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湘教版八上数学期中考试卷
温馨提示：本科考试共26道小题，总分120分，考试时间120分钟
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 若的值存在，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 且
【答案】D
【解析】本题考查分式的概念和分式除法的概念。要使分式的值存在，则分式的分母，即；要使分式除法有意义，则除式，从而，即。两个条件同时满足，即且时，的值存在。故选D.
2. 下列各式从左到右的变形，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查分式的基本性质。
因为当时，不成立，所以不正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为， 所以D错误。故选B.
3. 2021年10月2日，我国首条单晶纳米铜智能加工生产线在温州平阳投产。这标志着芯片制造关键材料——单晶纳米铜实现国产化量产。单晶纳米铜，成品直径为13微米，是集成电路半导体封装的关键材料。已知1米=1 000 000微米，用科学记数法表示13微米是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】本题考查负整数指数幂的科学记数法。∵13微米=0.000013米，改成形式，其中a是整数部分为非零的一位数，n等于第一个非零数前面的0的个数，∴ 0.000013米=米，故选C。
4. 把分式方程去分母，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题考查分式方程去分母的方法。把方程两边都乘，就是把方程的每一个分式及整式都乘，从而约去各分式的分母，而其中的整式2也要乘，从而得选项C，故选C。
5. 已知在△ABC中，∠A的外角等于80°，∠B等于40°，则△ABC是（ ）
A. 三个角都是锐角的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形
【答案】D
【解析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理及等腰三角形的判定方法。由∠A的外角等于80°，可得∠A=100°，由三角形的外角定理可得∠C=40°，所以∠B=∠C。因此△ABC是顶角为钝角的等腰三角形。故选D.
6. 如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线ED交AB于点E，连接CE，下列结论中不正确的是（ ）
A. ED⊥BC
B. ∠B=∠ECB
C. AE+EC=AB
D. ∠AEC=∠DEC
【答案】D
【解析】本题考查线段的垂直平分线的性质定理和等腰三角形的性质定理。
∵ED垂直平分AB，∴ED⊥BC， EB=EC，从而∠B=∠ECB，故A，B正确。∵EB+AE=AB，EB=EC，∴AE+EC=AB。故C正确。所以，D错误。故选D.
下列说法中，正确的是（ ）
A. 两个等边三角形一定全等
B. 三个角都相等的两个三角形全等
C. 三边分别相等的两个三角形全等
D. 两边和一个角分别相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】本题主要考查全等三角形的判定方法。判定三角形全等的基本事实和定理有“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”。C是“边边边”定理，正确，故选C。
8. 将一副三角尺按如图所示摆放，三角尺DEF的顶点D在三角尺的边BC上，将三角尺DEF旋转，使边EF∥BC，则∠α的度数为（ ）
A. 75°
B. 90°
C. 100°
D. 105°
【答案】D
【解析】本题主要考查三角形的外角定理及平行线的性质。
∵EF∥BC，∴∠BDE=∠E=60°.
∵∠α是△BDG的一个外角，又∠B=45°，∴∠α=∠B+∠BDE=45°+60°=105°。故选D.
9. 已知∠ABC=∠BAD，添加以下条件，不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A. AC=BD
B. BC=AD
C. ∠C=∠D
D. ∠BAC=∠ABD
【答案】A
【解析】已知∠ABC=∠BAD，且已有公共边AB=BA，则添加BC=AD，满足“SAS”；添加∠C=∠D，满足“AAS”；添加∠BAC=∠ABD，满足“ASA”，即添加条件B，C，D，都能判定△ABC≌△BAD。
添加AC=BD，不能判定△ABC≌△BAD，故选A.
10. 为了落实国家“一带一路”战略，畅通商品流通高速通道，某省把600km的普通公路升级为540km的高速公路，结果汽车行驶的平均速度提高了50%，全程行驶时间减少了4h。设汽车原来行驶的平均速度为xkm/h，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题涉及的数量关系是时间=路程÷速度，涉及的等量关系为原来行驶时间-升级后行驶时间。把等量关系中的数量用已知数和所设未知数表示，即可得所列方程，故选A.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 已知分式，当x=2时，它的值为0，则当x=4时，它的值为 。
【答案】-4
【解析】因为当x=2时，分式的值为0，所以，解得.
当x=4时，原式=
12.计算的结果等于 。
【答案】-2
【解析】。
13. 一项工作，甲单独做需要m小时完成，乙单独做需要1.5m小时完成，两人一起完成这项工作需要 小时。
【答案】0.6m
【解析】把工作的总量看作单位“1”，则两人一起做每小时完成这项工作的，完成这项工作需(小时).
