圈子，每经过一个顶点，前进的方向就要改变一次，绕了一圈，回到原处，方向与当初出发时一致了，角度的改变量之和是多少度
猜一猜:
判断
(1)多边形边数增加时,它的外角和也随着增加( )
(2)正六边形的每个外角都等于60度( )
(3)所有正多边形的外角和都相等( )
想一想
×
(1)若十二边形的每个内角都相等,那么每个内角是______度.
(2)已知多边形的每个内角都是135度,则这个多边形是_______.
(3)如果某个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边形的边数是________.
做一做
150
八边形
四边形
如图：某居民小区搞绿化，分别在三角 形、四边形、五边形的广场各角修建半径为1米的花坛。小区绿化组长想先求花坛的面积，再根据面积买花苗。
你能帮绿化组长求出花坛的面积吗？（结果保留π）
探究
回归生活
你能帮绿化组长求出花坛的面积？（结果保留π）
一个多边形的每一个内角都是144o ,求这个多边形的边数.
一个多边形的n个内角中最多有几个锐角
以 不 变 应 万 变
P56习题第4题
4.一个多边形的外角和是内角和的 ,求这个多边形的边数.
解:这个多边形的边数为有 ,则
答:这个多边形的边数是9.
（4）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过一个角，他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？即在此图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
练习
（4）一个多边形的外角都等于72°，这个多边形是几边形？
（5）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
(6)求十边形的内角和与外角和。
例、一个六边形如图。已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
例、一个六边形如图。已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
拓展题
一个内角和为1620°的多边
形有多少条对角线
例2
已知多边形的每一内角为
150°，求这个多边形的边数.
解
设这个多边形的边数为n，
根据题意，得
（n－2）×1800 =1500 n
解这个方程，得n= 12
经检验，符合题意
答：这个多边形的边数为12.
八边形的内角和是 ;
例1
1080o
(课本P55：)
(1) 十边形的内角和是 ; 如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 。
(2)已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是_______。
1440o
144o
15
巩固练习
7.3.2 多边形的内角和
小练习：
1. 判断题：
（1）当多边形的边数增加时，它的外角和也随着增加 .
（2）正六边形的每个外角都等于60度 .
2. 填空题：
（1）正九边形的每一个外角都等于 度.
40
（2）一个多边形的每一个外角都等于30°，
这个多边形是 边形.
正十二
7.3.2 多边形的内角和
（4）如果多边形的内角和等于外角和，
那么这个多边形是 边形。
（1）八边形的内角和等于 度.
（2）一个多边形的内角和等于1260° ，
这个多边形是 边形.
1080
九
（3）一个多边形的每一个内角都等于135°，
则这个多边形是 边形.
正八
2.填空题：
四
6、四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 1∶2∶3∶4，
求各个角的大小。
A
B
C
D
7、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
练一练
360
720
1080
1440
9000
七
9、在四边形的四个内角中，最多有几个钝角？最多能有几个锐角？
10、一个多边形的每个内角都是150°，求它的边数。
11、已知一个多边形，它的内角和 等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数．
12、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形的边数为 ；
13、一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是( )
A.60° B.90° C.180° D.360°
练一练
3
3
12
8
6
C
比一比
15、已知一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和是2750°，求这个多边形的边数。
16、 如图：我国的国旗上的五星是正五角星，正五角星中的五边形ABCDE是正五边形，你能求出五角星中∠F的度数？
D
C
B
E
A
18
F
360
1.已知△ABC的外角度数之比是2﹕3﹕4，求这个三角形的内角度数之比 .
2.在n边形内角中，至多出现几个锐角？
3 .一个多边形的所有内角和一个外角之和为6000 ，求这个多边形的边数和这个外角的度数。
4.把图中的五边形剪去一个角，此时，多边形的内角和与外角和有什么变化？
课外作业
A
B
C
D
E
试一试
练练你的“本领”
有一把锋利的“小刀”，把你
的课桌（四边形）一个角削去，剩下的课桌是一个几边形？
它的内角和是多少？
创新思维
①
②
③
A
B
C
D
E
F
M
N
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
你还有什么困惑吗？
感悟与反思
谢谢指导
再见
