苏科版2021-2022学年八年级上学期数学第三章勾股定理考点训练（word解析版）

第三章勾股定理考点训练2
考点一、勾股定理的逆定理
已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为_______．
中，两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长等于______．
如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的三个顶点，可得到，则中AB边上的高是______．
如图，中，，，以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为______ ．
在中，，，AB边上的高为4cm，则的周长为______cm．
在中，，，，AB边上的高是______ cm．
考点二、折叠问题
如图，在直角三角形纸片ABC中，，，，折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求DE的长．
如图，在中，，将AB边沿AD折叠，使点B与点E重合，若，，求CD．
如图，在长方形长方形四个角都是直角，并且对边相等中，，点E在DC上，沿AE折叠，使D点与BC边上的点F重合，的面积是30，求DE的长．
如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在AB边上且，折痕为OM．
若，，求OP的长；
请在图2中探究思考，能否用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕？不需要写出作法，但要保留作图痕迹
在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．
如果，，可得的周长为________；
如果：：2，可得的度数为__________；
操作二：如图2，李同学拿出另一张纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若，，请求出BE的长．
如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知，，求BE的长．
考点三、勾股定理的逆定理的应用
我市某中学有一块四边形的空地如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
求出空地ABCD的面积．
若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
如图，在四边形ABCD中，，，，．
求的度数．
求四边形ABCD的面积．
如图，在中，，，，点D是外一点，连接DC，DB，且，．
求BC的长；
求证：是直角三角形．
如图，在四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．
如图，在四边形ABCD中，，，，求的度数．
有一块空白地，如图，，，，，，试求这块空白地的面积．
考点四、勾股定理的逆定理应用
如图是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
假设图中的直角三角形有若干个，你能运用图中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图无需证明
著名的赵爽弦图如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理．
如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、H、B在同一条直线上，并新修一条路CH，且测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
在第问中若时，，，，，设，求x的值．
在中，，过点A在外作直线MN，于于N．
证明；；
若试利用此图验证勾股定理．
如图，，，垂足分别是B、C，，．
试探究AE与BD的关系，请说明理由；
设，，，请运用此图结合勾股定理的学习经验证明结论不得直接运用勾股定理结论证明
阅读材料，回答问题：
中国古代数学著作周脾算经有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为“上述记载表明了在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：
对于这个数量关系，可以利用面积法进行了证明．已知四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形，请你参考右图，将下面的证明过程补充完整；
证明：，，
______
又____________，
__________________，
整理得，
______．
感知：利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：，根据图乙能得到的数学公式是_______________．
拓展：图是由四个完全相同的直角三角形拼成的一个大正方形，直角三角形的两直角边长为a，b，，斜边长为c，利用图中的面积的等量关系可以得到直角三角形的三边长之间的一个重要公式，这个公式是：这就是著名的勾股定理．请利用图证明：勾股定理．
应用：我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个完全相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形如图所示如果大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，求的值
已知如图：
用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，你不难找到：
解法小正方形的面积______；
解法小正方形的面积______；
由解法、，可以得到a、b、c的关系为：______．
答案和解析
1.【答案】4或
【解析】
【分析】
此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．此题要分两种情况：当3和5都是直角边时，当5是斜边长时，分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【解答】
解：当3和5都是直角边时，第三边长为：，
当5是斜边长时，第三边长为：．
故答案为4或．

2.【答案】
【解析】解：直角三角形两直角边长为5和12，
斜边，
此直角三角形斜边上的中线的长．
故答案为：．
根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：作于D，
的面积，
由勾股定理得，，
则，即，
解得，，
故答案为：．
作于D，根据图形求出的面积，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
4.【答案】19
【解析】解：如图，中，，，，由勾股定理知，．
故．
故答案是：19．
首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，
设，，
，，AB边上的高为4cm，
，
解得，
的周长．
故答案为：．
设，，根据勾股定理及三角形的面积公式可列出关于a，b的方程组，求出的值即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：中，，，，，
直角三角形的面积两直角边的积斜边斜边上的高．
设AB边上的高为x，则，解得，
边上的高是．
根据勾股定理及直角三角形的面积公式求解即可．
本题应用的知识点为：勾股定理，直角三角形两直角边的积斜边斜边上的高．
7.【答案】解：，，，
，
沿DE折叠，
，，
在中，，
．
，在中，，
【解析】由题意可求，根据折叠的性质可求，，根据勾股定理可求AD的长，再勾股定理可求DE的长．
本题考查了折叠问题，勾股定理，熟练运用折叠的性质解决问题是本题的关键．
8.【答案】解：，
，
由翻折的性质可知：，，
，
设DC为x，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【解析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等利用勾股定理求出AC的值，根据折叠的性质可得到，设DC为x，则，在中，利用勾股定理即可求出DC的值．
9.【答案】解：长方形对边相等，的面积是30，
，
即，
解得，
在中，由勾股定理得，，
点E在DC上，沿AE折叠，D点与BC边上的点F重合，