14. 已知等腰三角形中，有两边的长分别为5和12，则三角形的周长为 。
【答案】29
【解析】如果以5为腰，则5+5=10＜12，不能构成一个三角形。如果以12为腰，则三角形的周长为12+12+5=29。因此该等腰三角形的周长为29。
15. 若关于的分式方程有增根，则的值为 。
【答案】-2
【解析】把分式方程去分母得，，整理得.
∵原分式方程有增根，∴=0，∴=1，∴，∴.
16. 已知命题“垂直于同一条直线的两条直线平行。”，指出这个命题的逆命题是真命题，还是假命题，你的结论是 。
【答案】假命题。
【解析】这个命题的逆命题是“如果两条平行线被第三条直线所截，那么这两条直线都垂直第三条直线。”显然，这是一个假命题。
17. 如图，将等边△ABO的两边分别延长至点D，点C，连接CD，量得∠D=85°，则∠C的度数为 。
【答案】35°
【解析】∵△ABO是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∴∠AOC=∠A+∠B=120°.
又∵∠AOC=∠D+∠C，∠D=85°，∴∠C=35°.
18. 如图，一块等腰三角尺的三个顶点，恰好落在长方形的三边上，则线段AD，BE，DE的大小关系为 。
【答案】AD+BE=DE
【解析】∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°.
又∵∠D=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE。
在△ADC与△CEB中，
∵∠D=∠E，∠DAC=∠BCE，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB。
∴AD=CE，BE=CD.
∴AD+BE=CE+CD=DE.
三、解答题（19～25小题每小题8分，26题10分，共66分）
19. 如图，在四边形ABCD中，AD平分∠BAC，∠1=∠2.
填空完成证明，并在括号中填上推理依据。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠1.( )
又∵ ∠1=∠2，
∴ ∠BAE=∠2，( )
∴ . ( ）.
解析：本题考查推理能力和思维的合理性。
答案：角平分线的性质；等量代换；AB∥DC；内错角相等，两直线平行。
20. 如图，在△ABC中，已知AB=BC，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CD相交于点O，∠1=120°。 △ABC是等边三角形吗？请说明理由。
解：△ABC是等边三角形。理由如下：
∵∠1+∠OBC+∠OCB=180°，∠1=120°,
∴∠OBC+∠OCB=60°.
∵BE，CD是∠QBC，∠OCB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，ACB=2∠OCB,
∴∠ABC+ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×60°=120°.
∵∠A+∠ABC+ACB=180°，
∴∠A=60°.
又∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形。
21. 计算：.
解析：本题考查整数幂的运算。可以先算除号先后的积的乘方，再把系数、同底数幂分别相除，注意最后结果中的负整数指数幂要化成正整数指数幂，写成分式的形式。
解：=.
22. 已知：，求的值。
解：原式=
∵，∴，∴原式=.
23. 解方程：.
解析：本题考查分式方程的解法。解分式方程的思路是在方程的两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程来解。去分母时关键步骤，不能遗漏单独是数或字母的部分也要乘最简公分母，并且一定要验根。
解：方程两边都乘，得
.
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
解得 .
经检验，是原方程的解。
因此原方程的解是 .
24. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°.
（1）用尺规分别作出AC，BC上的高AD，CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BC=2CE.
【分析】（1）如图所示；（2）证△ACD=△ACE，再利用等腰三角形“三线合一”的性质皆可证BC=2CE。
解：（1）作出AC，BC上的高AD，CE如下图所示；
（2）∵AB=AC，∠B=30°，∴∠.BCA= ∠B=30°，
从而∠BAC=120°，∠CAE.=60°.
又∵AD是等腰△ABC的边BC上的高，
∴AD也是∠BAC的平分线和BC边上的高，
∴∠CAD =60°，BC=2DC.
∴∠CAD =∠CAE.
在△ACD与△ACE中，
∴ △ACD≌△ACE(AAS).
∴ CD=DE.
∴ BC=2CE。
25. 我国基础工程建设享誉全球。某高速公路，甲工程队单独做60天，可以完成工程的；乙工程队单独做150天，可以全部完工。
（1）如果先由甲队做70天，再由甲、乙合作，那么合作多少天能完成任务？
（2）如果该高速高速公路计划工期160天，先由乙队做90天，剩下的由甲队单独施工，请问能否能在计划工期内完成任务？
【分析】本题是工程问题，可以把工程总量看作单位1，涉及的数量关系是每天工作量×工作天数=工作量，涉及的等量关系是：甲工程队的工作量+乙工程队的工作量=1。
【解】（1）设合作x天能完成任务，根据题意，得
即
去分母，得
解得
经检验，是原方程的解且符合题意。
答（略）
（2）设剩下的由甲队单独施工需y天完成，根据题意，得
解得
因为90+72=162，162＞160，
所以剩下的由甲队单独施工，能在计划工期内完成任务.
