苏科版2021-2022学年八年级上学期数学第三章勾股定理考点训练（word解析版）

第三章勾股定理考点训练
考点一、勾股数
下列四组数中，是勾股数的是
A. ，，1 B. ，， C. 6，8，10 D. ，，
下列四组数：，，；，，1；，15，17；，24，25，其中是勾股数的有组
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
下列各组数为勾股数的是
A. 7，12，13 B. 3，4，7 C. ，， D. 8，15，17
下列各数中不是勾股数的是
A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 4，5，6 D. 5，12，13
下列各组数中，是勾股数的有
A. 4，5，6 B. ，， C. ，， D. 7，24，25
下列几组数：，8，10；，24，25；，12，15；，2n，是大于1的整数，其中是勾股数的有
1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
考点二、勾股树
将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为
A. 25 B. 5 C. 16 D. 12
如图，中，，，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是
A. 36 B. C. D.
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图所示图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，若，则的值是
A. 32 B. 38 C. 48 D. 80
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为
A. 5 B. 10 C. 25 D. 50
如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为、、，若，，则的值为
1 B. 5 C. 25 D. 144
考点四、赵爽弦图
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab的值是
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
我国古代数学家赵爽的勾股方圆图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如图，如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么的值为提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即
A. 29 B. 16 C. 19 D. 48
如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个选项：；；；；其中正确的是
A. B. C. D.
如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连结AC、FN，交EF、GH分别于点M，已知，且，则图中阴影部分的面积之和为
A. B. C. D.
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为
B. C. D.
考点四、勾股定理的应用
“引葭赴岸”是九章算术中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的如图问水深和芦苇长各多少尺
如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
这个梯子的顶端距地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向104km的B处，正以的速度沿BC方向移动．
已知A市到BC的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
如果在距台风中心50km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且，它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树根部10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
请用含有x的整式表示线段AD的长为 m；
求这棵树高有多少米？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、，能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误；
B、，不能构成勾股数，故选项错误；
C、，能构成勾股数，故选项正确；
D、，不是整数，不能构成勾股数，故选项错误．
故选：C．
根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可．
此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：，不是勾股数；
，三边不是整数，能构成直角三角形，不是勾股数；
，三边是整数，同时能构成直角三角形，是勾股数；
，且7，24，25都是正整数，同时能构成直角三角形，是勾股数．
因此是勾股数的有2组．
故选C

3.【答案】D
【解析】解：A、不是勾股数，因为；
B、不是勾股数，因为；
C、不是勾股数，因为不是正整数；
D、是勾股数，因为；，且8，15，17是正整数．
故选：D．
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
本题考查了勾股数的概念：满足的三个正整数，称为勾股数．说明：
三个数必须是正整数，例如：、6、满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；
4.【答案】C
【解析】解：，是正整数，能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
B.，是正整数，能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C.，不是勾股数，此选项符合题意；
D.，是正整数，能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
故选：C．
欲判断是否为勾股数，必须满足勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，由此得解．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的勾股数．根据勾股数的定义满足的三个正整数，称为勾股数．
【解答】
A.，本选项不正确；
B.，本选项不正确；
C.，但不是正整数，本选项不正确；
D.，本选项正确．
故选D．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股数的定义分别对每一组数进行分析，即可得出答案．
本题考查了勾股数的概念：满足的三个正整数，称为勾股数．说明：
三个数必须是正整数，例如：、6、满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；
【解答】
解：，
6、8、10是勾股数；
，
，24，25是勾股数；
，
，12，15是勾股数；
，
，2n，是大于1的整数是勾股数．
故选D．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解此题的关键是求出FH的长．证≌，推出，根据勾股定理求出FG即可得出正方形B的面积．
【解答】
解：如图：
根据正方形可得：，，
，，
，
在和中
≌，
，
，
在中，由勾股定理得：，
正方形B的面积为25．
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
过F作AM的垂线交AM于D，通过证明；；，进而即可求解．
【解答】
解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明≌，≌，
所以．
由≌可进一步证得：≌，
，
又可证得≌，
．
易证≌，
，
，
故选B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么根据正方形的性质分别求出DE，EF，根据勾股定理求出DF，根据圆的面积公式计算．
【解答】
解：如图，
正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，
，，
由勾股定理得，，
半圆C的面积，
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
，，
，
，
，
，
故选：C．
根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根据，，，，求出的值即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】
解：如图所示：
所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
正方形A的面积，正方形B的面积，
正方形C的面积，正方形D的面积，
又，，
正方形A、B、C、D的面积和．
故选C．
12.【答案】A
【解析】解：由勾股定理得：，
，
．
故选：A．
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
此题考查勾股定理，难度不大．
13.【答案】A
【解析】解：直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积是9，
，
小正方形面积是1，
，
，
，
，
故选：A．
由勾股定理得，由小正方形面积是1，得出，即可得出结果．
本题考查勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求得2ab的值是解题的关键．易求得2ab的值和的值，根据完全平方公式即可求得的值，即可解题．
【解答】
解：大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，
四个直角三角形面积和为，即，
，
又，
．
答：的值为29，
故选A．
15.【答案】C
【解析】解：为直角三角形，
根据勾股定理：，
故本选项正确；
由图可知，，
故本选项正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即；故选项正确．
由可得，
又，
得，，
整理得，，
，故选项错误；
正确结论有．
故选：C．
根据两个正方形的面积，分别表示出图中各条线段的长度，再利用勾股定理和完全平方公式等知识点综合进行解答即可．
本题考查了勾股定理和完全平方公式，正确表示出图中各条线段的长度是解题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：
．
故选：B．
根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．
本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．
17.【答案】D
【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
，
故选：D．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
18.【答案】C
【解析】解：直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为1，根据勾股定理得大正方形的边长为，
，
故选：C．
确定小正方形的面积在大正方形中占的比例即可．
本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
19.【答案】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，
所以尺
在中，，
解之得，
即芦苇长13尺，水深12尺．
【解析】本题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
20.【答案】解：使得C，D两村到E站的距离相等．
，
于A，于B，
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得：，
，
收购站E应建在离A点10km处．
【解析】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
根据使得C，D两村到E站的距离相等，可得，设，则，再分别在和中利用勾股定理，建立关于x的方程，求解即可．
21.【答案】解：根据勾股定理：
梯子顶端距离地面的高度为：米；
梯子下滑了4米，
即梯子顶端距离地面的高度为米，
根据勾股定理得：，
解得米．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【解析】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
由可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出下滑后梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
22.【答案】解：在中，，，，
，
时间为小时，
即台风中心从B点移到D点需要6小时．
如图，以A为圆心，以50km为半径画弧，交BC于P、Q，则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响．
由题意，，
在中，，
，
，，
，
，
时间为小时．
即A市受台风影响的时间为小时．
【解析】在中，已知斜边和一直角边，即可得出第三边，台风的速度已知，即可得出台风中心从B点移到D点所经过长时间．
假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知，和全等，A市在台风从P点到Q点均受影响，即得出PQ两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间．
本题考查了勾股定理的应用，路程速度时间的应用，同时考查了学生的数形结合的思想，画图可成为解题的一大重要工具．
23.【答案】解：；
在直角中，AD为斜边，
则，
即，
解得米，
故树高米米米，
答：树高为米．
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，正确的找出的等量关系并根据直角求BD是解题的关键．
已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，表示出AD的长即可；
在直角中，根据勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，进而得到这棵树的高度．
【解答】
解：设BD为x，且存在，
即，
则；
故答案为；
见答案．
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