，
又，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
所以，．
【解析】根据长方形的对边相等求出AB，根据的面积列方程求出BF，再利用勾股定理列式求出AF，根据翻折变换的性质可得，再求出BC，从而得到CF，设，表示出EF、CE，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
10.【答案】解：连接PM，如下图．
由折叠的性质可知．
设，
则．
在中
，
，
，
解得，
即，．
，，
，
．
由折叠可知，
，
，
．
作的平分线交AB于点P，作CP的垂直平分线交AC于点O．
如下图．
【解析】本题考查了折叠的性质、勾股定理．
连接PM，由折叠的性质，设，表示出，根据勾股定理求出PM的长度，再利用平行线的判定和性质求解；
根据角平分线和垂直平分线的作法求解．
11.【答案】解：操作一：；
；
操作二：在中， ．
由翻折的性质可知：，．
，
．
．
在中， ．
．
．
【解析】
【分析】
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．
操作一：由翻折的性质可知：，于是，从而可知的周长；
设，则，由翻折的性质可知，然后根据直角三角形两锐角互余可知：．
操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：，最后根据计算即可．
【解答】
解：操作一：翻折的性质可知：，
．
的周长．
故答案为：12cm；
设，则．
由翻折的性质可知：，
，
．
解得；．
．
．
故答案为：；
操作二：见答案．
12.【答案】解：设，则，，
在中，，
则，
解得：．
故BE的长为5．
【解析】此题主要考查了勾股定理的应用以及翻折变换的性质，根据已知得出AE，BE的长是解题关键．
首先根据，则，，进而利用勾股定理求出BE即可．
13.【答案】解：连接BD，
在中，，
在中，，，
而，即，
所以，
则；
所需费用为元．
【解析】直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出，进而得出答案；
利用中所求得出所需费用．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出是解题关键．
14.【答案】解：连结AC，
，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
在中，，
在中，．
．
【解析】由于，，利用勾股定理可求AC，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求；
连接AC，则可以计算的面积，根据AD，CD可以计算的面积，四边形ABCD的面积为和面积之和．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明是直角三角形．
15.【答案】解：中，，，，
；
证明：在中，，，，
，
是直角三角形．
【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．
在中，根据勾股定理即可求得BC的长；
利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形．
16.【答案】解：在中，，
，
又，
，
，
．
【解析】首先根据勾股定理计算出BD长，再根据勾股定理逆定理证明，然后再利用直角三角形的面积公式计算可得四边形ABCD的面积．
此题主要考查了勾股定理和逆定理，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
17.【答案】解：连接AC，
，，
，，
在中，，，
，
，
．
【解析】根据勾股定理得AC的平方的值，确定等腰直角三角形ABC，可得的度数，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，问题即可解决．
本题主要考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
18.【答案】解：连接AC，
在中，
米，米，
，
米，取正值．
在中，，．
，
为直角三角形，．
平方米．
答：这块空白地的面积是96平方米．
【解析】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形．
连接AC，根据勾股定理可求出AC的长，再证明为直角三角形，根据空白地的面积面积面积即可计算．
19.【答案】解解：如图所示，是梯形；
由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积．
从上图我们还发现梯形的面积三个三角形的面积，即．
两者列成等式化简即可得：；
画边长为的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．
【解析】此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
本题考查了勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．
20.【答案】解：梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
，
即；
，
，
在中，，
即，
解得，
即，
千米，
答：新路CH比原路CA少千米；
设，则，
在中，，
在中，，
，
即，
解得：．
【解析】梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
设，则，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果；
此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
21.【答案】证明：，，
，
在和中
，
≌，
，，
；
≌，
，，，
，
，
，
，
．
【解析】【试题解析】
利用已知得出，进而得出≌，进而得出，，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系；
利用，，进而得出答案；
本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的证明等知识，根据已知得出≌是解题关键．
22.【答案】解：，．
理由：，，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
；
证明：，，
，
，
，
，，
，
，
．
【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
根据，由梯形及三角形的面积公式可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，梯形的面积，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：在中，，，，，
由勾股定理得，，
故答案为：；
证明：，，
又，
，
整理得，
．
故答案为：；；，，，．
根据勾股定理解答即可；
根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可．
本题考查的是勾股定理的证明，正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
24.【答案】解：感知：；
拓展：由图知，，
即；
应用：：大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，
四个直角三角形面积和为，即，
，，
，
．
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，“应用”中求得ab的值是解题的关键．
感知：略大正方形的面积大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积．
拓展：大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积．
应用：易求得ab的值，和的值，根据完全平方公式即可求得的值，即可解题．
【解答】
解：感知：由图乙得到：．
故答案是：．
拓展：见答案；
应用：见答案．
25.【答案】
【解析】解：；
；
．
用拼成的大正方形的面积减去四个三角形的面积；
直接求出小正方形的边长，然后求面积；
得到勾股定理．
本题主要在于验证勾股定理，比较简单．
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