答（略）
26. 已知：如图，点A，B，C在同一条直线上，分别以BC，CE为边在AC的同侧作等边三角形DAB，等边三角形EBC，连接AE，DC，设交点为O，∠AOD=α.
（1）求证：AE=DC；
（2）求α的度数；
（3）若将△EBC绕点B旋转角某一角度至图（二）的位置，那么（1）的结论还成立吗？还能求出求出α的度数吗？请简要说明理由（不必详细写出证明或解答过程）。
【分析】（1）要证AE=DC，可先证△ABE≌△DBC；（2）利用三角形的外角定理即可求出α的度数；（3）∵在旋转过程中△ABE和△DBC的两组边AB与DB，BE与BC仍然相等，且∠ABE=∠DBC，∴仍有△ABE≌△DBC，从而AE=DC；而利用三角形的外角定理，仍然可以求出α的度数。
解：（1）证明：∵△DAB，△EBC均是等边三角形，
∴ AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°.
又∵∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC。
在△ABE和△DBC中，
∴ △ABE≌△DBC(SAS).
∴ AE=DC.
（2）解：由（1）证得△ABE≌△DBC可得，∠DCB=∠AEB.
∵∠AOD是△AOC的一个外角，∠EBC是△ABE的一个外角，
∴∠AOD=∠BAE+∠DCB，∠EBC=∠BAE+∠AEB.
∴∠AOD=∠EBC=60°.
即α的度数是60°.
答：（1）的结论AE=DC还成立，还可以求出α的度数是60°。
理由：
①∵在旋转过程中△ABE和△DBC的两组边AB与DB，BE与BC仍然相等，且∠ABE=∠DBC，∴仍有△ABE≌△DBC，从而AE=DC∴ DE=CF.
②∵∠AKD既是△DKO的一个外角，也是△AKB的一个外角，
∴∠AKD=∠BDC+∠AOD=∠BAE+∠ABD.
∵△ABE≌△DBC，∴∠BDC=∠BAE，
∴∠AOD=∠ABD=.60°，即α的大小保持不变，仍然是60°。
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温馨提示：本科考试共26道小题，总分120分，考试时间100分钟
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 若的值存在，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 且
2. 下列各式从左到右的变形，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2021年10月2日，我国首条单晶纳米铜智能加工生产线在温州平阳投产。这标志着芯片制造关键材料——单晶纳米铜实现国产化量产。单晶纳米铜，成品直径为13微米，是集成电路半导体封装的关键材料。已知1米=1 000 000微米，用科学记数法表示13微米是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4. 把分式方程去分母，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知在△ABC中，∠A的外角等于80°，∠B等于40°，则△ABC是（ ）
A. 三个角都是锐角的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形
6. 如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线ED交AB于点E，连接CE，下列结论中不正确的是（ ）
A. ED⊥BC
B. ∠B=∠ECB
C. AE+EC=AB
D. ∠AEC=∠DEC
下列说法中，正确的是（ ）
A. 两个等边三角形一定全等
B. 三个角都相等的两个三角形全等
C. 三边分别相等的两个三角形全等
D. 两边和一个角分别相等的两个三角形全等
8. 将一副三角尺按如图所示摆放，三角尺DEF的顶点D在三角尺的边BC上，将三角尺DEF旋转，使边EF∥BC，则∠α的度数为（ ）
A. 75°
B. 90°
C. 100°
D. 105°
9. 已知∠ABC=∠BAD，添加以下条件，不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A. AC=BD
B. BC=AD
C. ∠C=∠D
D. ∠BAC=∠ABD
10. 为了落实国家“一带一路”战略，畅通商品流通高速通道，某省把600km的普通公路升级为540km的高速公路，结果汽车行驶的平均速度提高了50%，全程行驶时间减少了4h。设汽车原来行驶的平均速度为xkm/h，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 已知分式，当x=2时，它的值为0，则当x=4时，它的值为 。
13. 一项工作，甲单独做需要m小时完成，乙单独做需要1.5m小时完成，两人一起完成这项工作需要 小时。
14. 已知等腰三角形中，有两边的长分别为5和12，则三角形的周长为 。
15. 若关于的分式方程有增根，则的值为 。
16. 已知命题“垂直于同一条直线的两条直线平行。”，指出这个命题的逆命题是真命题，还是假命题，你的结论是 。
17. 如图，将等边△ABO的两边分别延长至点D，点C，连接CD，量得∠D=85°，则∠C的度数为 。
18. 如图，一块等腰三角尺的三个顶点，恰好落在长方形的三边上，则线段AD，BE，DE的大小关系为 。
三、解答题（19～25小题每小题8分，26题10分，共66分）
19. 如图，在四边形ABCD中，AD平分∠BAC，∠1=∠2.
填空完成证明，并在括号中填上推理依据。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠1.( )
又∵ ∠1=∠2，
∴ ∠BAE=∠2，( )
∴ . ( ）.
20. 如图，在△ABC中，已知AB=BC，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CD相交于点O，∠1=120°。 △ABC是等边三角形吗？请说明理由。
21. 计算：.
23. 解方程：.
24. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°.
（1）用尺规分别作出AC，BC上的高AD，CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BC=2CE.
25. 我国基础工程建设享誉全球。某高速公路，甲工程队单独做60天，可以完成工程的；乙工程队单独做150天，可以全部完工。
（1）如果先由甲队做70天，再由甲、乙合作，那么合作多少天能完成任务？
（2）如果该高速高速公路计划工期160天，先由乙队做90天，剩下的由甲队单独施工，请问能否能在计划工期内完成任务？
26. 已知：如图，点A，B，C在同一条直线上，分别以BC，CE为边在AC的同侧作等边三角形DAB，等边三角形EBC，连接AE，DC，设交点为O，∠AOD=α.
（1）求证：AE=DC；
（2）求α的度数；
（3）若将△EBC绕点B旋转角某一角度至图（二）的位置，那么（1）的结论还成立吗？还能求出求出α的度数吗？请简要说明理由（不必详细写出证明或解答过程）。
参考答案
一、1. D； 2. B； 3. C； 4. C； 5. D； 6. D； 7. C； 8. D； 9. A； 10. A.
二、11. -4； 12. -2； 13. 0.6m； 14. 29； 15. -2；
16. 假命题； 17. 35°； 18. AD+BE=DE.
三、解答题
19. 角平分线的性质；等量代换；AB∥DC；内错角相等，两直线平行。
20. 解：△ABC是等边三角形。理由如下：
∵∠1+∠OBC+∠OCB=180°，∠1=120°,
∴∠OBC+∠OCB=60°.
∵BE，CD是∠QBC，∠OCB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，ACB=2∠OCB,
∴∠ABC+ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×60°=120°.
∵∠A+∠ABC+ACB=180°，
∴∠A=60°.
又∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形。
21. 解：=
.
22. 解：原式=
∵，∴，∴原式=.
23. 解：方程两边都乘，得
.
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
解得 .
经检验，是原方程的解。
因此原方程的解是 .
24. 解：（1）作出AC，BC上的高AD，CE如下图所示；
（2）∵AB=AC，∠B=30°，∴∠.BCA= ∠B=30°，
从而∠BAC=120°，∠CAE.=60°.
又∵AD是等腰△ABC的边BC上的高，
∴AD也是∠BAC的平分线和BC边上的高，
∴∠CAD =60°，BC=2DC.
∴∠CAD =∠CAE.
在△ACD与△ACE中，
∴ △ACD≌△ACE(AAS).
∴ CD=DE.
∴ BC=2CE。
25. 解：（1）设合作x天能完成任务，根据题意，得
即
去分母，得
解得
经检验，是原方程的解且符合题意。
答（略）
（2）设剩下的由甲队单独施工需y天完成，根据题意，得
解得
因为90+72=162，162＞160，
所以剩下的由甲队单独施工，能在计划工期内完成任务.
答（略）
26. （1）证明：∵△DAB，△EBC均是等边三角形，
∴ AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°.
又∵∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC。
在△ABE和△DBC中，
∴ △ABE≌△DBC(SAS).
∴ AE=DC.
（2）解：由（1）证得△ABE≌△DBC可得，∠DCB=∠AEB.
∵∠AOD是△AOC的一个外角，∠EBC是△ABE的一个外角，
∴∠AOD=∠BAE+∠DCB，∠EBC=∠BAE+∠AEB.
∴∠AOD=∠EBC=60°.
即α的度数是60°.
（3）答：（1）的结论AE=DC还成立，还可以求出α的度数是60°。
理由：
①∵在旋转过程中△ABE和△DBC的两组边AB与DB，BE与BC仍然相等，且∠ABE=∠DBC，∴仍有△ABE≌△DBC，从而AE=DC∴ DE=CF.
②∵∠AKD既是△DKO的一个外角，也是△AKB的一个外角，
∴∠AKD=∠BDC+∠AOD=∠BAE+∠ABD.
∵△ABE≌△DBC，∴∠BDC=∠BAE，
∴∠AOD=∠ABD=.60°，即α的大小保持不变，仍然是60°。
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